O'L' OL
ché le rapport n qui répond à l'angle y dont le cosinus est — :=—) il
suffira de porter sur OL la distance OH égale à /z.ÔL : le point H sera le centre cherché.
10. Recherche générale des centres de percussion par le Calcul intégral ou par la Géométrie. — Les valeurs des coordonnées Xi , Xx du centre de percussion d'une surface plane
généralités; principes fondamentaux, etc. aS
tournant autour d'un. axe situé dans son plan sont exprimées au moyen de trois sommes étendues à tous les éléments superficiels. Il est clair que chacune de ces sommes peut â.tre calculée au moyen d'une intégrale double, comme on l'a vu à propos des moments d'inertie (n°5). Ces sommes peuvent également se trouver à l'aide des procédés approximatifs^connus, tels que la méthode de Simpson.
On peut aussi employer dans cette recherche un procédé géométrique. Nous le croyons d'autant plus intéressant à connaître qu'il conduit à des résultats simples et élégants, et que ( comme nous le montrerons tout à l'heure ) il est directement applicable à la détermination du centre de pression d'une aire plane plongée dans un liquide pesant et homogène.
Soit donc CD [fig. 12 ) la surface plane, de forme quelcon-
Fig. 12.
que, dont on veut avoir le centre de percussion relativement à l'axe TT' contenu dans son plan. Soit 0 son centre de gravité, autour duquel on suppose tracée l'ellipse centrale d'inertie. Menons par le point 0 les axes principaux d'inertie Oj;, O7, et en outre deux droites 0(v, Ov, l'une parallèle et l'autre conjuguée à la direction TT'; nommons
Xy y les coordonnées d'un point quelconque par rapport aux
axes Ox, Oj; v, w les coordonnées obliques de ce même point relativer
ment à Ov, Otv;
a6 CHAPITRB PRBHIBR.
Xt9 y\9 V\9 Wi les coordonnées rectangulaires ou obliques du centre de percussion demandé;
Vi la valeur particulière de v pour un point quelconque de TT', c'est-à-dire la distance OÂ prise avec le signe — ;
p la longueur du demi-diamètre OP;
i l'angle POw qu'il fait avec son conjugué;
u la quantité v sin d pour un point quelconque, c'est-à-dire la distance normale de ce point à Ow, prise avec le signe -h ou avec le signe — , suivant que l'ordonnée v est positive ou négative ;
tti , Ml les valeurs particulières de u pour le centre de percussion et l'axe TT';
r le rayon de gy ration de la surface CD relativement à 0(v.
Le centre de percussion est, comme on l'a vu (n** 8), le centre de forces parallèles appliquées aux divers éléments w de la surface, et proportionnelles, pour chacun d'eux, au produit de sa masse Eût) par sa distance à l'axe de rotation; d'ailleurs cette distance s'exprime ici par a— m^ ou par (f — f ,) sin d. Appliquant en conséquence le théorème des moments par ' rapport aux lignes Ocv, Ovj on trouvera
c,2E(i'— -Cj)ck)=2Ev(t'— <',)ût), W|2E(('— t',)û)=2Ew(c' — i'ijck);
ou bien en tenant compte de ce que le centre de gravité est à l'origine, ce qui entraîne la nullité des sommes 2Ei^&), ZEu^ot), il vient
— CiCa2E&);=2E(/'w,
(V|Va2E&)=:2Ei'<VCk).
Or on a démontré au n"" k les égalités
2E(;»û) = /?»IE&), 2Ec«;c«) = o:
les deux précédentes donneront donc enfin
GËNÉRALITÉS; PUtHCI^XS POlf BAHENTàUX 9 ETC. %^
On pourra poser aussi » en vertu de (i),
^ v,v,sin'3 4-p*sin*ô = o;
or, par définition, Vi sind et c'asind ne sont autre chose que Ut et M,, et, d'un autre côté, psini est égal à r{n»4); donc
(3) M,iij-f-r' = o,
Les équations (i), (2) et (3) font connaître le centre de percussion par ses coordonnées Ci , w, , m, , qui se trouvent exprltaées en fonction des données m», Cj, r, p. Interprétons maintenant ces équations en langage ordinaire.
L'équation (2) nous apprend que w, est nul, et que par conséquent le centre de percussion se trouve quelque part sur la ligne Oi/, en H par exemple. L'équation (i) montre que Vt et c^, sont de signes contraires ; que, par suite, le centre de gravité 0 est compris entre le centre de percussion H et le point A où Taxe de rotation est coupé par Ov; enfin que OP est moyen proportionnel entre DA et OH. Quant à l'équation (3), elle définit la distance normale du point H à Oiv; on aurait pu la trouver en exprimant , suivant les théories connues , que le centre de percussion demandé se trouve sur l'axe d'oscillation de la surface CD considérée comme un pendule tournant autour de l'axe de suspension TT'.
En résumé, nous pouvons énoncer la règle suivante : Pour déterminer le centre <te percussion dune surface plane CD, relativement à un a^e Tï\ on mènera par le centre de gravité 0 de cette surface le diamètre kOv conjugué de TT' dans V ellipse centrale d'inertie; puis, dans le prolongement
ôp'
de AO, l'on portera la longueur OU égale à -r=r , OP étant
le rayon de Vellipse dans la direction AO. Ou bien encore» après avoir tracé AOt', on prendra la rencontre H de cette ligne avec une parallèle à TT' menée au delà du centre de
gravité, à la distancé OG =-=r, r étant le rayon de gpxUion
OB
relativemeni àOw^
7& CHAHITBE PREMIER.
Nous avons dit que les résultats trouvés pour les centres de percussion étaient directement applicables à la recherche des centres de pression, problème qu'on iraite dans THydrostatique. Supposons, en effet, que CD soit une aire plane plongée dans un liquide pesant et homogène en équilibre, la pression étant en outre censée nulle au niveau supérieur du liquide (si elle ne Tétait pas, on relèverait ce niveau d'une quantité égale à la hauteur représentative de la pression qui s'y trouve exercée). Soit IT l'intersection du plan CD, prolongé au besoin, avec le plan horizontal du niveau supérieur. Les pressions exercées par le liquide sur les divers éléments superficiels w de l'aire CD seront, pour chacun d'eux, proportionnelles au produit de ié par sa profondeur au-dessous du niveau, et par conséquent aussi au produit de w par sa distance à TT. Or, dans l'hypothèse où le nombre E serait constant, c'est précisément la loi que suivent les forces parallèles dont H est le centre ; et comme ce centre ne change pas quand toutes les forces varient dans un même rapport, il en résulte que le point H déterminé par la règle ci-dessus n'est autre chose que le centre de pression de l'aire CD. Dans la règle en question il faut comprendre seulement que TT' désigne l'intersection du plan de l'aire donnée avec le plan du niveau supérieur; de plus, l'ellipse d'inertie doit être calculée en admettant l'homogénéité de la surface; enfin, si cette surface était partiellement hors du liquide, il est bien entendu que la portion extérieure serait considérée comme n'existant pas, et qu'on devrait appliquer la règle à la partie plongée, prise toute seule.
11. Problème inverse : iroucer l'axe de rotation quand le centre de percussion est donné. Lieu géométrique des centres de percussion d*une surface quand Vaxe de rotation varie dans son plan suivant une certaine loi. — Quand le centre de percussion H est donné, il est bien facile de revenir à l'axe TT' [Jig. 12) : il suffit, en effet, d'après ce qu'on a vu ci-dessus (n** 10), de joindre le point H au centre de gravité 0 de
la surface, de prolonger HO d'une quantité OA=-=r-, enfin, de mener par le point A ainsi obtenu une parallèle au dia-
généralités; principes fondamentaux, etc. 29
mètre Om^, conjugué de OH. Ou bien encore, ayant mené en H
la ligne HG parallèle à 0(v et abaissé de 0 la perpendiculaire
OG, on prolongerait GO de la quantité OB =-==•, ce qui déterminerait B et parlant IT.
Cherchons encore Téquation de TT' par rapport aux axes rectangulaires Ox^ Oy. Conservons les notations du n<* 10 et soit
y=:mx -hn'
cette équation, m ein étant deux quantités à trouver. La distance d'un point quelconque du plan à cette droite sera proportionnelle à j -— mx — n, et les forces parallèles dont H est le centre le sont au produit £(/ — mx — /ijw; donc en écrivant le théorème des moments pour les axes coordonnés, on aura
Xt2E{x— mx — /i)û) =2E(/— mx — n)^w, ^*,2E(j' — mx — ;i)&) z=2E(j — mx — n)ybu
Or, les axes Oo; et O7 étant les axes principaux dlnerlie au centre de gravité, on a aussi
2Ej7a) = o, 2Ej&)=:o, 2E^7a) = o;
si nous nommons, en outre, a et 6 les deux rayons principaux de l'ellipse et que nous posions, comme au n" 4,
2E7»w=ia»2Ea), 2E^»w = 6*2Ea),
les deux équations ci-dessus se réduiront, par la suppression du facteur 2Ea), à
— n j, = a\ d'où Ton tire
a} nxx a?Xx
L'équation de la droite TT' sera donc
a}XxX a^
30 GHAPITRV PEBHIKR.
OU bien encore
On reconnaît dans l'équation (4) celle de la polaire du point H, sauf le changement de signe du terme indépendant de X et de x» lequel changement a pour effet de faire passer la droite dans la position symétrique par rapport au centre 0. Ainsi TT' n*est pas précisément la polaire du point H, mais c'est une droite parallèle à la vraie polaire //', placée symétriquement de Taulre côté du centre, et que pour cette raison nous nommerions volontiers Vantipolaire de H. Réciproque*^ ment H serait V antipôle de TT', c'est-à-dire un point pris sur le prolongement de la droite qui joint le pôle h au centre, à la dislance OH = 0A. Celte observation, qu'on aurait pu déduire de la règle établie au n* 10, aussi bien que de l'équation (4), permet d'étendre immédiatement toutes les propriélés des pôles et polaires aux centres de percussion et axes de rotation correspondants. De ce que le centre de percussion a Taxe correspondant pour son antipolaire, résultent les propositions ci-après :
1® Quand le centre de percussion varie sur une même droite, les axes de rotation correspondants passent par un même point; ce point est le centre de percussion relatif à la droite.
2<* Dans le cas particulier où la droite passe par le centre 0, les axes sont tous parallèles à la direction conjuguée dans l'ellipse, et réciproquement.
3*» Si l'axe de rotation se meut en restant toujours langent à une certaine courbe (K) dans le plan, le centre de percussion décrit une autre courbe (K') : ces deux courbes sont réciproques, c'est-à-dire que si Taxe enveloppe (K'^) le centre de percussion se meut sur (K). Ces courbes sont les antipolaîres réciproques; le degré de l'une étant connu, le degré de l'autre le sera pareillement; on démontre, par exemple, que si l'une est du second degré, il en est de même pour l'autre.
La seconde proposition peut être donnée comme un corollaire de la construction géométrique par laquelle on trouve le centre de percussion pour un axe de rotation donné. La
GÉNtRAUTÉS; PEINCIPBS FONDAMENTAUX» BTG. 3l
première se démontre bien facilement» sans avoir recours à la théorie des polaires» Supposons en effet que Taxe de rota* tion varie» mais qu'il doive passer toujours par un certain point fixe dont nous appellerons les coordonnées (» ri : pour chaque axe particulier il y aura un centre a)uint Xi , y^ pour coordonnées» et puisque Taxe passe au point (^» v})» il faudra que ces quantités vérifient Téquation (4). Donc
donc les coordonnées x^ /i sont liées par une équation du premier degré, et le point qu'elles représentent se meut par conséquent en ligne droite. D'ailleurs la forme de cette équation, oii :r,» ji désignent les coordonnées courantes, comparée à celle de l'équation (4)> montre clairement que la ligne dont il s'agit est l'axe de rotation répondant ^au centre de percussion [\y yî).
Quant aux propriétés énoncées dans le troisième alinéa (3")» nous nous contenterons de les avoir rattachées à la théorie des polaires. Leur démonstration exigerait de trop longs développements et nous écarterait trop de notre but. Nous avons hâte d'aborder la Résistance des Matériaux proprement dite, dont nous n'avons encore exposé que des prolégomènes*
§ II.~ Des forces capables de produire sur nn prisme une déformation donnée; tensions correspondantes dans les divers points.
12. Définitions. — Si l'on prend une portion de prisme comprise entre deux sections normales à la longueur» trèsvoisines l'une de Tautre; que l'on décompose ce volume en éléments prismatiques très-petits en tous sens, ayant leurs arêtes parallèles à celles du prisme donné» l'un quelconque de ces éléments recevra le nom défibre élémentaire ou quelquefois d'élément défibre. Une file d'éléments di^osée parallèlement aux arêtes est ce que nous nommerons une fibre du prisme.
Un prisme est susceptible de se déformer d'une infinité de manières; mais nous n'étudierons qu^une classe restreinte de
3a CHAPITRE PREMIBR.
déformations. Nous exclurons toutes celles qui comporteraient \in changement quelconque dans la figure des sections transversales, de sorte que le prisme se déformera uniquement par les changements de position des sections relativement les unes aux autres. Maintenant, on peut supposer à deux sections voisines quatre mouvements relatifs simples dont nous allons successivement analyser les effets.
13. Extension ou compression simples d'un prisme homo^ gène. — Quand un prisme élastique homogène, de faibles di- " mensions transversales, est tiré par une force appliquée suivant son axe, on sait qu'il s'allonge proportionnellement à sa longueur primitive, à Tinverse de sa section droite et à cette force. Si Tefforl exercé devient assez grand, il est vrai que la proportionnalité cesse ou du moins que le rapport entre l'allongement et la force ne conserve pas sa valeur primitive. Toutefois, comme la valeur limite de la force, qui donne lieu à ce changement, est encore inférieure à celle qui serait fixée par les constructeurs pour avoir des garanties suffisantes de stabilité, nous admettrons toujours la proportionnalité dont il s'agit, c'est-à-dire que nous supposerons toujours la force audessous de la limite nécessaire à la conservation du prisme.
Si la force change de sens et produit une compression (toute courbure dans l'axe étant d'ailleurs empêchée par des moyens quelconques), on pourra répéter identiquement la même chose, à part que le prisme sera raccourci au lieu d'être allongé. Ainsi donc, en appelant:
L la longueur primitive;
/l'allongement regardé comme positif dans le cas de l'extension, et négatif dans le cas de la compression;
Q la section transversale ;
E un nombre constant pour une même matière;
T la tension longitudinale, positive ou négative en même temps que /;
on aura la relation fournie par l'expérience
TL
généralités; principes fondamentaux » ETC. 33
d'où l'on tire la valeur de la tension correspondante à un allongement donné,
. T, Eu/
Le nombre E est ce que nous appellerons coefficient d'élasticité longitudinale pour la matière qui compose le prisme; c'est, comme on le voit,, le rapport entre la tension par unité de
surface rr et l'allongement proportionnel correspondant y (*)•
, 14. Généralisation des notions précédentes pour un prisme hétérogène. — Lorsqu'un prisme n'est pas homogène, mais que ses qualités physiqlies varient seulement d'un point à l'autre d'une section transversale, toutes les sections étant d'ailleurs identiques entre elles, on peut imaginer qu'il est formé d'une infinité de prismes homogènes juxtaposés. Alors si l'on appelle w la section de l'un des éléments, t sa tension pour une augmentation l de sa longueur primitive L, E son coefficient d'élasticité, on pourra toujours poser
On peut admettre avec assez de vraisemblance que E reste constant pour un même élément ou fibre quand t varie; ce qui revient à supposer qu'une fibre se comporte comme une tige isolée et qu'elle n'est pas influencée par les fibres voisines. Le nombre E, variable seulement d'une fibre à une autre, sera ce que nous appellerons coefficient d*élasticité longiturdinale du prisme donné, dans les points qui se trouvent sur la fibre considérée.
La même notion s'étend immédiatement à un prisme de nature quelconque, pourvu qu'on y suppose L infiniment petit, car il est clair qu'on rentrerait ainsi dans le cas que nous
(*) Quelques expérimentateurs ont attribué au coefficient d'élasticité de U fonte ou à celui du fer des valeurs différentes suivant qu'il s'agit de l'extension ou de la compression. Mais, outre que la différence n'est pas bien posiUvement établie, elle est assez faible pour pouvoir être négligée en vue de simpUfier la théorie.
