X = X„^, PX{C — X

On a d'ailleurs

c'est-à-dire

donc M' = 1, N' = o, et la formule (i3) devient

(2,) l£-^,^Jl\,-.2i^tzl^\

^ ^ c""' — V3L NyôM3â+2//)J

Cela posé, si m est pair, il en sera de même de 5 = m — 2,

et -4 sera positif; d'un autre côté, ^,, ~ rr pouvant prendre

I o'(oo-4-2yi)

une valeur quelconque entre o et -h 00, on voit qu'il existe

des valeurs de ô susceptibles de rendre négative la quantité

sous le radical et conséquemment les racines :tr,, x^ imagi-

N naires. Au contraire, si m est impair, -^ prend le signe — , et

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le radical ne peut plus s'annuler qu'à la condition d'avoir 3 — li*

négatif ou d supérieur à i/ -• Mais on sait qu'alors -^r^ t-.

reste en dessous d'une limite peu différente de Oyi4> et comme rrr- ne dépasse pas ^ en valeur absolue, on peut en conclure

que la quantité entre crochets, sous le radical de la formule (ai ), est forcément positive. L'énoncé donné plus haut, concernant les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait possibilité de rendre imaginaires les intersections de la parabole des moments avec l'axe des Xy s'applique donc, sans aucune modification, aux travées centrales.

Le sommet de la parabole qui représente l'expression (ao)

répond à x = - c; en désignant par C, comme ci-dessus, le

rapport de son ordonnée à p6% on a

l'application de la formule (i6) donnerait le résultat équivalent

Il est d'ailleurs facile de voir que si les intersections de la parabole des moments avec l'axe des x sont réelles, elles ne pourront, en général, sortir de la travée. En effet, pour

;r = - c le moment X prend la valeur Cp6*, forcément négative, comme le montre l'expression (a3), puisque le radical de la formule (21) est réel. Donc si X«, est positif, X change de signe dans la première moitié de la travée, cl aussi dans la seconde, à cause de la symétrie; cela suffit pour justifier la proposition énoncée, car le fait d'avoir Xm-i <<> n'est guère réalisable dans la pratique (n® 36).

39. Cas particulier d'un nombre infini de travées, — Ce cas limite présente, relativement aux abscisses Xx, x^, quelques particularités intéressantes, dont les cas pratiques se rappro-

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POUTKES SYMÉTRIQUES, ETC. I^I

chent plus ou moins, à mesure qu'on fait croître le nombre des travées.

D'abord, si nous considérons une travée infiniment éloignée des extrémités, nous savons (n° 36) qu'on a

X^. = X« = — /?6^.â' = r^ pc» ;

par suite on tire de la formule (12)

ce qu'on aurait pu déduire également de la formule (i3), en

remarquant que les rapports -=^ et -rr- se réduisent a zéro

pour q et m infinis (n*» 32). Ces valeurs de x sont celles qui

conviennent à une travée encastrée par les deux bouts.

. Maintenant, si m a une valeur finie quelconque, l'indice

q — m -h - étant infini, il en résulte (n" 32 et 33)

par conséquent les facteurs z — ^ ? z — irp^- ^^ la quantité sous le radical, dans la formule (ï3), deviennent égaux à z — \/-ô\ ^^ les valeurs de x sont alors