a — p- =z 160 mètres environ
mais comme cette solution conduit à une hauteur h de 23 mètreSy qui semble exagérée, il serait mieux sans doute de se fixer d'avance une hauteur maximum, 9 mètres, par exemple : alors la limite de a serait donnée par Téquation du second degré
io< a' 5
d'où Ton tire
aa— i52 mètres
M. Collignon fait encore observer avec raison qu'un calcul analogue serait applicable aux poutres en double T, simplement appuyées à leurs deux extrémités, et construites avec une âme pleine au lieu d'un treillis ; seulement, d'après ce qui a été dit plus haut, le volume V devrait se réduire à moi-
lié, et par suite le nombre x se trouverait remplacé par ^ dans
les expressions définitives de gj' et de cr. Les portées limites répondant àT = 5etàA = 9se calculeraient de même, et Ton trouverait des nombres un peu plus grands, savoir :
2a = a63 mètres, pour t = 5, 2a = 161 mètres, pour A = 9 mètres. 1T7. Poutres améneames dans le système dé Ho0. — Nofis
SYSTÈMES JkATICULfiS SAHS nOTTEMENT. 479
prendrons d'abord un système qui sera une simple modification de celui que représente la^^, 65; au lieu de faire succéder à chaque tige inclinée une autre tige inclinée en sens inverse, nous lui ferons succéder une tige verticale «omme l'indique la^g*. 67 ci-dessous.
Ce système étant posé sur deux appuis et chargé de poids
quelconques, il est facile, par des procédés tout pareils à ceux du n^ V7k, de connaître les pressions et tensions qui se développent dans les divers côtés. Si Ton considère notamment, entre autres distributions possibles de la charge totale, celle qui consisterait à suspendre un même poids à un certain nombre de sommets inférieurs consécutifs, en commençant auprès d'un appui, et qu'on nomme :
P la réaction de l'appui Ao, laquelle se calcule immédiatement par les formules les plus élémentaires de la Statique;
Çi la pression du côlé incliné A.B,-, dont le bout inférieur A,est séparé de A* par i fois la distance Ao Ai ;
/; la tension du côté vertical B,- A14., ayant même bout supérieur que le côté incliné A,- B,- ci-dessus défini ;
Qi la pression du côté horizontal B|..iB,-;
T, la tension du côté horizontal A/,A,-;
2p une charge constante appliquée à chaque sommet inférieur A„ Aj, A3,. . -i A/,. . ., Ait, la lettre k désignant un^, indice plus grand que 1 ;
a l'angle constant des côtés inclinés avec la verticale;
on trouvera les résultats que voici ; /, =P-ai>,
^ ' » ^ cos«
Ti = Q,= iPtenga— i(i
i}ptanga.
48o caunTiB BcmAMB»
La loi de répartition des poids» à raison de iip par chaque sommet inférieur, étant supposée ne pas se maintenir au delà de A» inclusivement» les dernières valeurs qu'on déduira des formules ( a5 ) seront
(26) { qk =
(^ co Ti = 0*
COSâC
A-Ptanga — k{k — i)ptanga.
En supposant que les sommets suivants Ai+t» kh+ty. . . » jusqu'à km inclusivement» portent un poids np' dilTérent de ^p, les quantités (216) seront prises pour valeurs initiales des forces ^9 Çy T» Q dans la suite de la poutre; et si Ton désigne par / un indice quelconque» on formera les valeurs suivantes par la méthode des différences» en employant les expressions
A//zrr — 2/1%
^ cosa
AT/=AO/=://tanga.
De là on tire facilement
^ cosa
T/i=^0;r=Q* + (/-A^)t4tang«—(/~A){/~A^-i)/>' tango.
Les dernières formules fourniront les quatre séries d'inconnues t, 9, T» Q jusqu'à ^«, 9.» T«+i» Q«+i inclusivement.
On pourrait aussi» sans autres calculs» étudier le cas où il y aurait une suite de sommets non chargés» ce qui arrive, par exemple» lorsqu'on suppose la poutre sollicitée seulement par un poids concentré unique ; il suffirait de faire poup' = o dans les formules précédentes, en ayant soin d'ailleurs d'employer la valeur convenable pour P, suivant le cas que l'on traite.
Dans le cas où la poutre comprendrait entre ses deux points extrêmes n -h i intervalles tels que A,A„ et où les poids ap em-
STSTÈMES ARTICULÉS SAlfS FROTTEMEIHT. 48'
brasseraient la longueur entière depuis Ai jusqu'à An, il fau-drait faire Vz=np dans les formules {i5)y et Ton aurait
ti = {n — !ii)p,
^ ' COS a
T, = Q,' = i(n ^i"hi)p tanga.
Afin de fixer les idées, admettons en outre que n soit im* pair, et ne raisonnons provisoirement que dans l'hypothèse de la charge complète ^np: on voit alors, par les formules ( 28}, que // et qt décroissent comme la série des nombres impairs,
à mesure que Tindice i augmente; pour /=i:-(/i — 1) on aurait
ti^py
^ cos a
puis, si Ton continuait à faire croître i, // et qt deviendraient négatives, c'est-à-dire que les pressions se changeraient en tensions, et réciproquement. Cela montre la nécessité de modifier l'arrangement des tiges, en arrivant au milieu de la pièce, quand on veut maintenir des actions de même nature, soit dans la série des tiges verticales, soit dans celle des tiges inclinées : cette nécessité est d'ailleurs indiquée par le défaut de symétrie que présenterait la Jig. 67, si on la prolongeait Jusqu'au second appui. Il faudra donc adopter une disposition analogue à celle de la^îg*. 68, laquelle est construite dans l'hypothèse particulière n = 9.
La ligne MM', verticale du milieu de la poutre, la partage en
Fig. 68.
deuX: moitiés symétriques; les tensions des côtés verticaux, à partir de A|B„ sont successivement gji?, 7p, 5/>, 3/i, ipy en MM', puis redeviennent 3/?, 5/i, 7/1, 9/?; les pressions des
Ik 2^ ÉDIT. 3i
ou
482 GHÂPITRB HCITIiMV.
côtés inclinés depuis. A^B» jusqu'à A«M' sont
.5£L, -1£-, j£__, JP-, J^,
cos a cos a cos a cos a cos a
et se reproduisent en ordre inverse depuis CiW jusqu'à (ub^> Enfin, les tensions T,- et les pressions Q, prennent de Ao ou de «o'' jusqu'à M les valeurs
9ptanga, i6j9tanga, aij^tanga, 34/'tanga, ^pVàï\^a.
Tous ces résultats rentrent, comme cas particulier, dans les formules (28), en ayant soin de n'appliquer ces formules que pour une moitié de la poutre : il y a cependant exception pour la tige centrale MM', dont la tension est irrégulièrement fixée à la valeur 2^ (*).
Maintenant il est facile de faire dériver du système simplifié que représente la Jig. 68 les poutres américaines dans le système de How. Il faudra pour cela : 1® dans chaque rectangle élémentaire tel que B3A3A4B3 ajouter la diagonale manquante B2A4; 2** la figure étant ainsi complétée par Tadjonction d'une seconde série de tiges diagonales, dédoubler chaque tige verticale ou inclinée en un certain nombre de tiges parallèles, qui seraient censées supporter en somme le même effort, et qui se répartiraient uniformément sur un intervalle tel que As A4, compris entre deux verticales consécutives de la^g-. 68. C'est la même opération qu'on a déjà faite au n"" 174, pour passer de la^g". 65 au treillis sans montants verticaux.
Les tiges diagonales telles que B.A2, BjAj, B2A4,..., ajoutées à \'à.fig. 68, afin de la transformer en poutre de Hovs^, sont supposées n'avoir aucune pression ni tension sous la charge complète des n poids ^p : elles doivent, quand elles sont mises en place, toucher simplement les sabots qui les assemblent avec les pièces horizontales, mais elles ne leur sont
C^ ) Si l'on voulait considérer le cas de n pair, on pourrait supprimer le poids élémentaire 3/» attaché 911 M; toattt les pvessioiHi ou tensions dans une moitié^ de la pièce seraient alora données par les formules (28), y compris la tension de MM', nulle dans ce cas. Mais cela produirait une petite irrégularité dans la distribution de la charge, puisqu'il y aurait une lacune près du point central.
SYSTÈMES âlkl'IGtrLlfiS SA^!fS YBOTTEMBNT. 4^3
|ioint liées et ne doivent pas ies presser. C'estv comme on dit dans le langage technique» une question de règlement; on parvient à la résoudre pratiquement au moyen d'écrous qui permettent de tetidre plus ou moins les tiges verticales ou boulons, après que la poutre a été mise en place. Le règle*ment se trouvant ainsi efîeaué, les diagonales supplémen*taires ne travaillent pas^ autant du moins qu'il y a une charge uniforme et complète : elles interviennent seulement quand on foit agir des charges concentrées en certains points, ou bien des charges réparties qui couvrent incomplètement la poutre. De là résulte la nécessité de leur donner une section sufB^ santé pour résister à certains efforts, qu'il y aurait par conséquent lieu de déterminer.
Toutefois on se dispense assez souvent de cette détermina^ tion, et Ton donne à chaque diagonale supplémentaire une section dans un rapport constant avec celle de là diagonale conjuguée qui la traverse en son milieu. Par exemple, dans le rectangle élémentaire fi2A»A4B3, la diagonale A^Bj pourrait être formée de deux tiges égales ayant même projection sur le plan de la figure, et laissant entre elles un certain intervalle dans lequel passerait une troisième tige B1A4 égalé à chacune des deux premières : le rapport dont nous venons de parier serait alors celui de t à 2. Il est évident qu'on lui ferait prendre une valeur quelconque, en modifiant, suivant le besoin, l'intervalle libre entre les deux premières tiges.
Si l'on tient à procéder moins arbitrairement, voici ce qu'on peut faire. Le poids ap placé en ctiacun des points Ai , Aa,. . ., M,. .-, Ojj atj [flg. 68) comprend généralement une portion permanente 2//, et une portion due aux charges mobiles sur la poutre; la seconde n'agit que d'une manière accidentelle, et l'on est en droit de la mettre seulement sur tel nombre de points qu'on veut, à partir de Ai ou a,. En admettant cette surcharge incomplète, la poutre se divisera en deux parties, l'une chargée à raison d'un poids sp sur ciiaque som-met inférieur, l'autre à raison de 3// seulement. Alors on ren^ trera directement dans l'application des formules (aS), (26) et (27); on pourra donc, en partant de chaque culée, déterminer les valeurs des compressions q subies par les côtés in-
484 GHAPITIB HUITlIniB,
clinés. Ce calcul fera reconnaître le point analogue à M^ (Jig. 68) où il sera nécessaire de renverser la direction des côtés dont il s*agit^ pour éviter que les pressions ne deviennent en réalité des tensions : le nouveau point M' ainsi trouvé pourra» par suite du défaut de symétrie dans les charges, ne plus être au milieu de la poutre, et la disposition qui remplacerait celle de la^gr* 68 présenterait alors un certain nombre de diagonales supplémentaires, dont la pression serait connue. On répéterait le même calcul en faisant varier le point de séparation des poids ap et ^p\ et l'on prendrait pour chaque diagonale supplémentaire la section capable de résister au plus grand effort trouvé dans ces divers essais. Mais cette méthode n'est pas encore à l'abri de tout reproche, car on admet, assez gratuitement, que sur les deux tiges inclinées qui aboutissent à un même point de la longrine supérieure, il y en a une qui supporte une pression, pendant que l'autre n'est soumise à aucun effort : en réalité rien ne dit qu'elles ae travaillent pas toutes deux.
Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la poutre de How reposait seulement sur deux appuis : s'il y en avait un plus grand nombre, on pourrait employer des considérations analogues à celles que nous avons présentées au n® 176, lorsqu'il était question des poutres en treillis.
La poutre de How exige, comme nous l'avons déjà dit, un règlement : celte opération, faite une première fois après la mise en place, doit ensuite se renouveler assez fréquemment, en raison des déformations permanentes qui se produisent peu à peu et qui altèrent le serrage primitif des boulons. C'est un premier inconvénient de ce système» comparativement au treillis sans tiges verticales (n® 17&); mais il y en a un autre qui consiste à exiger l'emploi d'une plus grande quantité de matière. Il est facile, en effet» de reconnaître d'abord que les sections des longrines horizontales sont les mêmes dans les deux systèmes; mais» à égalité de poids supporté et d'ouverture, l'ensemble des autres tiges formera un volume plus grand dans celui de How, même en négligeant les diagonales supplémentaires.
Afin d'établir cette dernière proposition», remarquons que
STSTftXES AKTIGULÉ8 SANS FROTTEMENT. 4^
le volume de chaque tige varie proportionnellement au produit de sa longueur par la force (pression ou tension) qu'elle supporte; donc, si Ton nomme C un nombre constant, le volume des deux tiges A,B/, Bi'A/4-i (fig* 67) s'exprimera par
