f- SfJJ

Cette formule et son analogue du premier cas donnent pour limite des moments X«, quand m augmente indéfiniment, la

quantité -jp' b^d^, soit la moitié de ce qui répond à la charge

complète.

Pour rendre égaux tous les moments Xi; ^*^*', n étant infini, il faudrait poser Téqualion

d'où Ton déduit par tâtonnement

Uhypolhèse S = i fait coïncider les formules ( 17) et ( 18) : donc, quand une poutre ayant un nombre pair de travées^ toutes égales entre elles, est surchargée sur les travées de rang pair, les moments de flexion aux points d*appui sont les mêmes que si la surcharge passait sur les travées impaires, et conséquemment moitié de ceux que produirait la surcharge de la poutre entière.

Troisième cas : n impair; la surcharge porte sur les travées paires. -— Dans ce cas, il y a une surcharge sur la ( /i — i)'*"* travée, et il n'y en a pas sur la dernière : les équations (i5) du premier cas sont donc modifiées, en ce que la dernière du

groupe a pour second membre -r p' éM% comme la première.

Si donc on représente encore X« par la formule (16), les éqùa-

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POUTRES STMÉTBlQtJES, ETC. 303

lions de condition pour déterminer les conslaotes A el B seront

Aa'«-'(2-f-ôv^3)4-Ba''*-^(2 — ôv/3) = -^p'6»ô»{3ô — 2%

La somme des deax seconds membres deviendra

et leur différence t sera nulle : donc on aura, en appliquant, comme dans le premier cas, la formule (6) du n*» 35,

Ici Ton peut, quel que soit », rendre tous les moments égaux en prenant ô = -5 • Si /i est înflnî, ^^*'^*' se remplace,

cdmioe ob Fa déjà vu, par V3a'''""~'» et A paf vf3 : il vient alors

xr-^^-=^/i'A'â'[.4.

formule identique avec celle trouvée dans le cas de n pair. Cela ne doit pas surprendre, car la parité de n est évidemment indifférente quand ce nombre est infini.

Quatrième cas : n impair; la surcharge porte sur les travées impaires. — Ce cas étant complémentaire du précédent, on peut le traiter par le même moyen que le second, et Ton trouvera

Dans ce cas, on rendrait les Xm tous égaux par la valeur de ô d = 1,07240. . ., qui satisfait à Téquation 6 — 2Ô^ — 36' = 0, déjà rencontrée il

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y a un instant. Pour /i =r oo , on retrouverait identiquement le résultat du deuxième cas.

50. Moments produits aux points d'appui par une surcharge dans laquelle deux travées consécutives sont surchargées, le surplus de la poutre Vêtant de deux en deux travées, — Les surcharges ainsi définies sont celles qui donnent la limite positive X' des moments de flexion aux environs de chaque point d'appui (n®26); car on sait que pour avoir cette limite il faut surcharger les deux travées adjacentes à Tappui, et toutes les autres de deux en deux.

La question que nous avons maintenant à traiter présente, avec celle du n*» 49, une différence assez essentielle, quant au résultat qu'il s'agit d'obtenir. La surcharge de deux en deux travées sur la poutre entière est toujours celle qu'il faut supposer pour avoir les moments limites X' ou X'' vers le milieu des travées, et en conséquence nous devions, au n**49, chercher tous les moments Xm, l'indice m restant quelconque ; au contraire, la surcharger actuellement en question ne doit être considérée qu'aux environs d'un appui, c'est-à-dire dans les travées de rang m et m -h i, si cfet appui est A«. Or, pour connaître les moments en un point quelconque des travées A«-i Am, Afl,A«H,, nous n'avons pas besoin des moments au-dessus de tous les appuis indistinctement : il nous suffit, suivant la formule fondamentale du n*» 1, d'avoir X,»-!, X«, X«+i. Le problème se pose donc ainsi : ayant surchargé deux travées consécutives Am-, kmy AmA^m+i, et toutcs les autres de deux en deux (comme l'indique la dernière ligne de la Jig. 7, p. 96), oji demande les moments de flexion sur les trois appuis qui limitent les deux travées portant la surcharge non interrompue.

Les nombres m et n pouvant être chacun pair ou impair, il se présente dès le premier abord quatre cas à. distinguer, dont chacun exigera généralement trois formules, et parfois des formules spéciales quand m sera égal à i (ou à /i — i).

Premier cas met m pairs.—: Les travées extrêmes sont toutes deux vides, de sorte que les travées surchargées ont les numéros suivants :

iy^,6,S, . . . , m, w 4- 1 , m -+- 3, m 4- 5, , , .,n — i .

POUTRES SYMÉTRIQUES, BTC. ao5

L'équation (lo) du n" 6 appliquée à tous les groupes de deux travées adjacentes conduit donc au système ci-dessous, que nous divisons en trois groupes :

x,+4x,+x,= ip'6'ô',

X„,-|-4X„,-HX„ = i/6'ô'; X»,, + 4X» -h X„+, = i/>' 6»3' ;

Si nous nommons k un indice variable de i à m inclusivement» les équations du groupe (ii), sauf la première, seront satisfaites en posant

comme dans le problème précédent; de même on satisfait à toutes les équations (23), à part la dernière, en prenant, pour un indice k variable de m à /i — i ,

(25) X*=-7D'ft»d» + A'a'* + B'c

de cette manière, toutes les inconnues X*, en nombre îndé-

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206 CHAl^ITRE DBUXIEME.

terminé, sont réduites à quatre, A, B, A', B% qu'il s'agit d'abord de trouver : nous attribuerons ensuite à k les valeurs particulières m — I, m et m -f- 1, pour avoir nos formules définitives. Afin d'établir les conditions qui doivent donner A, B, A', B', on écrira premièrement que les expressions (24) et (25) deviennent identiques pour k = m, puisque m est compris dans les deux séries d'indices : on trouve ainsi

Puis on substituera les mêmes expressions dans l'équation ( 22 ) et dans les deux équations extrêmes du système (21, 22, 28); on aura de cette manière :

(A — A')a"— -f-(B — B')a'"-' = j/?'ft^3S Aa'(2 — dv^)-f.Ba"(2^.dV^) = ^/è'ÔM3ô-2), A'a"»-'(2 + àv^)-|-B'a''«-'(2 — ôv^) = ^p'6'ô'(3d — 2),

ce qui complète le nombre de relations nécessaires. Les deux premières donnent A — A' et B — B' ; par une élimination bien facile on obtient

(A — A')(a'*— i)a"«-' = — jp'ft^ô^

et attendu que

a'»— i=(2-f-^)'— i = 6h-4v^=:2V^(24-V^)=— ^a'A il vient

de même on trouve

B--B'= îp/6*ô»a"».

Éliminant A' et B% il reste les deux équations en A et B :

Aa'(2 — ô\/3)-t-Ba"(2H-ôv^3) = i^p'6^ô*(3d — 2),

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P0UTKE8 STKéTRtQnES, ETC. 20^

Ao'»-' (2 -4-av^) -4-B«"«-' (2 — d^/3)

■+■ -^/>'6»3» [(2 + à}/ï) «'-«-' — (2— âV^) a"-"-'] •

Ces équations sont encore de même forme que celles qui ont servi à déterminer À et B dans les cas précédents : il n'y a de changé que les seconds membres, dont la somme et la différence sont

La- formule (6) du n» 35 nous donne donc Aa'*-|-Ba''*, savoir :

Aa'*-l-Ba''»

par la substitution de cette valeur dans Téquation (24)» il vient

3d — ^-h3èun^

x.=^/"*(.^-^Sr-

soit, en réunissant les termes qui contiennent le facteur m„.

et remettant ^ au lieu de A,

(*) Le nombre i/,^,^ s'introduit ici par l'emploi de la formule (3) du n® 31.

ao8 CHAPITRE DBVXIEME.

La dernière parenthèse peut recevoir une forme plus simple : on a en effet

ou, suivant les formules (ii) du n^32, (i5) et (17) du n'*33.

Substituant ce résultat dans Xjt, on trouve définitivement

Cette équation s'applique à toutes les valeurs de k qui ne dépassent pas m; nous pouvons donc y faire k = m — i, h = m, et en tirer deux de nos inconnues principales, savoir :

ri.4.6. . .m(m-»-i) (mH-3) (iiH-5). . . (n—i) •» a-4-6« • ."i(m-M) (m-i-3) (im-5). . . (n— i)

Il n'est pas d'ailleurs nécessaire, pour avoir X„+„ de poursuivre le calcul commencé et de rechercher les constantes A^ B' : il suffit d'appliquer la formule (26], en imaginant que le numérotage des appuis commence au second bout A» de la pièce, ce qui revient à changer, dans le second membre, m en n — m ou en 2 ^ 4- 2 — m. Remarquant en outre qu'on a généralement (n*" 32)

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POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. ÛOg

on trouve par ce procédé la troisième inconnue principale

Xa.4.6. . .m (w-*-i) (rn-4-3) (rn-+-5). . .(n — i; m-»-i

Les trois dernières formules présentent un inconvénient que n'avaient pas les précédentes, données à partir du § II : c'est qu'on y fait intervenir la série des nombres «, qui dépend de ô, et ne peut, comme celles des nombres M, N, A, se calculer une fois pour toutes. Cet inconvénient disparaîtrait si Ton remplaçait les u par leurs valeurs (i5) et (16) ou (17) du n"" 33; mais on tomberait alors dans une assez grande complication d'écriture, et le bénéfice ne serait pas bien réel. Nous n'avons pu d'ailleurs, malgré nos efforts, trouver de transformation propre à donner des formules suffisamment concises, tout en conservant l'avantage de n'y faire entrer d qu'explicitement.

On remarquera que la première partie de ces formules est identique avec la formule (19), relative à une autre distribution de la surcharge.

Pour savoir ce que deviennent les moments X«^i, Xm, X«+,, qu'on vient de calculer, dans le cas de n = 00 , m restant fini,

il suffit d'avoir la limite des rapports ^^ï """"""' - Or les for-

Un Un

mules (3 ) et (4) du n" 31 donnent, en négligeant les puissances infinies de a'\

lim ""^'^^ "

combinant ce résultat avec celui précédemment obtenu pour la formule (19), nous trouverons, dans le cas de /i = oo ,

Xa.4.C. ..m{m+i) (/ H-3) (»n->-5). . .