I, 1^ ÉDIT

l8 GHAPITRB PftSmfiR.

i"" S'il existe dans la surface plane A un diamètre dont les cordes conjuguées soient parallèles à Taxe de rotation; si, en outre, sur chacune de qes cordes les masses sont symétriquement distribuées de part et d'autre du point de rencontre avec le diamètre, le centre de percussion de A sera sur le diamètre dont il s'agit.

a*» Quand ou voudra trouver le centre de percussion de l'ensemble de deux surfaces dans un même plan, on pourra cher^ cher celui de chacune des deux surfaces isolées, par rapport à Taxe de rotation donné;- joindre ces deux points, puis prendre sur la ligne de jonction un point qui la divise en deux segments inversement proportionnels aux moments des deux surfaces (XE/w) relativement à Taxe de rotation. Il est clair que cette propriété peut facilement s'étendre à la différence de deux surfaces, ou à la somme d'un nombre quelconque de surfaces, toujours dans un même plan.

3« Le centre de percussion d'une surface plane est identique avec le centre de forces parallèles appliquées sur ses divers éléments, et proportionnelles, pour chacun d'eux, d'une part à sa masse Eco, d'autre part à la distance qui le sépare de l'axe.

4** Voici encore une propriété bonne à connaître. Si l'on transforme la surface plane A , en menant par un point quelconque M une ligne MP de direction constante, et par le point P où elle coupe l'axe de rotation une autre ligne PM', de direction également déterminée, dont la longueur serait celle de MP amplitiée ou diminuée dans un rapport constant, le centre de percussion de la surface transformée s'obtiendra en exécutant sur le centre de percussion de A l'opération géométrique qui vient d'être définie.

Désignons, en effet, par des lettres avec un accent tout ce qui se rapporte à la surface transformée : on aura , pour les coordonnées de son centre de percussion,

2E/-C0- lE^ryo)^

Or il y a d'abord un rapport invariable entre l'aire &> et sa transformée 0)', car la transformation n'altère pas les dimensions

GÉNÉRALITis; PRWCiPES FONDAUNTAUX ^ ETC. I9

parallèles aux x et multiplie par un nombre déterminé celles qui sont parallèles aux/; de plus, on voit immédiatement que

/'=m/ et :r'=: 07-4-/1/, m et /i étant des constantes. Par suite, on peut écrire

•^ * lE/w -^ * 2E7W SE/ût) «^

donc enfin le point (^', ,yi) est bien identique avec le point déduit du centre de percussion de A , par la transformation géométrique.

9- Exemples de la recherclie des centres de percussion* — Nous allons indiquer ici les centres de percussion de quelques surfaces homogènes tournant autour d'axes déterminés.

I** Rectangle ou parallélogramme homogène tournant autour d'un de ses côtés, — Les considérations présentées au n° 8 prouvent immédiatement que le centre de percussion se trouve sur la médiane qui rencontre l'axe de rotaUon, et aux deux tiers de la hauteur, à partir dudit axe. On arrive à la même conséquence par l'emploi des valeurs de x^ et /, données au n"" 7. En appelant / la longueur du cété autour duquel tourne la surface, h l'autre dimension , puisque E ne varie pas d'un point à un autre, on aura

Jo ^^'^^ ^

Il est visible d'ailleurs, dans le cas du rectangle, que le centre de perçus* sion doit se trouver sur la ligne perpendiculaire au milieu de la longueur /; car, si l'on prend cette ligne pour axe des f, il y a, pour un élément quelconque &>, un autre élément symétrique ayant même ordonnée J'y et une abscisse égale et de signe contraire : donc 2Ej:/w = 0, et, par suite, .r, = o. Pour le parallélogramme, la vérification de la valeur de x^ exigerait un petit calcul^ bien facile à trouver et auquel il nous semble inutile de nous arrêter.

2* Triangle homogène tournant autour d'un de ses côtés. '— Soit le triangle ABC tournant autour de AC (Jîg, 8) : pour avoir le centre de percussion, il faut avoir, en projection sur le plan ABC, le centre de gravité d'un tétraèdre dont A, B, C seraient trois sommets , et dont le quatrième, que nous appellerons B', se projetterait en B. Or, rien n'est plus

facile. On sait que le centre de gravité d*nn tétraèdre se trouve au point de rencontre des lignes qui joignent les milieux des côtés opposés. Pre-

Fig. 8.

nous donc le milieu D de ÂC et joignons-le au milieu de BB' ; nous aurons, en projection , la ligne BD. D'un autre côté, les milieux de AB' et CB' se projetant respectivement sur les milieux de ÂB et CB, en E et H, la ligne EH passera aussi par la projection du centre de gravité. Donc ce point ne sera autre que G, milieu de BD.

Ainsi, pour obtenir le centre de percussion du triangle homogène ABC, tournant autour de AC, on joindra le milieu de AC au sommet opposé, et Ton prendra le milieu G de la ligne de jonction : G sera le centre de percussion cherché.

3** Trapèze homogène tournant autour (Vtm des deux côtés non parailèlcs, — Soit ABDC le trapèze donné {fig, 9), AC Taxe de rotation qui rencontre en S le côté opposé BD, Posons BD = //, BS = mh. Imaginons un plan quelconque passant par la droite SCA, et désignons par B', D' les points de ce plan qui se projettent respectivement sur B et D. Le centre de percussion du trapèze ABDC sera la projection du centre de gravité de la pyramide tronquée ABDCD'B', différence des deux tétraèdres semblables SABB', SCDD', ayant S pour sommet commun. Ces deux tétraèdres ont leur centre de gravité sur tme droite partant de S et aboutissant au centre de gravité de la base ABB', et comme le centre de gravité de ABB'

se projette au point F, tel que BF = ~ÂB, nous connaissons ainsi une

ligne SF qui contient le centre de percussion du trapèze. Pour achever de le déterminer, on cherchera la distance x, comptée parallèlement à BD, qui le sépare de la ligne AB. A cet effet on remarquera que les

tétraèdres SABB', SCDD' sont respectivement proportionnels à SB , SD , soit à w^, (m — 1)\ et que les distances de leurs centres de gravité au plan ABB', comptées (comme la distancer) parallèlement à BD, sont

7 SB, --SD-I-BD, ou encore 7/wA, 7(^4-3)//. Le théorème des mo- 4 4 4 4

ments donne donc

i //iVi~(///~i)MfflH-3)A I , 6w^ •^"4* 7,/»^ (/,!-, y» "~4''3//i'

3 /« -h I Pour m = i, cas auquel le trapèze dégénérerait en triangle, on a

généralités; principes FONDAHENTAUX , ETC.

x = -j//; si m varie en croissant depuis i jusqu'à œ , x crott aussi et

tend vers la limite -^h. Dans ce cas limite le trapèze devient un parallélogramme. Les deux résultats qu'on vient de trouver concordent avec ceux qu'on a donnés ci-dessus (i"" et a°).

4° Segment de cercle homogène tournant autour de sa corde, — Con- Fig. lo: sidéron^ le segment MLP (fg. \o), pris dans un

cercle homogène de rayon R, et devant tourner autour de sa corde MP. Le centre de percussion se trouvera en U, sur la ligne diamétrale OQ, perpendiculaire au milieu de MP (n"" 8) : il sera complètement déterminé, si l'on peut trouver sa distance au centre du cercle 0, ou simplement le

rapport -^ = /i. C'est à quoi nous parviendrons

en nous servant de la formule du n° 7, qui nous donne la valeur de x^ ou de QÎÎ. Pour l'appliquer, partageons la surface en éléments dxdy par des parallèles aux lignes QP et QL, prises pour axes des x et des /; nous aurons, en appelant ^ l'angle POL^

QH = R{/i-cos|l|^<i|-^

dxdj '

E disparait encore, comme facteur constant commun aux deux ternies de la fraction. Une première intégration, faite pour l'une des rangées d'éléments disposés suivant une parallèle aux x^ donnera l'équation ^

(/i — cos^)R

' x^dj = /

Il(i — cosy)

dans laquelle x et 7 ne désignent plus que les coordonnées d'un point S quelconque de l'arc LP. Or, si Ton désigne par a l'angle LOS que fait avec OL le rayon passant par ce point, on a

X = Rsina,

^•= R(C0S7. — C0S<î>), dy =i -^ Rsina^a,

valeurs qui, substituées dans la dernière équation, donnent

(/i — cos^)/ sin*a(cosa — COS<î>)f/a = / 8in^a(cosa — C0S<î>)*^/a. Jo . . Jo

is ghàpithb pnemisii.

Pour effectuer les intégrations, on se rappellera que

sin'acosacfa = ^sin'a,

sm*aflfa = -a smacosa,

sm'acos^arfa = 7sm'acosa4-^a — -sma cosa. 4 00.

On obtiendra donc sans difficulté la valeur de n,

— T? — ?8in^y cosy — Isiny cos<p "■ fsin'<p — <pcos<î>-hsinycos*<p '

ce qu'on peut encore écrire de la manière suivante :

i f — sinycosy — Isin^^pcostp ~"4* sinf — <j> cos<p — jsin^<ï>

Voici les résultats de quelques substitutions :

Pour f = TT on trouve

o,4io,

Une interpolation facile à concevoir donnerait approximativement les valeurs de n correspondant à des valeurs y non comprises dans le tableau

précédent : par exemple, quand «p sera égal à -^j on posera la proportion

0,589 - ff : û,589 - 0,410 :: - - 1 : î - i,

GÉNÉBÀUTfiS; PRINCIPES FOKHAMBNTàUX^ ETC. ^23

d'où

Le calcul direct donne pour résultat

Si le segment circulaire , au lieu d'être plein, se réduisait à la circonférence, ou, si Ton' veut, aune couronne très-mince, en conservant les notations précédentes, on aurait

/ (C0Sa--C0S<p)^/a

(cosa— cos<p)'rfa

/ï — COS (p =

d'où l'on tire

I 9 — sinycosç a smçp— -ycosy

Voici encore les valeurs numériques de n correspondantes à quelques valeurs de f :

ur ç = -TT

trouve

aTT

5° Segment elliptique homogène tournant autour de sa corde. — Ce problème se ramène au précédent. Soit, en effet, MLP {fig. 1 1) le segment elliptique donné , ayant son centre en 0 ; soient LI et OK deux diamètres conjugués, dont l'un OK est parallèle à MP. Par un point quelconque G, pris sur l'ellipse, menons GF parallèle à LI; puis par le point F et per-

24 CHAPITRS PRBMIBR,

pendiculairement à MP, la ligne FG', que nous terminerons à son point de rencontre avec la ligne GG', de direction indéterminée, mais constante Fig, ,,. pour tous les points. On aura

^'^Nv /'^^'^S""^ ■ / i )g On démontre sans difficulté que

\» X,^^ /V^ -^'n ^ ' / le lieu des points G' est une ellipse

\ ^1>\ \ /^^v' / ayantpouraxes, d'une part, la pro-

/Ç .1^^^ ^\)^'''"^''>^^^<. jection oblique de LI sur la per-

^ '' ^ pendiculaire L'I' élevée au milieu

de MP, la projection étant faite par des parallèles à GG' ; d*autre part, le double de ÔK . La courbe transformée, lieu des points G', sera un cercle, en choisissant convenablement la direction indéterminée G G' ; il suffira de faire en sorte que la projection oblique de OL, c'est-à-dire O'L', soit égale à ÔK : ce qui est un problème très-simple de Géométrie élémentaire. Le centre de ce cercle sera 0', projection oblique du centre 0 de l'ellipse.

Ayant construit le segment circulaire ML'P; on déterminera son centre de percussion H', relatif à l'axe MP, comme nous l'avons fait plus haut.

QTrp

On obtiendra le rapport = /;, en substituant dans son expression

l'angle ^ dont le cosinus est — •==- ou — r^ • Connaissant H', on mè- ^ O'L' OL

nera H' H parallèle à G' G, et son intersection H avec LI sera précisément le centre de percussion du segmeni elliptique. En effet, nous avons appliqué ici purement et simplement la dernière propriété démontrée au n^ 8. Pratiquement il ne serait pas nécessaire de passer par la détermination

TTTTp (\VK

du point auxiliaire H'. En effet -rr^^ = T=r = n ; donc, après avoir cher-