B DD

Soient

AB et CD {Jlg. 14 ) les sections considérées j

CD' la position occupée par cette dernière après la déformation, relativement à AB supposé fixe;

O le centre d'élasticité de CD;

OW Taxe de flexion; OV son diamètre conjugué dans l'ellipse centrale d'inertie;

ê l'angle aigu de ces deux lignes;

v|; l'angle infiniment petit des plans CD, CD';

L la longueur AC ;

V, (V les coordonnées d'un point quelconque F relativement aux axes obliques OV, OW;

«, a' les distances de ce même point à OW et à OV;

E le coefficient d'élasticité longitudinale en F ;

6) un élément superficiel contenant ce point.

La fibre élémentaire ayant o pour base éprouvera un allongement simple, toujours exprimé algébriquement par ij/w, pourvu que u soit pris négatif du côté de OW où il y a raccourcissement ; la tension correspondante, positive ou négative,

sera Eco -y- ( n" 1&- ) ; la tension par unité de surface variera donc

d'un point à l'autre proportionnellement au produit Em. Cherchons maintenant à composer entre elles toutes les ten*

sions telles que Eû)~-> pour les réduire à une force ou à un

couple unique. On remarquera d'abord que leur somme algé-

brique est j-^Euùi, quantité nulle puisque OW passe au cen-

tre d'élasiiciié de CD; comme d'ailleurs toutes ces forces sont parallèles à Taxe du prisme, il est clair qu'elles se réduisenfrà un couple situé dans un plan également parallèle à cet axe, couple qui sera complètement déterminé si l'on parvient à trouver une parallèle à la trace de son plan sur celui de la section CD et la grandeur de son moment.

A cet effet rappelons-nous que, les diamètres OV, OW étant conjugués dans l'ellipse centrale d'inertie, on a (n* 4)

or V et (V sont dans un rapport constant avec u eX u' : donc aussi

2Emm'&) = o,

pourvu qu'on ait soin de changer u de signe en même temps que V, et u' en même temps que w, c'est-à-dire de donner à ces distances le signe + ou le signe — suivant qu'elles sont comptées d'un côté ou de l'autre de leurs axes respectifs. Moyennant cette précaution , nous pouvons dire également que la somme algébrique des moments des forces moléculaires relativement à OV s'exprime par ^ZEtt^'w. Donc cette

somme est nulle en vertu de la dernière équation; donc le couple résultant coupe le plan de la section suivant une parallèle à OV, ou encore sa trace est conjuguée de l'axe de flexion dans l'ellipse centrale d'inertie de la section CD.

Quant à l'intensité X de ce couple, voici comment on l'obtiendra. D'après la direction que nous avons trouvée pour son plan, on voit que son axe représentatif est contenu dans le plan CD et qu'il a la direction perpendiculaire à OV; cet axe fait donc avec OW un angle complémentaire de ô. Par suite, le moment du couple résultant relativement à OW sera

X cos ( 3 J ou X sin 5, comme on le sait par la théorie des

moments et des couples. On en a une autre expression en prenant la somme des moments des tensions élémentaires par rapport au même axe OW; l'une de ces tensions ayant

GfiNfiRALlTÉS; PBINGIPBS FONDAMENTAUX, ETC. 89

pour intensité f-Eucù agit sur le bras de levier u et donne

m ' Là >»

lieu au moment j^Em'w : le moment total est donc j-lEu^cù. Égalant ces deux valeurs de la même quantité, on posera

Xsinô= ^2Ea^w,

ou bien, si Ton nomme r le rayon de gyration de CD par rapport à OW,

(5) X = -4-^H2Ea).

^ ' Lsind

Telle est la relation enlre la rotation ou flexion simple vp et le moment résultant des tensions moléculaires qu'elle produit. Les explications précédentes laissent un peu dans le vague le sens du couple X corrélatif à un sens donné de ^. Cette lacune est aisée à combler, si Ton observe que, par la nature même des forcés élastiques, leur effet doit être ici de ramener la section de la position finale CD' à la position initiale CD. U faut par conséquent que le moment Xsind soit opposé à la rotation ^; et, comme sinô est positif, cela revient à dire que Vaxe représentatif du couple fait un angle obtus avec l'axe représentatif de la rotation correspondante. Si, au lieu de prendre le couple résultant des actions moléculaires, on eût pris le couple égal et de sens contraire, qui serait capable de les équilibrer et par suite de maintenir le prisme en état de flexion, alors les deux axes feraient entre eux un angle aigu,

La valeur de l'angle est d'ailleurs - -f- ô dans le premier cas,

et S dans le second.

En résumé, on voit qu'une flexion simple donne lieu à des forces moléculaires se réduisant à un couple; que la trace de ce couple sur le plan de la section fléchie est parallèle au diamètre de l'ellipse centrale d'inertie de la section, conjugué avec Taxe autour duquel la flexion s'opère; enfin que le moment du même couple est proportionnel à l'angle de flexion

40 CHAPITEB PREMISE.

rapporté à l'unité de longueur (y")^ ^ l'inverse du sinus de

l'angle 3, et à la quantité r»2E&> qui est le moment d'inertie de la section fléchie pris relativement à l'axe de flexion. Cette dernière quantité, indépendante de la flexion, mais dépendante seulement de la surface CD et de ses qualités physiques, peut être considérée comme donnant la mesure de l'effort à employer pour produire une flexion donnée, autour d'un axe déterminé, entre les sections très-voisines CD, AB ; par cette raison, nous pensons qu'on pourrait la nommer moment d'inflexibilité de la section CD, relativement à l'axe OW, afin de rappeler le rôle qu'elle joue dans la théorie qu'on vient d'exposer (*).

18. Cas de la torsion' simple. —- Un prisme éprouve une torsion simple, quand une section tourne, relativement à une section infiniment voisine, autour d'un axe perpendiculaire .à leurs plans et passant par leurs centres d'élasticilé. Reportonsnous à la^gf. i4, conservons les notations du n** 17 et appelons en outre

G le coefficient d'élasticité transversale pour l'élément o ; p sa distance à l'axe de torsion Oz; X l'angle dont a tourné la section CD relativement à AB supposé fixe.

L'élément 6> supporte, dans son plan et perpendiculairement

à p, une tension ,^ (n° 15); la tension par unité de surface

varie donc comme le produit Gp.

Pour composer entre elles toutes ces tensions, on les projettera d'abord sur trois axes rectangulaires Ox^ Oj, O-s, dont les deux premiers soient dans le plan CD. La somme des projections sur Oz sera nulle d'elle-même; quant à la projection

totale sur Oar, elle est ^ ZGw/, c'est-à-dire nulle, puisque O

est le centre d'élasticité; et il en est de même des projections

( * ) Dans la première édition de cet ouvrage, nous disions : moment deflexi^ MUté, Mais notre dénomination actuelle paraîtra peut-être plus juste, puisque la difficulté de fléchir le prisme croit comme la quantité dont il s'agit.

GÉlffiBÀUTfis; PâmCIPBS FONDAMENTAUX y BTC. ^l

sur Ox* Donc les tensions se composent en un couple contenu dans le plan CD, couple dont Taxe est évidemment dirigé en sens contraire de celui qui représente la rotation %• L^ moment V de ce couple ne sera autre que la somme des mo* ments des tensions relativement à un point quelconque du plan, O par exemple : donc on aura

(6) V=î:|2Gp»a).

Le moment d'inertie 2Gp»&) peut s'exprimer autrement. On a vu en effet (n" 5) que le carré du rayon de gyration correspondant, ou -^/ "? est égal à la somme des carrés des deux

demi-diamètres principaux a et 6 de l'ellipse d'inertie, construite pour le point 0 de la surface : donc

2Gp>a) = (a»-i-fc«)2G«.

A la vérité a et b devraient être déterminés en attribuant à chaque élément une densité G; mais si Ton admet l'hypothèse d'un rapport invariable entre les deux coefficients d'élasticité, le résultat serait le même en attribuant la densité E, et les lettres a et 6 auraient la même signification dans les deux cas.

Comme on le voit aisément, le moment d'inertie 2Gp'ck) ou (a' H- 6')2Gû) joue ici un rôle tout à fait analogue à celui du moment lEu^cù ou r'2Eû) dans la flexion simple : il serait donc naturel de l'appeler moment dintqrsibiliié (*) de la section CD, si ce dernier mot existait en français, comme on pourrait le désirer, pour exprimer la difficulté d'être tordu, de même qu* inflexibilité exprime la difficulté d'être fléchi.

19. Observation sur la composition de deux ou plusieurs mouvements simples de même nature. — Supposons d'abord, pour fixer les idées, le cas de la flexion. La rotation vp, étudiée au n? 17 et constituant une flexion, peut être regardée comme

{*) n y aurait à répéter ici une observation analogue à celle qui est renfermée dans la noté de la page précédente.

4a CHAPITRE PREMIER.

produite par plusieurs rotations ou flexions Yf Y*- ..,. autour d'axes différents, tous passant par le centre d'élasticité de la section et contenus dans son plan. La flexion ip donne lieu à des actions moléculaires qui équivalent en somme au couple X; de même à ^^, ip'', . . . répondront d'autres couples X', X'',. . • ayant chacun leur orientation déterminée par Taxe de flexion correspondant. Nous voulons établir que X est le couple résultant de X', X'^ .

En effet, puisque 4' est la résultante de ip', Y y • •» l'allongement, positif ou négatif, produit par ^ dans une fibre élémentaire quelconque, sera la résultante ( on pourrait même dire ici la somme algébrique ) de ceux que produiraient isolément ip', ^'\.... On est en droit d'en dire autant pour les tensions moléculaires, car elles sont proportionnelles, dan^ chaque élément de fibre, à l'allongement éprouvé par celui-ci. Ainsi donc les tensions produites par la flexion résultante d'une part, et d'autre part toutes les tensions qui seraient dues aux flexions composantes, forment deux systèmes équivalents. Or quand deux systèmes de forces sont équivalents, on ne trouble pas l'équivalence en opérant sur chacun d'eux telle composition ou décomposition partielle que l'on veut; nous aurons donc encore deux systèmes équivalents quand nous aurons remplacé le premier par le couple X, et le second par les couples X', X",..!, dont chacun s'obtient en prenant à part une portion des forces à composer. C'est justement en cela que consiste notre théorème.

La même démonstration s'appliquerait, presque mot pour mot, si au lieu d'une flexion nous avions considéré l'un des trois autres mouvements simples, savoir, une extension, un glissement transversal , une torsion. Elle s'appliquerait encore, évidemment, si les mouvements composants n'étaient pas de même nature, pourvu que tous produisissent sur chaque fibre élémentaire une extension simple (positive ou nénégative, indifféremment), ou qu'ilsi produisissent tous un glissement transversal., On pourrait joindre, par exemple, les extensions simples avec les flexions ; les glissements transversaux simples pourraient aussi se mêler avec les torsions. On arriverait toujours à cette même conclusion : l'ensemble des

généralités; prikcipes fondamentaux, etc. 43

forces moléculaires dues au mouvement résultant équivaut au système des résultantes partielles obtenues en considérant. à part chaque mouvement composant.

§ in. — Problème inverse : Étant données les forces qui doivent être équilibrées par les actions moléculaires dans une section d'nn prisme, trouver la tension par unité de surface en chaque point.

20. Solution générale, — Quand on connaît toutes les forces extérieures sous l'action desquelles un prisme se maintient en équilibre, il est clair qu'on connaît par cela même la résultante ou plus généralement les deux résultantes des actions moléculaires dans une section quelconque : car ces actions 4!oivent faire équilibre à toutes les forces extérieures qui agissent entre la section considérée et Tune des extrémités du prisme. Le problème posé dans ce paragraphe est donc l'un deslroia problèmes généraux énoncés dans l'introduction du Cours. Sa solution se déduit immédiatement d'une double hypothèse qu'on peut énoncer ainsi : ï** les seules déformations qui se produisent sous l'action des forces données sont les déformations simples mentionnées ci-dessus, au § II, ou bien elles résultent de la composition des mouvements relatifs de sections auxquels sont dues lesdites déformations simples; 2*» les tensions produites par un mouvement relatif de deux sections voisines, composé de deux ou plusieurs mouvements simples, sont les résultantes des tensions qui se produiraient si les mouvements composants existaient chacun à l'exclusion des autres [celte deuxième proposition a été partiellement reconnue vraie ci-dessus (n° 19); mais le raisonnement, fondé sur la proportionnalité entre les forces et les dérangements qu'elles produisent , n'est pas applicable au cas où il y a simultanément extension et glissement transversal pour une fibre élémentaire donnée].

Soient en effet CD [Jig. i5) la section transversale dans laquelle on veut déterminer les tensions, 0 son centre d'élasticité. Toutes les forces qui agissent depuis CD jusqu'à l'extrémité de la pièce pourront toujours être ramenées par la composition à une résultante de translation R appliquée en 0, et à un

Fig. i5.

44 CBAPITBE PREMIBE.

couple dont Taxe représentatif sera OS par exemple. Puis la force R sera décomposée en une force N» dirigée normalement à CD, et en une force P située dans le plan CD ; de même le couple représenté par OS sera décomposé en deux autres représentés par les axes OX et OV, le premier couple composant ayant son plan normal à la section, l'autre étant contenu dans cette section. Cela posé, pour produire des actions mpléculaires susceptibles d'équilibrer le système N, P, X, Y> il suffira d'imaginer que CD a pris relativement à la section infiniment voisine ÂB les quatre mouvements simples suivants :

NL

1° Une translation parallèle à ON, exprimée par-^-rr-? la-

quelle donnera lieu à la tension résultante N {n° 14); 2*> Un glissement dans son plan, dirigpé suivant OP, exprimé '

PL

par y7T~? lequel produira une force égale et contraire à*P

(nM5);

3° Une flexion simple ou rotation autour d'un axe conjugué, dans l'ellipse centrale d'inertie, avec la perpendiculaire à OX (n*» 17) : en appelant à l'angle de la perpendiculaire à OX avec son diamètre conjugué, rie rayon de gyration de CD autour de ce diamètre, et adoptant pour grandeur de cette rotation

^yp. j on produira des actions moléculaires dont l'ensemble

sera équivalent et contraire au couple X;

4° Enfin une torsion simple ou rotation autour de l'axe normal à CD et passant au point 0, dont la grandeur serait