LIMITES AU-DESSOUS DESQUELLES DOIT ÊTRE S
NOMBRE n
pour faire sortir les abscisses .
r, , x^ de leur travée
propre,
des
quand le rang m de celle-ci est
travées.
If
ti
it
tf
tt
it
tf
tt
tf
tf
tf
o,i4ii
tt
tf
o,o4oi
il serait sans doute superflu de développer davantage ce genre de problèmes. Ce qui précède suffit largement pour montrer que les limites entre lesquelles peut se mouvoir ^ quand il s'agit, soit de rendre les abscisses x^ et x^ imaginaires, soit de les faire sortir de leur travée propre, sont en dehors des valeurs habituelles que la pratique lui assigne. Le fait en question sera donc très-rare dans les applications, bien qu'on ne puisse pas le considérer comme mathématiquement impossible.
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42. Recherche de la fonction F(^). — Si nous nommons F(j:), comme aux n" 26 et suivants, le quotient obtenu en divisant par p le moment de flexion dû à la charge permanente seule [lequel moment s'exprimerait, en conséquence, par pF(:r)], il n'y aura plus maintenant aucune difficulté à déter- . miner complètement cette fonction. Dans une travée quelconque Am-iAm, de rang m, ce sera une expression parabolique de la forme
D;, — DLx-h-^'; a
les abscisses x étant toujours comptées à partir de Tappui A«,,, la comparaison de cette expression avec l'équation (11) du n'' 37 donne immédiatement les valeurs des coefficients D^ et Dm, dans une travée de rang quelconque, sauf dans la première et la dernière, savoir :
^Ai^^
ph^ '
a pc
Pour la première travée, il faut recourir à l'équation (17) du n«» 38, d'où l'on tire
quant à la dernière, les moments y sont les mêmes que dans la première, à égale distance des culées; il est donc inutile de s'en occuper, comme, au reste, de tout ce qui concerne la seconde moitié de la poutre.
La recherche de tous ces coefficients D«, dL sera, comme on le voit, d'une extrême simplicité, quand on aura effectué par les formules (7), (8), {9) du n° 35 le calcul numérique
des rapports -j^* On trouvera ce dernier calcul tout fait dans
le tableau V, placé à la fin du chapitre deuxième, qui s'applique aux poutres de trois à douze travées inclusivement,
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POUTRES SYMÉTBIQUES, ETC. I79
lorsque à prend Tune des huit valeurs
0,7, Oj&, 0,9, 1,0, 1,1, 1,2, 1,25, 1,3,
déjà mentionnées autre part. Nous avons même fait plus : afin de dispenser, autant que possible, les praticiens de tout usage des formules algébriques, nous avons terminé ce volume par un formulaire qui fournit, sans aucun calcul, les expressions successives de la fonction F [x), pour lesdites valeurs du rapport à et du nombre n des travées^
La parabole représentative de —~ aurait pour ordonnées correspondant aux points d'appui Ai„-i et Am les rapports ^"TT^ -£; ses intersections avec l'axe des a; seraient aux distances Xif ira de Am-i; son sommet répondrait à Tabscisse -(aTf-H j;j) et aurait pour ordonnée C (n°» 37 et 38). Nous faisons également connaître, par les tableaux VI et VII, les abscisses Xt, Xi et les maxima négatifs — C, ce qui complète l'ensemble des renseignements que Ton peut désirer avoir sur la fonction F(^), afin de se rendre un compte suffisant de ses grandeurs successives, et, au besoin, de calculer sans peine celle qui répond à une valeur donnée de la variable, dans une travée déterminée. ^
Nous aurons ainsi achevé ce que nous avions à dire sur les moments fléchissants spécialement dus à la charge permanente, moments dont la connaissance facilite beaucoup, ainsi qu'on Ta vu (n*»» 26 et suivants), la recherche des courbes enveloppes.
4.3. Remarques sur la disposition^ la construction et l'usuge des tableaux V, VI et VII. — La disposition de ces tableaux est assez claire pour qu'on la comprenne à première vue : il y a donc peu de chose à en dire. Eh raison de la symétrie, les moments X^,, X;H m sont égaux : c'est pourquoi chacun des rapports
-j^ inscrits dans le tableau V répond à deux valeurs de Fin- '
dice m, qui figurent à gauche des pages, sur la même ligne horizontale. (Nous rappelons que/? désigne le poids par mètre
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l8o CHAPITRE DEUXIÈME,
courant, X« le moment sur l'appui A«, c'est-à-dire sur la m""^ pile à partir d'une culée Ao, celle-ci n'étant pas comptée; S le rapport de l'ouverture c d'une travée intermédiaire, à l'ouverture b d'une travée de rive.)
Les abscisses ^„ Xt des points où le moment dû à la charge permanente devient nul (n® 42) sont données par le tableau VI, et définies par leur rapport à la longueur de la travée correspondante. Pour chaque valeur du nombre n des travées, on n'a calculé que les résultats relatifs aux travées dont le numéro
d ordre ne dépasse pas -si n est pair, ou sr/i est impair;
cela suffit évidemment, puisque la seconde moitié de la poutre doit reproduire symétriquement ce qui existe dans la première. Il est bien entendu, ici comme partout ailleurs dans cet ouvrage, que le rang d'une travée se compte toujours (sauf indication contraire) à partir de la rive la plus voisine. Les valeurs de n commencent à 3 et vont sans interruption jusqu'à 12 inclusivement; on a calculé aussi les limites des abscisses en question, dans chaque travée, pour le cas de » = oo, ce qui a toujours conduit à des valeurs très-peu différentes de celles qu'on avait obtenues avec n = ii. Le tableau VI est donc applicable quel que soit le nombre des travées.
Le tableau VII donne lieu à peu près aux mêmes observations. Mais comme on n'a conservé que les trois premiers chiffres significatifs de chaque nombre, les limites pour » = oo sont plus rapidement atteintes dans chaque travée; alors le tableau partiel qui lui correspond se termine par une ligne de points qui est censée reproduire indéfiniment les résultats de la ligne immédiatement supérieure. Ces résultats sont donc vrais pour toute valeur de n dépassant la dernière inscrite dans le tableau partiel en question : par exemple, si l'on prenait = 1, » = iè, la valeur de — C serait 0,0778 pour la première travée, 0,0339 pour la seconde, etc. Quant aux limites vers lesquelles tend — C quand le rang de la travée augmente de plus en plus, on les déduit sans peine des valeurs de x, et X2 trouvées au n<* 39 ; on a ainsi
lim(— C) = -^(5%
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POUTRES SYMÉTBIQUES, ETC. l8l
ce qui, avec nos huit valeurs de d, donne successivement
Ces limites sont exactement ou très-approximativement atteintes dans la sixième travée d'une poutre à douze travées: on peut donc admettre qu'elles le seraient toujours dans une travée de rang supérieur à 6, /i étant au moins égal à i3. Par conséquent le tableau Vil devient illimité, comme le ta^ bleau VI, en ce qui concerne le nombre des travées.
On remarque dans le tableau VII deux résultats imprimés en chiffres plus fins, qui se rapportent à la travée centrale d'une poutre à trois travées, pour laquelle à prendrait l'une des valeurs 0,7 ou 0,8. La raison de cette distinction, c'est que les abscisses Xt et Xt étant imaginaires, leur moyenne répond à un minimum et non à un maximum du moment fléchissant.
Les tableaux VI et Vil se construisent par rapplicalion directe et immédiate des formules (12) ou {i3), (16), (18), (19), (21), {22) ou (23), jointes à celles du n° 39 : il n'y a qu'à rechercher les valeurs des indices qui déterminent les valeurs à mettre pour les nombres M, N, h, et Ton obtient alors des formules où S est le seul argument { puisque a" est un nombre déterminé). Nous ne connaissons pas d'artifice particulier propre à rendre les opérations plus rapides; on peut seulement profiter, quand ie cas se présente, de ce que certaines quantités iigurent dans plusieurs formules, ce qui permet de les calculer une fois pour toutes. Pour ce qui concerne le tableau V, obtenu par Tappiication de la formule (S), il y a peut-être un léger avantage à en disposer le calcul comme il suit.
Si, par exemple, nous voulons avoir les X„ dans une poutre à 12 travées, $ étant égal à 1,2, nous chercherons d'abord
puis le quotient
209 3^ -H 2 A 1476,4 que nous désignerons par /. Ceci posé, comme /z = 12, on aura ici
(y=:-(/î — 2) = 5, ' N^=-ao9,
/Googk
l82 CHAFITKE DCUZIJLJVE.
et de i^os
poor le i" appui A^ ot = i. ^-hi — 1» = 5, M^,= — Boa,
2*appoiA, «=2. y-hi — i»i=4t 1I^,«,= 97'
V appui A^ nï = 3, 7 -h I — /» = 3, M^,^= — !»6,
4* appui A^ «=4. y + i — w = !i, M,^,=7,
5* appui Aj OT = 5, ^ -h i — »» = i. M^,^= — 2.
6^ appui A, m = 6. ^ -i- ' — ot = o, M^,^ = 1 ,
La formule ( 8 ) donnera donc
Or (et c'est en ceci que consiste la simplification que nous avions en vue), on arrive assez vite à former la suite
en remarquant que chaque nombre est égal à quatre fois le précédent moins Panléprécédent : ainsi 97/ = 4.26/ — 7/, ce qui tient à la loi même des séries M et N (n*' 32). Après. avoir calculé 2/ et 7/ par de simples multiplications, on en déduira donc 26 r, 97/, 362/, savoir (*) :
De là on conclut par des additions ou soustractions les valeuis de
{*) Avec un peu d'habitude on arrive sans peine à faire simultanément la multiplication par 4 et la soustraction , de sorte qu'on écrit les termes de la série les uns sous les autres, sans calculs accessoires.
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— TT^ j savoir, en se bornant à huit chiffres décimaux :
îi^ = (y^- 7^ = 1,43943105,
lij« = 5'-/ = ,,43991872;
et enfin, si Ton divise ces résultats par 12, on a X X 'X
D'ailleurs il est inutile de s'occuper des indices supérieurs à 6, car la symétrie donne immédiatement
■^11 ^^ -^p -^iQ == -^a? -^8^== -^3) Xg = X^, etc.
Terminons en donnant quelques exemples de Tusage des tableaux en question.
Premier exemple, — On donne une poutre de six travées; les travées extrêmes ont 5o mètres d'ouverture, et les autres ont 62°, 5o; le poids, par mètre courant de la charge permanente est ;? = 4000 kilogrammes ; on demande les moments de flexion que cette charge produit sur les points d'appui. 11 faut supposer ici
le tableau V donnera en conséquence
l'unité de moment étant le kilogramme agissant avec i mètre pour bras de levier.
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l84 CHAPITRE DEUXIÈME.
Deuxième exemple, — On demande, avec les mômes données, quels sont les points de la poutre où le moment de flexion s'annule. Ces points se trouvent déflnis pat* les abscisses x^, ^,; on aura donc successivement*' par le tableau VI :
Dans la première travée, outre Tappui-culée Â,, le point situé à la distance
^,= 0,74461.^ = 37",a3i de A,;
Dans la seconde travée, les points situés aux distances de Tappui A^ jr,= 0,20726. c = 12", 954, x^= 0,78860.0 = 49", 287;
Dans la troisième travée, les points situés aux distances de l'appui A, JT, = 0,21241 *c = i3™,276, x^=z 0,78897.0 = 49"*,3ii ;
Dans les travées suivantes, des points reproduisant symétriqfiemen^ ceux qu'on a déjà trouvés.
Cette considération de symétrie explique pourquoi, sous la rubrique « quat^ièm^ travée », par exemple, on ne fait figurer, dans la première colonne à gauche du tableau VI, que les poutres de sept travées au moins ; c'est que dans une poutre à six travées il n'y a réellement que trois travées à étudier : une première, commençant à l'une des culées ; puis, en marchant vers le milieu, une seconde, puis une troisième. Il y aurait de même trois travées distinctes pour une poutre de cinq travées ; deux pour une poutre de quatre ou de trois, etc.
Troisième exemple, — On demande, toujours pour la même poutre, l'ordonnée du sommet de la parabole représentative des moments, dans chaque travée. Ces ordonnées ont été désignées plus haut par -«- Q,pb^ ; elles seront donc, d'après Le tableau VU :
Première travée, 0,0693/?^* ou 693000, répondante rabscisse-j', = i8'",6i5;
Deuxième travée, 0,0660 /?6* ou 66oopp, répondant à l'abscisse -(^,4-^J = 3i",62i ;
Troisième traitée, OjoQigpb^ ou 649000, répondant à l'abscisse -(x^^+^x^) = 3i",a93.
Résultats symétriques dans les travées suivantes.
POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. l85
§ m. — Effet spécial de la surcharge. — Division de diaqae travée en régions, par les abscisses x\ af, a^y or'^.
44. Des abscisses a/, x"y x^y ^'\ — On se rappelle (n** 26) que lorsqu'on cherche les courbes enveloppes des moments^ sous la seule action de la surcharge, dans une travée de rang quelconque Aw-liA», on trouve ces courbes composées de plusieurs arcs de parabole ou fragments de droite, se succédant les uns aux autres à partir de points bien définis, dont les abscisses, comptées à partir de A«,,, ont été désignées par ^, x"y oc^y x^^. Il convient de s'occuper, en premier lieu, de la recherche de ces abscisses, dans le cas des poutres dont il est ici question.
Nous savons qu'on a
'"="(- Tir)'
c étant, ainsi qu'au paragraphe précédent, la longueur de la travée, et p, y étant deux nombres des séries p, y, spécialement relatifs à la travée dont il s'agit. Pour éviter tout malentendu à cet égard, nous rétablirons les indices : comme le rang est m d'un côté, /ï — m-f- i.de l'autre, (3 et y représentent respectivement (3™, et y,B„ soit encore p««, et ^n-my puisque les séries (3 et y coïncident dans le cas actuel (n'' 31 ). Ainsi nous écrirons
ou bien, attendu que (3«-.i exprime généralement le rapport
Le calcul des nombres u étant fait, on en déduira facilement oc'* et x'"\ on pourra encore, dans les formules (2), remplacer
i86 cHAPiraE deuxième.
les u par leurs valeurs (i5) du n*» 33, et il viendra
formules qui dispenseraient de calculer préalablement la série des u. On pourrait également, si Ton voulait, exprimer Nj»-i et M»>i en fonction de Mi»-3, Nm s; puis N».-»» M^^^ en fonction de Hn^-m-tf N, „ I : on n'aurait ainsi conservé qu'un seul indice dans chaque formule. Mais il nous a semblé que cette transformation offrait peu d'avantages.
Dans les travées extrêmes, les points répondant aux abscisses x'\ af" coïncident avec les appuis-culées A. ou A„ : on ne doit plus employer les formules ci-dessus pour les rechercher.
Lorsque les indices m ou w — • m -h i deviennent grands, les
rapports — ? — convergent assez rapidement vers des limites qu'il est aisé d'indiquer. On a vu en effet (n*» 33) que
lim(3=— a"=:2— v^; donc les limites demandées seront
lin, î! = ^-V^ ^ (a-.v/3)(3+v^) c 3— v^ 6
UmÇ = ,Hm^ = i(.-Hy/0=o;78868....
^r ces limites sont celles qu'on a déjà reconnues (n° 39) aux abscisses x,, Xt des points oii*la parabole représentative des moments de la charge permanente coupe l'axe des :f : il y aura donc souvent confusion approximative entre les points des deux espèces.
Les valeurs des deux autres abscisses a;', a:'^ peuvent se calcula dans toute travée intermédiaire, par la formule (5) du n''^, que nous transcrivons ici de nouveau, en rétablissant les
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indices de (3 et de y, pour plus de clarté, et en tenant compte de l'identité des séries p, y :
le signe — du radical donnerait x'^ et le signe -h donnerait j;'^. La série |3 ayant été calculée plus haut (n^* 33 et 34 )» cette formule s'appliquerait sans difficulté sérieuse. On peut encore, pour continuer à faire ce que nous avons fait déjà dans d'autres circonstances, évaluer ^', a:'^ en fonction de ô, m, n : voici comment on procéderait.
On a, suivant la deuxième formule (i8) du n° 33,
2N„-«-f-M„~mâ
et par suite, si Ton nomme P le produit des deux dénominateurs.
Or les formules (io) et (i4) du n° 32 permettent d'écrire
II— 2/n+i »
Mto i M„-ai i = — (Mn 2-f- Mb— Jm)>
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l88 CHAPITRE DEUXIÈME.
M«.N„-«. -4- M„m.Nm. = N^„
donc
Un calcul analogue nous donnera le binôme i — (3«-i^«^ : P(i — Pm,(3^«)
4- "aa { M«,N„__«-h M^-mNm-,— M«,,N«-^,, — M„-m, N„-0 ; = g ( M„.— M„3) = N. N„>,=— N;^„
Mm-i M»-m — M«8 M»-m-i = - ( MJ^-l "h M„j;„+, — M„3 — Mn-im+t )
Mfli—i.Nw—fli H- Mn-m N/B-i Mm-a Nb—w—i Mn-»,-! N«8
(6) P(i — (3m^.j3„^^)=— (4-f-3ô»)N,«, — 4ÔM^,.
De même, nous chercherons i — [3i„,, i — (3*-^, et leur produit :
Nm,-+- N«^, = 2 MiNm|= 2 iN«-i,
Mm-.i + M«-, = 2MlMm»= 2/M«-|, 2/ (2Nm..l-f-3M«.A)
un changement d'indice donne de suite
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POOTRBS STMÉTHIQDSS, EtC. iSg
papsuite, en maltipliant membre à membre les deux dernières équations et remplaçant 4'' par — 2, il vient
P(.-p,)('-|3^-) .=— 2(aN„|-f-5M.|)(2N, iH-ÔM^.)
Les expressions fournies par les équations (5), (6) et ( 7 ) étant* portées dans la formule (4)> celle-ci devient
en désignant par R la quantité
.1 (4-h33')M^. + i23N„,— (4— 33')M, 3* (4 + 3â')N^,-)-4aM,,
II— Jfll-H
Quelle que soit celle des deux formules (4) ou (8) que Ton préfère, le calcul en sera toujours un peu pénible; mais l'un des tableaux numériques donnés plus loin dispensera de l'appliquer dans les cas ordinaires, car il fournira immédiatement le résultat pour les huit valeurs de d déjà considérées, m et n restant quelconques; et, au moyen d'interpolations, on aurait a/ et x^^ pour toute valeur de S comprise entre les limites 0,7 et 1,3.
On remarque d'ailleurs, quand on s'occupe de la construction d'un tel tableau par Tapplication de la formule (4), que p^^ et p,^ convergent assez rapidement vers leur limite 2 — v^ = 0,2679492, et que par conséquent cette formule tend à donner 'des résultats indépendants du rang m de la travée considérée, et du nombre n des travées, pour peu que les nombres m et n atteignent, le premier 4 ou 5, le second 9 ou 10. Cela nous a suggéré l'idée de développer x' et x^" en fonction des différences ( rapidement décroissantes avec l'indice) entre S^, et p„:„, d'une part, et leur
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ipO CHAPITRE DEUXIÈME.
limite commune, d'autre part. Soient donc OB aura, d'après ces notations.
Donc
7rà::=T^[-+î^(^+^)-Ar'
soit, en développant la quantité entre crochets, par la formule du binôme, et négligeant les termes d'ordre supérieur au second en \ ft,
De même on a
Par suite, on forme Texpression des quantités qui entrent dans la formule (4)) savoir, en négligeant toujours les termes au^essus du second ordre :
('-p.-)('-p.-j (■-/)' r, , >4-f^ , VI
i-/r \ + ^ , av /(V+ p'n.
Si l'on substitue ces valeurs dans celle de — ? et qu'on développe le radical par la formule du binôme, bornée aux termes du second ordre, on
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POUTRES SYMéTfllQUBS, ETC. 191
trouve
'c -''^2(1 — r) 'iii — PY
La limite / étant égale à a — v/3, on peut encore vérifier aisément les relations . ^
ce qui permet d*écrire plus simplement ax f* — X f*' — X'
V^L 4/v/3 8v/3/(i~/) i6v/3(i-/)J ou bien, en mettant 2 — \/3 au lieu de /,
Enfin, on peut réduire en nombres cette dernière formule, et Ton obtiendra, en dédoublant le signe db :
— = 0,87991784 — o,o646853> ■+- 0,4739899 fx -h o,o59oa4 >^ — 0,096478 /*' -4- o, 1 39828 V •
Ces formules sont déjà très-exactes dans la seconde travée, du moins quand on prend S entre 0,7 et i,3; dans la troisième et les suivantes, il devient inutile de conserver les termes du second ordre, et Ton a des expressions linéaires en >, f*, d'autant plus .commodes que la petitesse de ces quantités permet de prendre leurs coefficients avec beaucoup moins de décimales que nous n'en avons mis ci-dessus.
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ipa CHAPITRE DEUXIEME.
Exemple. — On demande — et — dans la seconde trayée d'une poutre à quatre trayées, ^ étant égal à 0,7. On prend dans le tableau m : P«^t = P. = o,ao588a4,
d'où résultent
> = 2 — v/3 — o,ao^88a4 = 'o,o6ao668, ^ = a — V^ — o,a635659 = o,oo43833,
et en yertu des formules (10),
le calcul fait avec la formule exacte nous a donné
c'est-à-dire très-sensiblement les' mêmes chiffres.
45. Cas particuliers d'une travée extrême et d'une travée centrale. — Nous avons déjà dit que dans la première travée, par exemple, les points définis jf^rx^fX"' répondent à la culée A«, c'est-à-dire qu'on a
il en est de même de x' (n*» 20), et x^'' est donné par l'équation
formule où tout est connu, puisqu'on a calculé ^„^t (n" 33 et 34).
Dans la dernière travée on trouverait les mêmes résultats, en comptant les distances à partir de la culée Aa.
Dans une travée centrale, il faut, par raison de symétrie, faire (3m-i= (3»-»i : la formule (4) devient alors
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Nous avons déjà trouvé (n" 44)
on aura, par un procédé analogue,
!2N„,4-ÔMm-2
ou bien, en remplaçant N«,— Nm-j et M^-, — Mm-i par leurs valeurs respectives 2iM«|, 6iNm~|, que donnent les formules (i4) du n° 32 (*),
__2i(2M«-3 4-3dN«.|) I -h (3«-. ~ 2N.,. + aM..
Donc
D'un autre côté, m est ici égal à -(/i -f- 1) ou à ç H — ? si nous
désignons, comme d'habitude, par 2ç la différence n — 2; l'in-
dice m est donc égal à q, et comme le quotient -z^ n'est
autre chose que le nombre A„-j ou A sans indice, on peut écrire
et enfin
Le même résultat aurait pu se déduire de la formule (8), mais par un calcul un peu plus long.
{*) U faudrait prendre la seconde et la quatrième de ces formules et y faire
=z m , / = -, Ni = Mt = I . '
194 CHAPITHB DVUXIBIIE.
Quant à x** et od^y la circonstance que J3«.i soit égal à p«.^ ne donne lieu à aucune remarque particulière, sauf que x" devient égal à * — ^, c'est-à-dire que la somme des deux abscisses fait la longueur de la travée. Ce fait résulte de la symétrie, comme conséquence immédiate.
46. (7as particulier d'un nombre infini de travées. — Si n devient infini, cela n'apporte aucun changement à la valeur de x^9 qui dépend seulement du rang m de la travée dont on s'occupe; mais, n — m étant supposé infini, et m différent
de II x'^ passe à la limite - (i-hv^)c ou 0,78868c, qu'on lui
a reconnue plus haut. Pour m = i, on a encore, bien entendu.
L'hypothèse 11 = 00 et m fini, introduite dans la formule (4) qui donne xf et ;r*^, n'y produit pas de simplification bien sen* sible : il faut remarquer seulement que (3..^ doit se remplacer par sa limite 2 — ^ ou 0,2679492. Pour ce qui concerne la formule (8), on observe d'abord que les puissances infinies et positives de a^ étant négligeables, on a, par les formules ( 7 ) du n° 82,
d'où résulte
et, par un calcul tout semblable,
ii^9jii4.i — lin— a a ,
substituant ces valeurs dans la formule (8) et observant que pour il = 00 le rapport -^^ prend (n*» 38) sa valeur limite ^, on trouve
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t»OUTRES SYkÉTRtQtlÉS, ETC. Ig3
R' désignant ici la quantité
3' 4H-3â»-+.4aV'3
Or, on reconnaît les idetitilés
(24-ôv^3> = 44-3ô^-f-4âv/3, V/5(2 + ôv/3)* = (4-h3ô*)V^3-hi2a, (2-4-av/3)(2— 3v/3)=4 — 3âS
en vertu desquelles on peut édrire la précédente formule de celte autre manière :
C 2 2^ôy^3
et"
La quantité a'^^"-* étant rapidement décroissante avec m et se trouvant affectée du facteur —-r-^ toujours <i et même
2 wC
assez voisin de o dans les cas ordinaires, on voit que — con-
verge, rapidement aussi, vers les limites
qui répondent à m t=: ao . Tout calcul fait, ces limites sont respectivement
Si Ton emploie les formules (10), il faut y supposer
If)^ CHAPITRE DEUXIÈME.
respeclivemenl pour
^ m==x, n — m = cc.
