Cph{n — 2/) cos* a

et comme la distance franchie horizontalement est 3 A tanga, cela fait par unité de longueur

Cjg(/i-— a/) sin a cos a

Le rapport entre le résultat précédent et celul-cî a pour valeur

sin«cosa / 1 \

tanga \ cos^a/

ou, toute simplification effectuée, i-4-cos»«; donc il reste toujours supérieur à i, comme nous l'avions annoncé.

Ce calcul conduit aussi à déterminer la meilleure valeur de a pour les poutres de How : il suffit de chercher le minimum de la fonction

rf \ / . ' \ ■ cosa , I

•'^ ' \ cos'a/ tanga sma smoccosa

On posera donc l'équation

ff( \— I cog^ge — sin'g

j ^a;o— . gJ^l^ sin'acos*a '

486 €«APif M wraiBi*

d'où résulte iounédiaiemeni

tanga=:\/^, ety par suite,

Pour cette valeur particulière le rapport i 4-cos*a, ci-dessus

trouvé, devient égal à ^; il est - pour a = 45**; enfin si Ton

donnait à a sa valeur la plus favorable dans chacun des deux systèmes, savoir «=:45* pour l'un et a = 54* 44' 8' pour l'autre, le rapport dés volumes dépensés deviendrait

sîn45*cos45**

On pourrait encore, comme au n* 176, calculer le poids propre de la poutre par mètre courant. La seule modification consisterait à augmenter le volume V^, qui se trouverait ici multiplié par un facteur plus grand que i. Ce facteur, d'après ce qu'on vient de voir, ne pourrait guère descendre au-

dessous de -9 avec l'angle a le plus favorabiet môme quand

on négligerait les diagonales supplémentaires : pour en tenir compte par aperçu, nous multiplierons une seconde fois

par -> ce qui élève à | le facteur eu question; alors le

nombre^? qui entre dans les valeurs de gj' et de gj (n® 176),

doilêtreremplacépar ^•^oupar-2-- La portée limite, répon- ^4 4

dant à ^ ;=5, éprouverait en conséquence une diminution et sera\f,

ia = — 7 pT- = i75 mètres.

L'équatidn du second degré qui donne cette limite quand on fixe la valeur de h devient ici, pour A = 9»

îo* a* i5 i3 9 ^

et Ton en déduit

2a=:i36 mètres.

178. Poutres articulées à longerons courbes, — On peut faire à la fig. 68 deux changements : i** remplacer les droites Ao^o et B060 par deux courbes A»Mao, AoM'«o [fig^ 69), ayant

Fig.Gg.

chacune leurs deux extrémités sur les points d'appui Ao, ^09 et représentant les axes de deux longerons ; 2P intervertir le sens des diagonales, c'est-à-dire avoir des tiges inclinées qui, dans la partie A«H> par exemple, descendent de gauche à droite, au lieu de descendre de droite à gauche. Les montants verticaux équidistants sont d'ailleurs conservés; de plus, les deux longerons courbes tournent leur concavité vers la droite Aoa«. La poutre ainsi constituée recevant l'action de divers poids en ses articulations Ai, As, . . . , H, . . . , ai, 61, il est encore facile de déterminer les efforts supportés par tous les côtés du système. £n effet, si l'on coupe la pièce par un plan vertical quelconque CD, ce plan rencontrera trois côtés, savoir : B3B3, BsAa, AaA»; en chacun des points de rencontre, il s'exerce sur la partie de poutre placée d'un certain côté du plan CD (à gauche, par exemple) une pression ou tension, de direc* tion connue, provenant de l'action exercée par l'autre partie. Or, ces trois forces doivent, avec les poids appliqués de A« en CD et la réaction P de l'appui A«, former un système en équilibre : égalant donc à zéro la somme des projections horizontales ou verticales et la somme des moments par rapport à B,, on aura trois équations qui permettront de calculer trois de nos inconnues. On agirait de même à l'égard de tous les quadrilatères analogues à BiBsAaAs, compris entre deux montants ver^

488 CHAPITRB HUITlfeHE.

ticaux consécutifs : quant aux triangles extrêmes, il suffira de décomposer les réactions de chaque appui en deux forces, suivant les côtés qui aboutissent à cet appui; ainsi en Ao on décomposerait P suivant les directions AoB. et À* Ai, pour avoir les pression et tension respectives de ces deux côtés. Il ne restera plus alors qu'à trouver les tensions des montants verticaux : on y parviendra sans peine en projetant sur leur direction les forces appliquées à une articulation quelconque.

Lorsque tous les poids suspendus aux divers sommets inférieurs sont égaux, on trouve, en appliquant cette méthode, que le longeron supérieur est partout comprimé, et le longeron inférieur partout soumis à une tension; en.outre> on obtiendra généralement des tensions dans toutes les tiges verticales ou inclinées qui réunissent les longerons. Nous admettrons que la forme des courbes a été choisie de manière à remplir cette condition. Alors on voit que si Ton complète le système par Fadjonction des diagonales supplémentaires tracées en lignes ponctuées sur la figure, ces diagonales resteront inactives tant que la poutre sera uniformément chargée sur la longueur entière; mais elles travailleront si nous supposons, comme au n* 177, qu'un certain nombre de sommets, à partir de Ai, supportent un même poids, pendant que chacun des autres supportent un autre poids, ce qui est le cas d'une surcharge incomplète. Alors le point analogue à M, où les diagonales doivent être changées de sens pour n'éprouver encore aucune compression, ne restera plus au milieu de la pièce, et la^g-.ôg se modifiera en perdant quelques-unes de ses diagonales en traits pleins, qui seraient remplacées par leurs supplémentaires. Celles-ci se trouveraient d'ailleurs soumises à des ten* sions connues; on donnerait à chacune la section capable de résister à la plus grande tension obtenue en faisant varier le nombre des sommets surchargés à partir de l'une ou l'autre extrémité.

Une autre méthode, aussi imparfaite sous le point de vue de la théorie pure, mais peut-être plus commode dans l'application, consisterait à regarder la poutre, avec toutes ses diagonales, comme résultant de la superposition de deux autres poutres, entre lesquelles on partagerait également la charge totale :

Tune des deux serait formée des longerons, avec les montants et les diagonales pleines; dans l'autre, il y aurait également les longerons et les montants, mais les diagonales seraient les lignes ponctuées. En réunissant les sections obtenues des deux manières pour les longerons et les montants, on retrouverait en somme le même résultat que par la première méthode ; les diagonales pleines seraient d'ailleurs réduites à moitié. Il y a donc là quelque chose de contraire à la sécurité, puisqu'on peut craindre que, par suite d'un règlement mal fait, les efforts ne se partagent pas également entre les deux systèmes de diagonales. Il serait prudent de conserver à chacun d'eux les sections qu'il devrait avoir s'il fonctionnait tout seul sous la charge entière.

Les montants verticaux et les diagonales pleines ou ponctuées de la^g.âg peuvent se dédoubler chacun en plusieurs autres, comme on Ta déjà vu à l'occasion des -poutres en treillis et des poutres de How (n«« 174 et 1T7), de manière à former une espèce de réseau à mailles plus ou moins serrées.

Les poutres dont nous venons d'exposer succinctement le calcul sont le type de deux systèmes, l'un connu sous le nom de bow''String{*)y l'autre désigné par le nom de son auteur» M, Pauli, directeur général des travaux publics de Bavière. Dans le bow-string, on a plusieurs fois remplacé la courbe inférieure Ao H/Zo par une simple droite, et en même temps la courbe supérieure a reçu la fo.rme d'une parabole ayant le point M' pour sommet. La parabole étant, comme on le sait ( n"* 166), la figure d'équilibre d'un système articulé simple chargé uniformément suivant l'horizontale, on conclut sans peine de ces données : i** que la tension dans la ligne horizontale inférieure a une valeur constante, laquelle s'obtient en décomposant la réaction P de l'appui suivant la direction de cette ligne et celle du premier élément A« Bi de la parabole ; ^** que la tension de chaque tige verticale est égale au poids qui est censé attaché à son extrémité inférieure; S"* que la

{*) Nom anglais qui signifie littéralement: arc-corde, ou arc avec sa corde. Les poutres en bow-string ont été imaginées et plusieurs fois appliquées en Angleterre par M. Brunel, fils du célèbre ingénieur qui a construit le tunnel de Londres, sous la Tamise.

4gO GHAPITU HUITlftMB.

compression dans Tare supérîear diminue de A« en H' comme la tension dans une cliaîne de pont suspendu^ ayant même flèche, même ouverture et même charge ; ùp que toutes les diagonales, aussi bien pleines que ponctuées, restent inactives sous une charge complète uniformément répartie, et que par conséquent leur section doit être calculée uniquement en vue des poids concentrés ou des surcharges incomplètes.

Le système Pauli est une espèce particulière de bow-string dans laquelle on a disposé des deux courbes affectées par les longerons, de manière que la tension de Tun fût égale à la compression de l'autre, chacun de ces deux efforts devant en outre rester constant sur toute la longueur de la pouure. On ne peut remplir ces conditions que pour une certaine dis-» tribution de la charge, la distribution uniforme, par exemple.

Il est à remarquer qu'on donne souvent des dimensions assez fortes au longeron supérieur d'un bow-string, afin qu'il ne se déforme pas par flexion sous les forces qui le compriment : le moment d'inflexibilité de sa section transversale ayant alors une valeur assez notable, il y a quelque chose de peu satisfaisant dans l'hypothèse qui assimile ce corps à un système articulé, parfaitement flexible en chacun des points B„ Bs, Bs, etc. Toutefois, nous avons cru bon de faire connaître les procédés habituellement employés pour vérifier la résistance de ce genre de poutres, procédés imparfaits sans doute, mais jusqu'à un certain point sanctionnés par la pratique. Il est d'ailleurs plausible d'admettre que la rigidité des longerons augmentera simplement la stabilité de la poutre, et que les dimensions transversales jugées suffisantes en vertu de ces procédés auront pour seul inconvénient de pécher un peu par excès.

179. Observation sur les diverses positions qu'on peut attri-* buer aux points d'attache des charges, — Dans tout ce qui précède, à partir du n"* 174, nous avons le plus ordinairement supposé que les charges étaient attachées aux articulations inférieures des poutres : si cela n'avait pas lieu, les résultats que nous avons obtenus seraient un peu altères. Des procédés de calcul tout à fait analogues à ceux qu'on a vus ci-dessus

STSTÈMS8 AKTICULtS SANS FROTTmEirr. 49'

réussiraient aussi bien avec l'hypothèse d'une charge placée à la partie supérieure; mais nous croyons devoir nous abstenir d'en exposer l'application, afin de ne pas tomber dans des répétitions fatigantes pour le lecteur. D'ailleurs, la théorie du n* 175 ayant été faite sans supposer aucun mode particulier d'attache, ses résultats sont applicables dans les deux cas, et cela semble prouver que la modification dont il s'agit ne doit avoit* qu'une influence secondaire sur les pressions et Jensîons des diverses parties du système.

Il peut arriver aussi que les poids agissent sur le réseau de tiges placé entre les deux longerons, en une série de points distincts de ceux où elles s'articulent avec ces loiigerons. Ce cas se ramène aux deux que l'on vient de mentionner. Soit, en effet, AB (fig. 70) une tige chargée au point C d'un poids ji?;

on décomposera ce poids en deux . -p- autres p' et p'^ agissant aux extrémités B et C de la tige, lesquels auront pour valeurs respectives

Fig. 70.

BC --p-='> p ^ AB ^