II. Soit maintenant A'B' {fig. 52) une travée quelconque

(mais non de rive), de longueur c; traçons encore la parabole A'M'B' ayant pour équation

et portons en A' et B' les ordonnées A'C, B'D égales aux moments de flexion correspondants. Le moment fléchissant moyen dans la travée A'B' sera proportionnel à l'aire comprise entre la parabole et la droite CD, c'est-à-dire à

CFAM-FEGM'+GDB',

et l'on peut alors se demander quelles valeurs de A'C, B'D rendront cette aire un minimum.

Pour les obtenir il suffira de prendre

et de mener parle point E ainsi obtenu la parallèle CED à Taxe des X. En effet, les distances EG et QF étant proportionnelles à v^M^ et v'MFQ, on aura

c'est-à-dire

EG = GD, et, par symétrie, EF = FC :

donc, si Ton imprime à la droite CD un mouvement infiniment petit, soit de translation, soit de rotation autour du point E, les petites surfaces ajoutées à Taire ci-dessus indiquée seront égales à celles que Ton retranchera; par suite il en sera de même dans un mouvement élémentaire quelconque, nécessairement réductible aux deux précédents. Donc la différentielle de Taire, correspondant au déplacement en question^ sera nulle, ce qui constitue le caractère du minimum. Les valeurs de A^ et B'D qui le produisent sont donc

A^ C = B' D == V M' Q = ^ pC.

L'aire A'QB'M' est, comme on sait, — pc^; des résultsgts qu'on vient d'établir on déduit

2 î^ ^SÏT7 I ï

FEGM' = 5.FG.EM' = 3C.5^pc' = ^pc.,

A'CDB' = |-/>c«

donc

CFA' + FEGM' 4- GDB' = A'CDB' + 2 . FEGM'— A'QB'M'

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a56 CHAPITRE DEUXIÈME^

Le rapport entre l'aire minima et celle de la parabole

A'B'M' est ^î soit g-, c'est le nombre qui mesure l'avantage

maximum de la solidarité, dans une travée intermédiaire. III. Soit maintenant une poutre à n + i appuis

A», A|, Aj , As,.. ..y A|)i y An 5

nommons

les longueurs des n travées, et

les moments fléchissants dans les sections qui répondent aux n — I appuis intermédiaires. Ayant porté ces moments en ordonnées au-dessus des points correspondants, construisons la ligne brisée

A» \i \i \i . . . Xn— .1 Aji ,

qui joint leurs extrémités; construisons aussi, dans chaque travée, la parabole analogue à AMB ou A'M'B' (Jig. 5i et 5i). Nommons S l'aire totale comprise entre la ligne brisée et les paraboles, laquelle aire divisée par la longeur constante de la poutre nous donnerait le moment fléchissant moyen : il s'agit de rendre S minimum en disposant des longueurs a», th, as,..., sans changer leur somme, et des moments particuliers X,,

■A.Î , Xs , . . . .

D'après ce qu'on vient de voir, si d'abord nous laissons les ouvertures des travées constantes, l'aire partielle relative à chacune d'elles ne pourra descendre au-dessous d^un certain minimum qne nous connaissons, et par suite S ne pourra descendre au-dessous de la somme de ces minima; donc

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POUTRES SYMÉTRIQUES, £TC. nSj

£n général, les ouvertures des travées étant quelconques» les minima partiels dont nous venons d'écrire la somme ne seront pas réalisables : en effet, pour réaliser le minimum

6^ dans la travée A* Ai , il faudrait prendre

X,=Lpal[,-^),

et, pour réaliser le minimum y' P^l ^^^^ ^^ travée A.At, on

devrait avoir

valeur généralement différente. lî faudrait donc pouvoir attribuer deux valeurs différentes à la même quantité, ce qui est impossible. De même, la condition pour obtenir Je minimum

partiel ^ pal est de poser

X^=X^= — pal;

pour le minimum y'i'^î» ^® poser

X3=X«=^paî,

et ainsi de suite. On voit que la supposition d'ouvertures quelconques rendrait impossible la réalisation de chaque minimum partiel, en conduisant à deux valeurs différentes pour chacun des moments Xi, X„ Xs,. . ., X»-i.

Mais nous pouvons faire disparaître cette impossibilité en choisissant les ouvertures, ou plutôt leurs rapports mutuels, de manière que ces doubles valeurs deviennent égales deux

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a58 CHAPITBB DEUXIÈME.

à deux. Il suflit pour cela qu'on ait (6) < al = alz=a]=..,= a^,,, ou, ce qui revient au même,