AC '^AB

Le système de forces p, — p\ — p'' étant en équilibre, on pourra, quand on aura fait subir la même opération à toutes les tiges, calculer les efforts exercés dans les diverses parties de la poutre comme si elle était chargée seulement en A et B, ainsi que sur tous les autres points où les tiges telles que AB viennent rencontrer les longerons. Ceux-ci se trouveront donc encore dans les mêmes conditions que précédemment : mais la pièce AB devra être regardée comme soumise : i^à la tension résultante produite par l'ensemble de tous les poids analogues à />' et p"; 2<> aux trois forces p, — p', —;>"• Par suite, il faudra qu'elle puisse résister à la flexion, en même temps qu'aux efforts longitudinaux directs.

Les bow-strings ayant souvent, comme il a été dit plus haut, un longeron supérieur de section assez forte, le poids de ce

49^ CHAPITH HUITlftlIB. — STSTltlIBS ARTICULÉS» ETC.

longeron tend à comprimer les montants verticaux : on peuv par conséquent, craindre une flexion de ces pièces, qui sont assez longues vers le milieu de la poutre, et qui se trouveraient alors comme des pièces chargées debout. Mais il faut observer, toutefois, que le poids du tablier et les autres poids placés à la partie inférieure, lesquels sont d'ordinaire beaucoup plus considérables, ont pour effet de produire une tension dans les mêmes montants; par conséquent, c'est une tension que ceux-ci doivent finalement éprouver. Le contraire ne pourrait se produire qu'accidentellement, pendant la construction de la pièce, si le longeron supérieur ne repo-^ sait pas sur des cintres jusqu'à ce que la pose du tablier et de sa charge fût complètement terminée.

POUSStB DES TERRES, ETC. 4()3

DB LA POUSSÉE DBS TERRES ET DE LA STABIUTÉ DES MAÇOimERIBS.

§ V. — De la poussée des terres (*).

180. Hypothèse sur le frottement et la cohésion des terres. — Un massif de terre étant soutenu par un mur, la théorie de îa poussée des terres a pour objet de déterminer la pression totale que supporte la face postérieure du mur, et la loi de la répartition des forces élémentaires dont cette pression totale est la résultante.

La solution dépend des hypothèses qu'on peut faire sur la nature des forces mutuelles qui agissent entre les molécules de terre, lorsqu'elles glissent ou sont sur le point de glisser les unes sur les autres. Supposons d'abord des terres fraîchement remuées et- à peu près réduites en poussière : on observe alors qu'elles prennent naturellement un certain talus ou inclinaison relativement au plan horizontal, et que sous cette forme elles restent en équilibre. Les molécules situées à la surface libre du talus se trouvent sollicitées à glisser par la composante tangentielle de la pesanteur; si donc elles n'obéissent pas à cette action malgré leur mobilité, c'est parce qu'elles éprouvent une résistance égale et contraire ou un frottement de la part des molécules voisines. Mais l'existence du frottement ne suffit pas pour expliquer tous les faits : on ne saurait, par exemple, expliquer ainsi comment certaines terres peuvent se maintenir suivant des talus à pic, car il faudrait supposer au coefficient de frottement une valeur infinie. On lève cette difficulté en considérant les terres comme possédant à un certain degré la cohésion qui appartient aux

(^*) Tout ce para<|;raphe est extrait, sans changement bien sensible, du Cours lithographie de M. Bélanger, professé à TÉcole des Ponts et Chaussées pendant la session i848-i849.

4^ qHAPItlB IflVTllHIK.

corps solides, et notdmment ht résistance au glissement transversal simple.

D'après ces considérations, il .semble qu'on peut admettre riiypothèse énoncée par Coulomb, savoir-: que la force opposée au glissement mutuel de deux portions d'un massif de terre sur un plan commun se compose de deux termes : i® le frottement, proportionnel à la pression normale, comme dans le glissement de deux solides Tun sur l'autre; 2® la cohésion, indépendante de la pression normale, mais ayant une valeur déterminée par unité de surface, ce qui veut dire qu'elle est proportionnelle à la surface de séparation.

Cette loi peut être vérifiée et les coefficients de frottement ou de cohésion déterminés, pour chaque espèce de terre, par l'expérience, au moyen des formules fournies par la théorie dans les questions ci-après.

181. Premier problème. — Un massif, dont la surface supérieure est dans un plan horizontal AB {fig, 71], est terminé latéralement par un

plan AC. Il s'agit de déterminer l'ange le '^' ^ ' * plus petit que le talus AC puisse faire avec

» A ^B — 2g verticale, sans qu'il se fasse aucune

I / >^ disjonction dans le massif.

I / >/ Soient :

\l^ ^ la hauteur donnée CD;

c a Tangle cherché de AC avec la verti-

cale CD; n le poids de l'unité de volume du massif; / le coefficient de frottement des terres composant le massif; y la cohésion, par unité de surface, entre les mêmes terres.

Imaginons par l'horizontale C un plan CB, faisant avec la verticale l'angle BCD = ô, et séparant du massif un prisme dont le poids par unité

de longueur est représenté par P =£ - n A^ { tang^ -- tanga). Ce prismft

est en équilibre sous l'action de la pesanteur et des réactions qu*exerce sur hii ia partie du massif inférieure au plan CB. Soit N la somme des composantes normales de ces réactions, et soit F la somme de leurs composantes parallèles as plan dans le sens CD. On a, ^ verlu de Téquilibro,

N = Psinp et F = Pcosp.

Cette force F ne peut pas dépasser une certaine intensité qui a lien

POlJâfitS DBS TEUa», ITG. 49$

senlement lorsque le glissement est sur le point de naître. Dans tout autre cas de repos ou d'équilibre, la force F est inférieure à cette intensité, laquelle est composée de deux parties, Tune /N constituant le frottement, Fautre 7.GB exprimant la cohésion. On a ainsi la condition

ou bien

ou encore

Pcosp^/Psinp + 7^, P (I -/tangp) ^7^(1 + tang^P).

Cette inégalité serait évidemment satisfaite si Ton prenait tangp == tanga

(parce qu'alors P serait nul) ou tangp > 7; la dernière valeur de tangp

rendrait Tinclinaison de GB sur Thorizontale moindre que Tangle du frottement des terres sur elles-mêmes , et alors le frottement deviendrait à lui seul suffisant pour empêcher le glissement , sans que la cohé^on eût besoin d'être mise en jeu. L'inégalité dont il s'agit ne peut donc conduire à une condition quelconque pour a, que si Ton y fait varier tang^ entre

tanga et 71; par suite, on peut en diviser les deux membres par le facteur positif I •— /tangp, et alors, en y substituant la valeur d-desBus de P, on trouve

= ^ û «7 '1 -htang'p

L'inégalité doit être vérifiée, si l'équilibre existe, pour toute valeur attribuée à tang^ entre les deux limites qu'on vient d'indiquer; donc la plus petite valeur admissible pour tanga- sera le maximum par lequd passe le second membre lorsque tang p varie entre ces limites. Pour obtenir commodément ce maximum, posons

i-/tangp = ar et — = «; la fonction dont il faut chercher la plus grande valeur est

ou bien

^[a4-/a-(i+/«)«-fi4-/')j]-

4g6 CHAPITftK NBUTllUIB.

Celte expieseion ne comprend comme partie variable que les deux termes

soustractifis (i -\'fa)x et (t+/') -; comme leur produit est constant,

leur somme sera minimum (et, par suite, Texpression totale sera maxi" mum) pour la valeur de x qui les rend égaux, c'est-à-dire pour

par la sobetitotion de celte valeur on trouve la limite inférieure de tanga, savoir :

IUDga =^+ ^, [i - ^(i+p)(i+fa)]

Telle est la valeur cherchée de tanga; elle dépend, comme on le voit, de la hauteur h,

La dernière équation résolue par rapport à h donnera la plus grande hauteur h sur laquelle le massif puisse se soutet^ir avec Tinclinaison a.

Pour une certaine valeur h' de A, tanga est nulle : on a alors, en appelant a' la valeur correspondante de a,

d*où résulte

et par suite

(2) /*'=^(/4-v/TT75).

Pour des valeurs de h plus petites que h'j tanga devient négative. En effet, en posant dans l'équation (i)

I ay a n/i

et différentiant par rapport à cette quantité, on aurait

rftanga,£^^^^/^-p^ ^^±/, = i^>>^7:r?^^ ^^+/ .