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V"" ■^Nd>(3â4-2A) • \ V 3/'
soit, en dédoublant le signe ±, et remplaçant z ainsi que h par leurs valeurs,
c 2V V3>'"^NÔ^V3(2-hôv^)' Ainsi nous arrivons à ce résultat remarquable que l'abscisse or,
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îy2 CHAPITRE DBtJXIÈMK»
est indépendante du rang de la travée, et qu*ene reste toujours la même que dans une travée encastrée. Quant à Tabscisse ^,, elle tend pltrs ou moins rapidement, suivant la valeur de d.
vers
la limite - ( i — \/â ) =0,211 324- • •> correspondante
l'encastrement, à mesure que m augmente.
Les indices a et a — m -^- - de N et de N' étant infinis tous ^ ' 2
iN' deux, il convient de transformer le rapport -rj^» On a par la
seconde formule (7 ) du n** 32, en négligeant les puissances de a" dont l'exposant est Tinfini positif,
d'où
iW N
or on a aussi
donc enfin
= la
Les calculs précédents ne peuvent s'appliquer à une travée extrême. Dans la première, par exemple, on a conslamment j;, = : quant à ^r,, on a (n" 38)
Cas particulier ô = i /- = 1 , 2247 .... — Ce cas particulier mérite une mention , à cause de la simplicité des résultats. On a vu (n° 36) que tous les moments Xm prennent alors
la valeur — pb^è^ ou — pc^y comme si tous les appuis inter-
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P0UT|^3. $^YIiÉTRM2UB3, ETC. 17^
médiaires devenaient des encastpemenls. Par conséquent, la formule (12) dqnne
et lés abscisses Xi, Xi sont partout les mêmes que dans une travée encastrée ou infmiment éloignée des appuis extrêmes. On a aussi, en conservant la définition précédemment attribuée au coefficient G (n*»* 37 et 38),
Dans la travée de rive A» A, on a a;, = o, et, suivant la formule (ï8),
la formule (19) devient donc
C= — ^ (i — ^(ÎM = — 0,0703125.
1 41. Applications numériques relatives aux conditions qui rendent les abscisses x^ et x^ imaginaires^ ou qui les font sortir des limites q et c. — Cherchons d'abord les valeurs numériques de ^ dans Tintervalle desquelles x^ et x^ cessent d'exister réellement, en attribuant à n les valeurs impaires,?, 5, 7,,.., et à /?? Ifs valeurs paires 2, 4,.. ., conformément à ce qui a été dit plus haut (n°' 37 et 38).
i** Travées centrales, — Il faut se servir de la formule (21), en supposant successivement le nombre des travées égal à 3, 7, 11, i5,. . ., de manière que la travée du milieu ait un rang pair. Les valeurs corres-
pondantes de -r^ et A sont (n^ 32 et 33) :
II lâ
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Les racines a:^^ x^ deviendront imaginaires quand on aura
"" = '' ^<^ ^M 459^ + 530) ^ ^<o,ioi7,
2° Secondes [ou avant -dernières) tracées» — Nous rentrons dans le cas général discuté au n° 37 : afin de rendre x^ et x^ imaginaires, il faut
donc choisir è de manière que ^^^ ^. , ^ ,, . — r\ tombe dans l'intervalle de ^ No'(3tf4-2A)
îTT à rrT • Gr, los iudices g et 7 — /w + - de N et de M' ou N' sont
ici, en supposant /w = 2,
n=^, 7, 9, II,..., ^3 579
On formera donc facilement , à l'aide des tàblesyix donnés aux n^ 32 et 33, les inégalités de condition, et l'on trouvera :
Pour cinq travées I A = -î -:^ — — .3, N' = — i, '1^1' = — 2 l >
^> ^»(g7 + io) >r ^'"^^ 0,4343 <^<o,643or);
(*) L'inégalité
se résout sans tâtonnement, car elle revient à la suivante :
((y-hi)(3^«-H(r-i)>o,
d'où résulte immédiatement
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• POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. IjS
Pour sept travées [a = i2, - = ii, N'= 4, M'=7],
Pour neuf travées
^A = Zi, S = 4i, N'=-i5, M'=-26V
Pour onze travées ( A = -^ » - = i53, N' = 56, M'=;: 97 j »
Â>I^^SS)>-^ 0.^444 <.<o.548..
Gomme on le voit, les deux limites de $ se resserrent de plus en plus ; mais elles ne deviendraient rigoureusement égales,* et le problème ne serait impossible, que pour « = <» .
3** Quatrièmes trouées ( ou travées de rang n — 4 ) • ■— La supposition
iw = 4 rend Tindice gr — «i -<- - égal à i ou à 2, respectivement pour
/2 = 9 et « = 1 1 ; on en conclut comme ci-dessus : Pour neuf travées (A = —j -=—41, N'= — i, M' = — ajï
'> i'(L7stu^) >V •*'»** 9.-365 <*<o,a.63;
Pour onze travées lh = —, - = i53, N'= 4, M'= 7 j 1
J>Ffife?^>î' o,'7o4<^<o,.944.
Ces résultats et quelques autres encore sont résumés dans le tableau ci-après.
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CHiPITRE DEUXIBiMJE.
