SS = ^ = V5('-V
j a, an ' y 6\
\ «,= «,= «4= . . . =rt,|.
Dans ce cas on aurait le droit d'adopter les valeurs, toutes égales, qui viennent d'être mentionnées, pour les moments X,, Xs, X3,. ..; et, si on les adoptait effectivement, Tinégalité (5) se changerait en égalité.
Or il arrive en outre, ce qui est fort remarquable, que les rapports (6), établis entre les diverses ouvertures, sontprécisément^ceux qui rendent minimum le second membre de l'inégalité (5) considéré comme fonction de ai, a^, As,..., sous la condition d'avoir
«I -I- a^-h rt3-f- . . . == const.
Nommons en effet S' celte fonction ; nous aurons
fl?S'== - /?af daAi — 1/- j -h j-p^\ ^^'"^ 3^ P^l ^^3 "+■• • •
ce qu'on peut écrire, si les conditions <6) sont satisfaites,
rfS' = ô'/'^î (rf^i -H rffla-f-rfo» 4- . • . H- da^),
c'est-à-dire -û?S' = o, puisque la soîneae des outerlufess ne varie pas. Les conditions (6) ou (6 bis) expriment donc bien 1«
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POUTHBS STMÉTRIQV^S) BTC. aSg
minimum de la ronction S' ; par conséquent elles expriment aussi celui de S, toujours plus grande que Sf, et lui dôTonant égale seulement quand ces conditions sont satisfaites.
En résumé, si 2 L désigne la longueur totale de la poutre, n le nombre des travées, on voit qu'il faut, pour rendre minimum le moment fléchissant moyen, déterminer Touverture b des travées de rive, par l'équation
ii+4(/»-2)*\/5(i~y/^) = ^L,
qui donne
soit plus simplement, en remplaçant le quadruple du radical
par sa valeur très-approchée ï,25 ou jy
prendre l'ouverture c de chaque travée intermédiaire égale à 4* V 4 ( ' — v"* ) » ^" approximativement
5, loL 2L
4 on — 2 n — 0,4
enfin, s'arranger pour que le moment sur un point d'appui quelconque ait pour valeur ^/>c». Il nous reste à dire comment cette dernière condition pourra être pratiquement réalisée.
IV. Nommons en général j* la quantité dont l'appui A* se trouve au-dessous d'une ligne superposable i la fibre moyenne primitive et joignant les appuis extrêmes A«, A«; la longueur d'une travée de rive étant en outre désignée par b, et celle
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a6o CHAPITRE DBVXIÈME.
d'une travée intermédiaire par bi, nous appliquerons l'équation (9) du n* 6 à tous les groupes de deux travées consécutives, ce qui nous donnera :
p^ [-/.(• +i)+r'] = 2X.(i-Ha)-t-x.3
-^pi'(«+n
^,(r.— 2r'-Hr3) = x.+4x.-<-x,— -;>6'3',
gjy, (/'— 2r. -t-r*) = x,+4x,+x.— -/)6'ôs
jîy, (r.-s— 2.r„, + r— < ) = x,,4- 4 X., 4- x.,
îi [r-'— r»-. (• -<-^)] = x,-.a-i- ax^,(n-3)
-^pb'ii-^-è'),
ou, en remplaçant Xi, X„ Xj, . . . , X„, par ■^pb'S',
(Tbis) ïTy,(r^-^r3+r.) = 76/'ft'3s
3jg;(r«-»— 3'r»-»+r— )= 76^**^''
Les (n — 1) équations précédentes déterminent les valeurs qu'on doit donner aux ordonnées/,, ji,7s>.-.,jii-i. Pour les résoudre commodément, on remarquera que trois de ces va-
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leurs, ayant pour indices trois nombres entiers consécutifs, satisfont à la relation
que Ton peut écrire aussi
De là résulte, en nommant A et B deux constantes, et / le facteur -g- p6* 3%
(8) r^rr/^^A-^-hAA-H-BV
Cette expression vérifie, quels que soient A et B, les » — 3 équations intermédiaires du groupe (7 few), et Ton peut ensuite disposer des deux constantes de manière à vérifier aussi les deux extrêmes. C'est ce que nous allons faire : mais nous remarquerons d'abord qu'en vertu de la symétrie on doit avoir évidemment
ou, d'après Téq nation (8),
-*^-f.A/r=:i(w— A-)' + A(ii — /r):
de cette relation nous tirons
. I [n — ky—k^ n
et par suite
Si nous adoptons cette dernière expression, nous n'aurons plus qu'à choisir B de façon à vérifier Tune des équations extrêmes du -groupe (7 6w), la première par exemple : cela
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202 GHJLPITKK DBUXIÈME.
nous fournira la relation
— a»[n(l — *)— 3-frd-|-2Bd]=:3*-h6d»— S,
d'où Ton déduit
2|f = TT f
ou
bien, eu égard à la valeur 4 V/ 4 ( « — y- ) de J,
Donc enfin
La quantité comprise entre crochets, dans le secopd membre de la formule (9), varie avec k; mais sa plus petite valeur (qui répond à l'une des limites k=^i ou k~n — i)est
Donc celte quantité reste toujours positive ; donc, / Tétant aussi, toutes les ordonnées j* sont négatives, c'est-à-dire qu'il faut les compter au^^essus de Taxe des abscisses.
Le facteur /= -rr- pb*i* n'est autre chose que les 0,8 de la
flèche qui serait prise isolément par chaque travée intermé* diaire, sous la charge uniformément répartie pbS^ si Ton détruisait la solidarité entre les travées, et que la poutre fût interrompue sur chaque pile.
Le maximum en grandeur absolue de Xh lorsque k varie,
répondrait à A- = - » et aurait pour valeur
il existera sur l'appui centrai, quand n sera pair, ce qui per-
POUTftBS SYMÉTRIQUES, ETC. a6S
mettra de faire Ar = — Mais si n est impair, on ne pourra plu3
adopter que les valeurs k = ? afin de s'en rapprocher le
plus possible, et l'on obtiendra pour limite supérieure des Xk le produit
ce qui diffère relativement peu du résultat précédent, dès que n a une grandeur notable.
Il est facile de trouver une courbe continue passant par tous les points d'appui intermédiaires, ^fin de la définir, nous prendrons pour axe des j la verticale descendante qui part du milieu de la poutre, et pour axe des x Thorizoniale menée à la distance
au-dessus de l'axe relativement auquel nous comptions Xit /»> Xi9 • • •^/n-i- Nous supposerons, pour éviter toute équivoque, la fibre moyenne rigoureusement droite, dans son état primitif. L'ordonnée de l'appui A* est, avec ces nouveaux axes.
son abscisse sera
comme on le vérifie aisément en retranchant la distance AftA* de la demi-longueur de la poutre. L'élimination de k entre ces deux équations donne celle de la courbe, savoir :
1 /» it*
ce qui est l'équation d'une parabole à axe vertical, ayant 2 63 de corde sur -/ de flèche, et tournant sa concavité vers le
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a64 CHAVITRE DEDXIÈIIB.
bas : on voit donc que tous les appuis appartiennent à une même parabole quand la fibre moyepne est primitivement droite. Inversement on pourrait faire droite la ligne des appuis, en adoptant une fibre moyenne parabolique; et généralement on pourrait adopter toutes les combinaisons qui maintiendraient le même écart relatif entre ces deux lignes, pourvu, bien entendu, que la fibre moyenne restât toujours sensiblement droite.
Il est à remarquer que les ordonnées des appuis extrêmes ne rentrent pas rigoureusement dans la formule précédente ; celle-ci, en faisant
^=:fcô (^^j\^b,
et tenant compte de la valeur numérique de S, donnerait en effet ^
tandis qu'on devrait prendre en réalité
r=^/(o»25/i»— 0,1999/1 -rQ»o377}.
On voit qu'il existe entre ces ordonnées une différence de
0,0777 • "*"/> laquelle a une importance relative d'autant plus
faible que n est plus grand.
V. Quand on dispose la poutre de manière à réduire autant que possible le moment fléchissant moyen, il est facile d'avoir la valeur de cette moyenne qu'on a rendue minimum. L'aire totale de la courbe représentative des moments est, en effet,
or on a, suivant l'égalité qui définit le nombre d.
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donc
ce qui donne pour la moyenne cherchée -^pb^S^ car l'expression entre crochets n'est autre chose que la longueur de la poutre. Enfin, si l'on remplace bS par sa valeur approximative
-zi indiquée plus haut, il viendra pour expression de
cette moyenne minimum, que nous appellerons M,
Il y aurait sans doute un certain intérêt à comparer M avec les moyennes analogues M' qui se produisent dans diverses circonstances. Si la poutre est formée de n travées indépendantes ayant pour longueur — > le moment moyen est
donc on a
^, 2 I /2L\^ pV
formule qui conduit aux résultats indiqués ci-dessous :
n=r±S, 9, 10, II, 12,..., 00.
g7 = o,4i6, o,4ii, 0,407, o,4o4, o,4oi,..., 0,375.
Si la poutre est composée de trois travées solidaires, et que le polygone des appuis reste invariable pendant la déformation de la pièce (n** 62), on trouve à la page 188 de notre Cours de Hésistajiçe des Matériauxy un tableau des valeurs que prend M^ suivant la gr^deur du rapport d entre la longueur de la
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l66 CHAPtnX DBiniÈMB.
travée centrale et celle d'une travée extrême : d'ailleurs M de-
vient :
