v^ - y aeib étant les rayons de gyration principaux

de la surface CD en 0, Les actions moléculaires produites par ce dernier mouvement feront équilibre au couple V (n** 18).

Ainsi donc on pourra, moyennant les hypothèses fondamentales sur lesquelles nous nous appuyons, trouver dans le cas le plus général, quant à la distribution des forces et à la nature du prisme , les quatre mouvements relatifs simples de deux

généralités; PfiHVCIPBS FOUDAVENTAUX, BTG. 4^

sections infiniment voisines, dont l'ensemble produirait des tensions capables de faire équilibre aux forces dopnées. Connaissant ces mouvements 9 on en déduira la tension due isolément à chacun d'eux dans les divers éléments de fibre qui traversent la section considérée; puis composant pour chaque élément de fibre, d'une part les actions dues à l'extension simple et à la flexion, d'autre pan celles qui produisent le glissement transversal simple et la torsion, on aurait pour ce même élément de fibre les deux forces résultantes qui le sollicitent longitudinalement et transversalement.

Sur les quatre quantités N, P, V, X qui dépendent des forces extérieures appliquées à la pièce, il y en a une P que l'on désigne souvent sous le nom à! effort tranchant. En raison du rôle que joue V dans la déformation, nous l'appellerons couple ou moment de torsion; par un motif analogue, X sera le couple ou moment deflexion, ou encore le moment fléchissant. Quant à la force N, il ne semble pas très-utile de lui donner un nom spécial : celui de tension totale se comprend de lui-même.

21. Cas particulier des pièces droites chargées transversalement. — Soit, par exemple, un prisme soumis uniquement à des forces perpendiculaires à sa longueur et situées dans un même plan, qui sera supposé contenir aussi la fîbTC moyenne. Il s'agitd'étudierladistribution desforces moléculaires dans une section (Jonnée quelconque CD (^g-. 16). Soient P la résultante des forces extérieures pour la portion de prisme comprise entre la section CD et l'extrémité F; H le point d'application de P. Ce point H et l'intensité P varieront généralement avec la position de CD; ils ne resteraient constants que s'il y avait une force unique appliquée au prisme.

Dans tous les cas, la résultante P pourra être remplacée par une force égale, parallèle et de même sens, passant au centre d'élasticité 0 de CD, et par le couple (P, — P), dont nous désignerons le moment par PA. On voit alors qu'il n'y aura dans CD qu'un glissement transversal et une flexion simples, relativement à la

Fig. 16.

46 CHAPITRE PI^BVIBR.

section très-voisine ÂB« Le premier de ces mouvements, ayant

PL

pour étendue y^ y donnera lieu sur chaque élément à la ten-

sion transversale par unité de surface P vtt- ( n** 15 ). Le second

s'effectuera autour d'un axe conjugué, dans Tellipse centrale d'inertie , avec l'intersection mutuelle des plans ( P, — P ) et CD; sa grandeur sera, en conservant les notations du n** 17,

exprimée par — ^y^ — 5 enûn la tension longitudinale qu'elle

produit dans chaque fibre, par unité de surface, seraEw -^y=— •

Elle changerait de signe avec m, c'est-à-dire (n" 17) qu'il y aurait extension d'un côté de l'axe de flexion et compression de l'autre; le sens du couple (P, — P) indique d'ailleurs facilement le sens de la rotation prise par CD, et par suite celle des fibres qui sont allongées, ainsi que celles qui sont raccourcies.

Ordinairement on néglige l'action de glissement P Vp—

Il est rare que cela ait de graves inconvénients en pratique ; cependant il ne faut pas perdre de vue l'existence de cette action; parfois elle subsiste seule, et alors c'est à elle qu'il faut songer quand on fixe les dimensions de la section CD. Par exemple, si P est une force unique appliquée au prisme, il est clair que, pour une section faite en H, PA serait nul, et l'effort de glissement subsisterait seul.

On admet aussi le plus souvent l'hypothèse restreinte d'une pièce homogène, symétrique par rapport au plan qui passe par la fibre moyenne et contient les forces extérieures. Le plan (P, — P) coupe alors celui de la section suivant un axe principal de l'ellipse centrale d'inertie, et le diamètre conjugué de cet axe n'est autre que la ligne menée en 0 perpendiculairement au plan de symétrie OPH. En continuant donc à négliger le glissement. transversal et appelant I le moment d'inertie de la section CD, calculé avec la valeur constante E = i, relativement à la ligne qu'on vient de définir, la tension positive ou négative par unité de surface produite par la flexion serait,

PAm pour un point quelconque, —z —

GfiNfiRàLITÉS; PEINCIPES FONBABBNTàUXy BTG. 4?

Nous aurons occasion plus tard, dans un chapitre spécial, de revenir sur ces considérations , que nous nous bornons ici à indiquer sommairement, et d'y ajouter alors des détails qui en feront mieux saisir la portée.

22. Solides d'égale résistance. — Supposons encore qu'au lieu d'une pièce rectilîgne à section constante, nous ayons une pièce dont l'axe pourrait être soit droit, soit légèrement courbe, et dont la section pourrait varier progressivement et d'une manière lente. Alors on pourra considérer à part chaque por* lion comprise entre deux sections très -voisines, comme un prisme, et en déterminant ses tensions sous l'action de charges transversales, on arriverait aux formules du n''21, dans lesquelles P/i désignerait toujours la somme des moments des forces comprises entre la section considérée et l'extrémité de la pièce. Ainsi, dans le cas d'une pièce homogène et symétrique par rapport au plan des forces, la tension longitudinale

serait exprimée généralement par -^* D'un point à l'autre

d'une même section, cette quantité varie et devient maximum en même temps que u ; d'une section à l'autre ce maximum peut en général varier avec PA, I et le maximum de u. Quand il est constant dans toutes les sections, on dit que la pièce ou le soHde est d'égale résistance.

Montrons par quelques exemples comment celte condition concourt à déterminer la forme de la pièce. Soit une pièce à section rectangulaire de dimensions 6 et c, encastrée à une extrémité et supportant à l'autre un poids unique F, dont x désignera la distance à une section quelconque. I sera ici égal à

— Ac?* (n® 6), la valeur maximum de u sera*-c, et l'expression

-y- aura pour maximum dans chaque section -r-^* Ainsi 1 on devra satisfaire à la condition

-r-r = constante.

Celte équation entre trois variables x, b, c ne suffit pas pour

48 CHAPITRE PKKHISE.

fixer tout à fait la forme de la pièce, car on pourrait se donner 6 ou c en fonction de x et en conclure l'autre également en fonction de a?. Si, par exemple, le solide a toujours la même épaisseur mesurée perpendiculairement au plan passant par P

et la flbre moyenne, h étant constant, - le sera aussi, et par

conséquent dans ce plan le profil de la pièce serait une parabole, c'esl-à-dire que les hauteurs c des sections successives croîtraient comme les ordonnées d'une parabole du second degré , dont le sommet serait sur la force P. Ce résultat est d'ailleurs subordonné à ce que Ton néglige les actions dues au glissement, ce qui permet de réduire à zéro la valeur de c près du point d'application de 'la force P : en pratique cette réduction ne pourrait pas avoir lieu, et il faudrait renforcer le solide aux environs du point dont il s'agit.

Si la charge, au lieu d'être unique, était uniformément répartie suivant la longueur, p étant sa valeur par mètre courant, le

moment PA serait -px"^. Il faudrait donc poser -r-r= constante,

et dans le cas de b constant, - serait une constante, c'est-à-

dire que la parabole serait remplacée par une ligne droite.

En revenant au cas de la charge unique, si, au lieu de sup-

poser h constant, on prenait ? constant et égal à un nombre donné K, on aurait