INTRODUCTION. — PROBLÈMES GÉNÉRAUX A RÉSOUDRE
aura donc tant de systèmes de valeurs qu'on voudra pour les réactions inconnues, en satisfaisant toujours aux conditions générales de Téquilibre, de sorte qu'on ne peut savoir ainsi quel est celui qui existe réellement.
Cependant ces systèmes peuvent se distinguer les uns des autres par une circonstance particulière, celle de la flèche plus ou moins grande qui se produit dans la pièce vers Tappui du milieu, laquelle flèche diminue à mesure que la réaction augmente. Si l'on indique parmi les données du problème que les trois appuis sont au même niveau, la valeur de la réaction intermédiaire sera celle d'une force qui, appliquée au même point, annulerait la flèche produite par la suppression de Tappui correspondant. Il est donc possible de faire cesser l'indétermination reconnue tout à l'heure : mais pour cela il faut tenir compte des déformations que les charges produisent dans la pièce. D'ailleurs le calcul de ces déformations peut avoir souvent de l'intérêt par lui-même, indépendamment de l'application qui vient d'être signalée.
Les explications précédentes suffisent pour faire comprendre qu'il se présente généralement dans la Résistance des Matériaux trois problèmes principaux, intimement liés les uns aux autres et qu'on peut énoncer ainsi :
Problème I. — Connaissant toutes les forces extérieures qui sollicitent un corps, trouver V intensité des forces moléculaires qui se développent en chaque points et desquelles dépend soit la conservation, soit la rupture de ce corps.
Problème II. — Les forces extérieures étant encore données y calculer le changement quelles apportent dans la forme et les dimensions du corps quelles sollicitent.
Problème III. — Parmi les forces extérieures^ déterminer celles qui ne sont point données à priori et qui proviennent des liaisons du corps considéré avec d'autres corps.
Avant d'aborder l'étude de ces trois problèmes généraux dans les limites que nous impose l'état actuel de la science, nous commencerons par exposer, à titre de digression, une série de notions purement géométriques qui seront utiles par la suite et qui se rapportent aux centres de gravité, moments d'inertie et centres de percussion des surfaces planes.
«ÉNÉRALITÉS ; PRINCIPES FONDAMENTAUX. — RECHERCHE DES TENSIONS DANS LES DIVERSES PARTIES D'uN CORPS PRISMATIQUE.
§ I«r. — Digression sur la théorie des centres de gravité, moments d'inertie et centres de percussion des surfaces planes.
1. Définition du centre de gravité d'une surface plane ^ de son moment d'inertie et de son rayon de gyration relative-ment à un axe. — Supposons une surface plane ABCD (fig. i).
Fig. I.
^^ytiï
xy
et imaginons qu'elle soit décomposée en éléments superficiels û). Appelons :
X, y les coordonnées d'un point renfermé dans Taire infiniment petite w, par rapport à deux axes rectangulaires 0.r, 0^'; u la distance de ce même pointa une ligne quelconque, Oz par exemple;
E un nombre déterminé en fonction de x et de j, lequel peut être constant ou variable.
Conformément aux définitions données dans la Mécanique rationnelle, nous appellerons centre de gravité de la surface le point G dont les coordonnées x,, j, satisferaient aux relations
^, 2Ea) = 2Ea:w, ^, 2E&)=:2Ejû),
le signe 2 étant l'indice d'une sommation étendue à tous les éléments co.
Le point G est indépendant du choix des axes. Pour justifier le nom qu'on lui a donné, il faut concevoir que la surface soit matérialisée, qu'elle ail pris une épaisseur extrêmement petite.
6 CHAPITRE PREUIER.
et que le nombre E soit en quelque sorte la masse de Télément w rapportée à Tunité superficielle, ou plus simplement, si Ton veut, sa densité. Le centre de gravité de la surface ne sera donc autre chose que celui d'un corps dont la masse totale aurait pour valeur 2 Ego.
Une extension analogue a lieu pour les moments d'inertie» Le moment d'inertie de la surface ABCD relativement à Taxe O^ sera, par déûnition, celui du corps matériel que nous substituons à la surface : il aura pour expression analytique
Enfin, le rayon de gyration r relatif au même axe devra satisfaire à réquation
r^lEcô = lEu^(ù.
Les définitions que nous venons de donner, d'après les traités de Mécanique rationnelle, diffèrent un peu de celles qu'on admet ordinairement dans les traités de Résistance des Matériaux. Pour les rendre identiques, il suffirait de supposer E constant et égal à i. La généralisation que Ton fait ici est nécessaire pour mettre les formules d'accord avec certains faits observés dont il sera question plus loin; elle est d'ailleurs tellement simple, qu'il n'y aurait pas d'utilité à adopter des dénominations nouvelles.
Les propriétés des moments d'inertie qui vont être rappelées sont une conséquence immédiate, ou, si l'on veut, un cas particulier de celles qui appartiennent en général aux moments d'inertie des corps matériels; c'est pourquoi elles seront énoncées sans démonstration.
2. Loi de la variation des moments d'inertie d'une surface plane, relativement à des axes parallèles ou concourants situés dans son plan. — Le moment d'inertie d'une surface plane, relativement à un axe quelconque, est égal au moment d'inertie de la même surface relativement à l'axe parallèle passant au centre de gravité, augmenté du produit de la masse totale de la surface par le carré de la distance des deux axes.
GfiNlBRAUTâS; PRniCi9BS FmïDAMENTAUX, ETC. 7
Soient^ par exemple^ la surCsice ABCD {Jig, i);
G le centre de gravité;
Ox et Gxx deux lignes parallèles dont Tune contient le
point G et qui sont séparées par la distance k; Xf^i les distances respectives d'un élément superficiel à ces
deux axes ; r, r, les rayons de gyration de ABCD relativement à Ox et
En conservant les autres notations du n*" 1> on aura
lEj'w = 2Ejî w + /,»2Ew,
ou bien, par suite de la définition du rayon de gyration,
r^2Eû) = rJIEû) -f- A^^IEw, c'est-à-dire
équation dont l'énoncé en langage ordinaire remplace quelquefois celui que nous avons donné ci-dessus.
Supposons maintenant qu'on cherche les moments d'inertie de la même surface ABCD relativement à divers axes situés dans son plan et passant par un même point 0, tels que 0^ ; puis que sur chacun d'eux on porte une longueur OS qui soit en raison inverse du rayon de gyration correspondant ; le lieu des points S ainsi obtenus sera une ellipse ayant le point 0 pour centre : propriété remarquable qui donne une idée de la manière doiit varient les moments d'inertie de la surface autour des axes qui concourent en 0. Nous allons donner quelques développements sur cette loi de variation, pour la faire connaître plus complètement.
3. Ellipse d'inertie; ellipse centrale d'inertie; axes principaux. — L'ellipse dont nous venons de parler est ce que nous appellerons V ellipse d'inertie de la surface pour le point 0; si le point 0 se confond avec le centre de gravité G de la surface, nous emploierons. la désignation d'ellipse centrale d'inertie. Les axes principaux de l'ellipse correspondante à un point sont dits axes principaux d'inertie de la surface en ce point.
8 GflAPITBE PREMIEa*
La détermination des axes principaux pour le point 0 peut être effeciuée ainsi qu'il suit. Ayant tracé par ce point et dans le plan ABCD [Jig. i) trois axes 0^, Oj, Oz, dont les deux premiers se coupent à angle droit, landis que le troisième fait Tangle a avec Ox, nous appellerons :
(ù l'un quelconque des éléments superficiels, répondant aux coordonnées x et /, et ayant une densité E ;
A =: lE/^w, B = 2E;r2&), C = lE^joa, trois sommes dont les deux premières sonl les moments d'inertie de la surface relativement aux axes des x et des j;
[i. le moment d'inertie de cette même surface par rapport
Nous aurons alors
[i. = Acos'a H- Bsin^a — aCsinacosa;
et si nous prenons OS = -7=9 D étant une constante dont nous
fixerons la valeur ultérieurement, le lieu des points S, c'està-dire l'ellipse d'inertie, aura pour équation
kx^ H-Bj' — 2,Cxy^= D^
Pour en a¥oir les axes principaux, il suffira, conformément à ce que l'on enseigne dans la Géométrie analytique, de prendre des axes Ox\ 0 j' obtenus en faisant tourner le système jO^, dans le sens de x vers y, d'un angle e déterminé par la condition
tang2e = ^— ^.
Si Ton rapporte l'équation de l'ellipse aux axes des coordonnées Ox" et Oy'y le double rectangle disparaît et l'équation se réduit à (i) \!x''-\-Wf'=^l^\
h! et B' étant déterminés par les relations
A'-*-B'=rA-^B, B'-A'=:?^— ^.
cos2e
GÊNÉRAUTÉS; FRIHGIPBS FONDAMENTAUX, ETC. 9
Dans certains cas, les axes principaux en un point sont connus à priori et sans aucun calcul. Ainsi Ton démontre que toute ligne de symétrie est un axe principal en tout point de son cours, si Ton admet, bien entendu, que la symétrie existe non-seulement quant à la figure, mais aussi dans la distribution des masses ; toute perpendiculaire à une ligne de symétrie est axe principal en son point de rencontre avec cette ligne ; enfin, toute ligne qui est axe principal et qui passe par le centre de gravité est axe principal dans tous les points de son cours.
Lorsque les axes principaux coïncident avec les axes coordonnés, le double rectangle 2 Cxy disparaît de Téquation de l'ellipse d'inertie, comme nous l'avons déjà remarqué. On doit
donc avoir
2Ea:/ck> = o,
relation qui peut servir à caractériser les axes principaux ; car, si elle est satisfaite, on voit que, réciproquement, le terme en xy manquera dans Téquation de l'ellipse, ce qui ne peut avoir lieu, les axes coordonnés étant rectangulaires, que lorsqu'ils sont eh même temps diamètres principaux.
4. Équation de V ellipse d'inertie ramenée à sa forme la plus simple; propriétés des diamètres conjugués. — - Les lettres A' et B', définies au n* 3, ont pour les nouveaux axes p^, O7' (fig. i) le même sens que A et B pour Ojc, O/; elles représentent donc respectivement les moments d'inertie de la Surface par rapport aux axes des x' et des j', soit 2E^'^ck> et 2E^'*û>. Appelons a et 6 les rayons de gyration correspondants, lesquels sont déterminés par les relations
a»2E«r=2Ej"w = A', 6»2Ew = 2Ea;'»a) = B',
et posons en outre, pour fixer la valeur de la constante D,
D» = a»6'2Ew;
alors l'équation (i) du n° 3 se réduit à
lO CHAPITRE PBEHIER.
Le moment d'inertie ii, par rapport à Oz, est exprimé par 1)2 D a^b^
— ^> puisque 0S = — = (n** 3); on aura donc aussi /:jt == zzzt^Eo), OS VP OS
c'est-à-dire que le rayon de gyration correspondant sera-=:-
Ou bien encore, en désignant par p le demi-diamètre OS, p' le demi-diamètre conjugué OS', ô Tangle SOS', on aura, en vertu de la relation connue ab=pp^ sine,
V 2Ew p ^
sind;
r ne sera donc autre chose que la perpendiculaire S'T abaissée du point S' sur OS; ou bien, en d'autres termes, la surface pourrait être condensée, sans altérer son moment d'inertie relativement à un axe OS ou Oz, sur l'extrémité S' du diamètre conjugué de Oz dans l'ellipse d'inertie. Cette ellipse peut d'ailleurs être prise pour un point 0 quelconque de l'axe Oz, et comme le rayon de gyration S'T ne peut pas changer, il en résulte immédiatement que le lieu des points S' correspondants sera une ligne droite parallèle à Oz et située à la distance r, conséquence assez curieuse que nous mentionnons en passant, bien qu'elle nç doive pas nous être utile.
Premons maintenant pour axes coordonnés les deux directions conjuguées OS, OS', et nommons s et / les coordonnées qui leur sont respectivement parallèles. Les autres notations conservant le même sens que précédemment, nous allons montrer qu'on a les deux relations
Pour établir la première il suffit de remarquer que u et s' désignant deux distances d'un même élément w à l'axe Oz, l'une mesurée normalement et l'autre obliquement, sous l'angle ô, on a
u = s'sind :
par suite,
lEu^o) = r^SEw =: sin'âlE^'^w,
GÉNtiRALlTÉS; PRINCIPES FONDAMENTAUX, ETC. II
ei comme on vient de voir que r est égal à p'sinS, il en résulte immédiatement
p''s\n^dlE(ù = sin*d2E5'»&),
ce qui, par la suppression du facteur commun sin^â, donne notre première relation.
Quant à la seconde, on y arrive en se servant des formules de transformation qui permettent de passer des coordonnées obliques 5, s' aux coordonnées rectangulaires x\ 7'. En appelant e et Q' les angles ^'OS, ^OS', ces formules sont (comme on le retrouve facilement par le moyen ordinaire des projections) :
5sinô==x'sin9' -i-j'cosÔ',
*'sin5 = ^'sin â — j'cosâ.
Il en résulte
w'sin^ô =rr j:'*sin 0sin0' — j'»cos0 COS0' + x^ y' sin ( 6 — B');
or, en vertu de ce que Ox' et Oj' sont axes principaux pour le point 0, on a (n** 3) 2Ea7'j'&) = o; donc
sin'32E55'wr=sin9sin9'2Ea:"&) — cos0cos0'2Ej"w =rsin0sin0'.6^2Ea) — cos0cos0'.a*2Eot)
= 6'cos0cos0'2Eû) Uang0 tango' — ^ ■
On sait, par la Géométrie analytique, que les angles Q et B' sont liés par la relation tango tang0'=r: — : donc enfin la somme lEss'tù est bien égale à zéro.
5. Recherches des moments d* inertie par le calcul intégral; moment d* inertie d'une surface plane relativement à un axe perpendiculaire à son plan. — Un axe quelconque étant tracé dans une surface plane, prenons-le pour axe des x et traçons une perpendiculaire qui sera Taxe des y. Si Ton décompose la surface en portions infiniment petites par des parallèles aux deux axes, et qu'on appelle, comme ci-dessus, E la masse rapportée à Tunité de surface en un point quelconque, le moment d'inertie de la surface relativement à Taxe
la CHAPITRE PREMIBR.
des X sera exprimé analyliquemenl par | | 'Ex^dxdjTy l'intégrale devant être étendue à tous les points de la surface. Le rayon de gyration r correspondant devra satisfaire à la relation
'ff-Edxdr =ffEx'dxdx.
Pour que le problème soit défini, E doit être connu en fonction de X et de j, et il faut connaître aussi la forme du périmètre ; dès lors la recherche dont il s'agit se réduit à une difficulté d'analyse, qu'on peut toujours surmonter, au besoin, par les procédés d'approximation connus.
Quand il s'agit d'un axe perpendiculaire au plan de la surface, en le prenant pour axe de z et laissant les x et les x comme ci-dessus, le moment d'inertie ^'exprimera par l'intégrale double
E(^* +JÎ) dxdx
ou par
/ I Ex^dxdx-^ I I Ex^dxdx,
ce qui ramène très-simplement ce cas au précédent. On voit en effet qu'il suffit de faire la somme des deux moments d'inertie de la surface relativement à deux axes rectangulaires quelconques situés dans son plan et se coupant au point où elle est rencontrée par l'axe donné. Si ces deux axes rectangulaires sont axes principaux d'inertie pour leur point de concours, on aura, suivant les notations du n*» 4,
j iEf'dxdx= a'IEck), C jlE,x^dxdx= ft^IEw,
et, par l'addition membre à membre de ces égalités,
rrE(:c»-l-j*)rfxdfj==(a»-l-6')2Eû):
on conclut facilement de là que le carré du rayon de gyration répondant à l'ax^ perpendiculaire au plan de la surface est
généralités; principes fondamentaux, etc. i3
égal à la somme des carrés des deux demi-diamètres principaux de Tellipse d'inertie ayant son centre au pied dudit axe dans le plan.
Quand Tintégration rigoureuse des expressions ci-dessus données sera impossible ou trop difficile, on fera usage des méthodes d'approximation. Par exemple, on pourra partager la surface en éléments finis, mais assez petits, que Ton considérera comme autant de points matériels ; puis on calculera le moment d'inertie de chacune de ces masses, et on en fera la somme. Si la surface est homogène, et que l'axe donné soit dans son plan, on la divisera en tranches parallèles à cet axe, et l'intégrale double sera alors remplacée par l'intégrale simple des moments d'inertie de ces tranches; la méthode de Simpson deviendra donc applicable.
Il serait aisé de poser d'autres formules symboliques en employant les coordonnées obliques ou les coordonnées polaires; on ne s'y arrêtera pas ici.
6. Expressions toutes calculées de moments d'inertie de surfaces homogènes, — Nous allous maintenant donner les valeurs toutes calculées des moments d'inertie et des rayons de gyration de quelques surfaces planes par rapport à des axes déterminés. Nous supposerons la densité constante et égale à Tunité, valeur particulière qui, une fois rhomogénéité admise, n'altère pas la position du centre de gravité, ni les rayons de gyration, ni l'ellipse d'inertie relative à un point.
i" Rectangle plein et homogène, — Soient / la largeur AB [Jig, a), A la hauteur BD, 0 le centre du rectangle, Ox, 0/deux parallèles aux côtés.
Le moment d'inertie relativement à Ojt, ou 2/^w, est égal à —/^S
Fig. 2.
et le rayon de gyration correspondant a pour carré
Ah^
soit ■
Ih 1-2
Le moment d'inertie, par rapport à Oj, s'exprime de même par — ^/% et le carré du rayon
de gyration par — P,
D'après une remarque du n** 3, Ox et 0/ sont les axes principaux pour le centre de gravité. En conséquence^, l'ellipse centrale d'inertie sera représentée par l'équa-
lax* i2j'
elle sera semblable à l'ellipse inscrite dans le rectangle, et aura pour
demi-axes les longueurs -/ i/«ï -à i/o» soit 0,577 - et 0,577;
Fig. 3.
2° Rectangle évidé homogène, — Nous supposerons d'abord que la surface soit symétrique par rapport à deux axes rectangulaires Ox, O7 (fig. 3), dont le point do rencontre sera le centre de gravité. Soient Â5 = /, BD = A , ÊF + GH = /', HM = ^'. On aura :
Pour le moment d'inertie relativement à Ox,
Pour le moment d'inertie relativement à Ojr,
2x*a) = ^[{/' - hy + h^l-^ljy,
Pour l'aire de la surface,
On en déduira aisément les rayons de gyration autour de Ox et 0^, ed l'on pourra construire ToUipse centrale représentée sur la figure.
Dans le cas où la symétrie n'existerait pas, la recherche de l'ellipse centrale d'inertie serait un peu plus complexe, parce que le centre de gravité ne serait pas connu d'avance. Néanmoins les calculs, quoique plus longs, ne présenteront aucune difficulté, et nous ne croyons pas utile d'en donner un exemple. Le problème se résoudra toujours au moyen des indications générales précédemment données.
3** Cercle plein ou couronne circulaire ïwmogène, — Le moment
d'inertie d'un cercle de rayon R par rapport à un axe quelconque Ox (fig. 4), passant par son centre, a pour valeur
^ttR^ Le rayon de gyration s'exprime par
— ou par -R. L'ellipse centrale d'inertie sera donc un cercle OA ayant un
V ttR^
rayon moitié de celui du cercle proposé OB.
Fig. 5.
6ÉN£RALITis; PRINOUPEB FONDAMENTAUX, ETC. l5
S'il s'agit d^une couronne circulaire, en appelant R le rayon 5Ï du
cercle extérieur (fg, 5), r le rayon OB du cercle intérieur, le moment d'inertie relativement à un diamètre Ox s'exprimera par T ^(R* — ''* )j 1® rayon de gyration correspondant par
Fig
vS~
C'est le rayon du cercle OC qui remplace Tellipse centrale d'inertie.
4** ElUpse pleine m couronne elliptique homogène, — Soit l'ellipse ACBD {fig. 6), dont nous désignerons le grand axe ÂB par /, et le petit axe CD par h, Le^ moments d'inertie de la surface, relativement aux lignes
AB et CD, ont respectivement pour valeur 7^7 7r /A' et F7^^^'- L'aire de l'ellipse
étant d'ailleurs égale à -zt^lh^ les deux
rayons de gyration correspondants seront ~^/^' et i/"^^S c'est-à-dire -7^ et
jl\ d'où il suit que l'ellipse centrale d'inertie (dont les axes principaux,
d'après une remarque du n° 3, sont dirigés suivant AB et CD) sera l'ellipse donnée- dont les dimensions auraient été réduites de moitié.
Lorsque l'ellipse présentera un vide intérieur de forme elliptique, il y aura toujours possibilité de trouver sa surface et son moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, en calculant la différence des surfaces et des moments d'inertie de deux ellipses pleines. Dans le cas particulier où le contour du vide serait concentrique et semblable au contour extérieur, et semblablement placé, on reconnaît aisément, au moyen de cette méthode, qu'en appelant m le rapport des dimensions de l'ellipse intérieure avec celles de la grande ellipse, l'ellipse centrale d'inertie est encore semblable aux deux premières, qu'elle est semblablement placée, et qu'elle a pour axes
-/i/i4-/«* et -h i/i-hm*.
Nous nous bornerons à ces exemples. Le lecteur pourra trouver d'autres expressions toutes calculées de moments d'inertie des surfaces homogènes, dans les ouvrages sur la Résistance des Matériaux et les Aide-Mémoire de
l6 GHÀPITRB PAEMIBR.
Mécanique pratique. Quant aux moments d'inertie de surfaces non homogènes, il sera bien rare qu'on puisse en faire usage dans les applications, car les données numériques manqueraient pour cela. Si toutefois le cas se présentait, on se reporterait aux considérations générales que nous avons placées au commencement du n° 5.
7. Centre de percussion d'une surface plane. — Après avoir matérialisé une surface plane , comme nous Tavons fait au n^ ly en attribuant à Tun quelconque de ses éléments o une densité constante ou variable E, on peut assujettir ce corps, en forme de disque extrêmement mince, à tourner autour d'un axe contenu dans son plan. Il y aura ators à considérer un centre de percussion, c'est-à-dire un point tel, qu'en y appliquant une impulsion perpendiculaire à la surface, l'axe n'éprouverait aucune pression. Telle est la définition mécanique : nous allons voir qu'on peut lui en substituer une qui soit purement géométrique.
Soient, en effet, A la surface donnée (fig. 7), Ox, Ojr deux Fig. 7. axes des coordonnées, rectangu-
laires entre eux, dont l'un, 0.r, est celui autour duquel la surface est assujettie à tourner. Appelons Xy et j, les coordonnées du centre de percussion. On sait d'abord que la distance de ce point à l'axe 0^ est égale à la longueur du pendule simple équivalent au disque matériel représenté par A, ce qui conduit à la relation
2E7'6û ^'~ ^iEjco'
En second lieu, 0^ doit être axe principal d'inertie au point où il est coupé par un plan qui lui serait perpendiculaire, et qui contiendrait le centre de percussion. Donc, si Ton transportait l'axe des j parallèlement à lui-même en ce point, on aurait 2E:r'/'ck) = G (n® 3), ^' et /' étant les coordonnées nouvelles; ou bien, comme on a^^j^, ^' = ar — jti, on posera
2Ey(a: — a7,)&) = o,
généralités; principes fondamentaux, etc.
relation qui donne la valeur de Xi :
lExyùy
lEjû>
On voit, en conséquence, que, d'après la définition ci-dessus donnée, nous avons trouvé les coordonnées a:, , ^i du cenire de percussion. Réciproquement, on pourrait se servir des valeurs JT, et j, pour définir le centre de percussion, et alors la propriété mécanique dont jouit ce point ne serait plus en évidence : on aurait une définition purement géométrique.
8. Propriétés diverses du centre de percussion d'une surface plane. — Le centre de percussion de la surface plane A (Jig. 7) peut encore être considéré à un autre point de vue qui sera souvent utile. Supposons un prisme droit qui aurait A pour base, et attribuons à chaque élément de volume de ce prisme la même densité qu'à l'élément superficiel w sur lequel il se projette dans le plan de la base; admettons enfin que ce prisme soit terminé à un second plan passant par Ox : le centre de gravité du volume hétérogène ainsi formé se projettera sur le plan de A, en un point qui sera précisément le centre de percussion de cette surface. En effet, soit z la hauteur de Télément prismatique qui a cù pour base ; soient X2 , /> les coordonnées du centre de gravité en projection ; le théorème des moments donne ^^--?^r^
X2li'Ez(ù=:2'ExZ(^. v -m- -- \
Or, - est égal à une constante; donc V ^ * ,y • Ij
^^» = Ie7^=^^- ^»^TË7^ = ^'' — ^^
ce qu'il fallait démontrer.
Celte nouvelle manière d'envisager le centre de percussion d'une surface plane conduit à des consé(JUences qu'il suffit d'énoncer pour en apercevoir la démonstration, et qui bien souvent donneront une détermination immédiate de ce point. Voici ces conséquences :
