I. a* ÉDIT
venons d'examiner. Ainsi nous appelons coefficient d'élasticité longitudinale en un point quelconque d'un prisme, le rapport supposé constant entre la tension longitudinale de rélément de fibre qui contient ce point, par unité de surface, et rallongement proportionnel qui répond à cette tension.
Cela posé, il est facile d'avoir la résultante des tensions dans une section transversale quelconque, pour une extension ou compression uniforme de toutes les fibres, c'est-à-dire quand une section n'éprouve relativement à celle qui la précède ou« la suit immédiatement qu'une translation perpendiculaire à leur plan. Il suffira de faire pour toute la section la somme ou
intégrale des valeurs de —^—j ce qui donne pour l'intfensité
de la résultante
h) T = -^2Ea),
équation qui peut aussi faire connaître l'allongement l quand les autres quantités sont données. La quantité 2E6) qui, multipliée par l'allongement proportionnel, donne la tension totale, est ce que nous nommerons ressort longitudinal du prisme; plus elle est grande, moins le prisme s'allonge pour une tension totale déterminée; ce qui justifie le nom que nous lui donnons. Quant au point d'application de la force résultante T, il est clair que puisque ses diverses composantes sont en chaque point proportionnelles au produit Ew, il coïncidera avec le centre de gravité de la section, déterminé en attribuant à chaque élément superficiel une densité égale à son coefficient d'élasticité longitudinale.
15. Cas du glissement simple par translation de deux seC'lions voisines. — Au lieu de supposer, comme tout à l'heure, qu'une section se déplace relativement à celle qui est infiniment voisine, par une translation suivant une perpendiculaire à son pian, prenons le cas où cette translation- s'effectuerait parallèlement audit plan. Il est alors bien difficile de constater directement par l'expérience la relation entre cet effet et la force qui serait capable de le produire, parce que le phénomène est toujours compliqué par des circonstances
GÉNÉRAUTfS; PEINaPES PONDAVENTAUX , BTC. 35
étrangères à celles que Ton veut étudier; pour l'établir, nous
nous fonderons sur une analogie avec le cas traité ci-dessus*
Soient AB, ÀiBi (Jig. i3) deux sections transversales infini-
Fig. i3. ment voisines, dont la distance primitive
J^ AAi sera désignée par L. Admettons que
^' ) A|Bi glisse dans son plan, par rapport
à AB supposé fixe, d'une quantité repré-
^Li X sentée par A, A' = y, qui est la même pour
^^ tous les points. L'élément superficiel <ki,
venu en w', tendra en vertu de l'élasticité à reprendre sa position primitive; la force exercée sur lui dans ce but sera, d'une part, proportionnelle à w, et d'autre part fonction du
glissement relatif jr • Il est assez naturel d'admettre qu'elle lui
sera proportionnelle dans une certaine limite et de poser, en appelant 6 cette force,
relation dans laquelle G est tm coefficient constant pour une même fibre élémentaire, mais variable de l'une à l'autre; il représente d'ailleurs [comme E dans l'équation (i)] le rapport
constant entre la force ~ par unité de surface et le glissement
relatif y vuous l'appellerons coefficient d'élasticité transver-
sale.
La force Q est opposée au glissement; la résultante 0 de toutes les forces parallèles appliquées aux divers éléments superficiels w sera .
(4) 0 = j2Ga).
Cette équation, tout à fait pareille à l'équation (2) du n" 14, donne le rapport entre une force 0 et le glissement y qu'elle produit. La quantité 2Gci) pourra donc par analogie être appelée ressort transversal du prisme. On remarquera en outre que la force 0 est située dans le plan de la section et qu'elle
36 CHAPITRB PIBHIBE.
passe par son cenire de gravité, déterminé comme si chaque élément avait une densité égale au nombre G correspondant»
16. Centre d'élasticité d'une section transversale. — Pour un même élément a pris dans une section, il existe deux coefficients d'élasticité E et G, dont la définition vient d'être donnée. Ces nombres dépendant de la constitution de la matière peuvent être variables d*un élément à l'autre; mais ordinairement, dans les applications numériques de la Résistance des Matériaux, faute de données suffisantes à ce sujet, on est obligé de les supposer Tun et l'autre constants pour un même corps. Nous ferons donc une hypothèse encore plus générale en admettant que les corps dont nous nous occupons sont tels> qu'il y a un rapport constant entre les coefficients E et G aux différents points. C'est au reste ce qui paraît approximativement résulter des expériences qui ont fixé les valeurs E et G pour les corps le plus souvent employés dans les construc-
tiens; car le rapport jr s'écarle ordinairement assez peu de 3»
Une conséquence immédiate de l'hypothèse que nous venons de faire, c'est que les deux résultantes T et 0 des actions moléculaires produites dans une section, soit par une extension ou compression simples, soit par un glissement simple,, passent en un même point. Elles se rencontrent en effet au cenire de gravité de la section déterminé en considérant chaque portion de la surface comme ayant une densité égale à E . ou à G. A cause du rôle que joue l'élasticité dans la détermination de ce point, il paraît convenable de l'appeler centre d'élasticité. La fibre qui contient les centres d'élasticité de toutes les sections se nommera yîére moyenne.
Nous avertissons en outre ici que quand nous parlerons soit de l'ellipse d'inertie d'une surface, soit de son rayon de gyration, ces quantités devront être déterminées en adoptant pour densité en chaque point la valeur E ou G.
17. Cas delà flexion simple. — Nous disons qu'un prisme éprouve une flexion simple quand une section quelconque n'a, relativement à celle qui est infiniment voisine, qu'un mouve-
généralités; principes fondamentaux, etc. 37
ment de rotation autour d'un axe contenu dans son plan et passant par le centre d'élasticité.
Fig. 14.
A ce
