MAXIMA
Dans le cercle.
Daos le re(
itang
On voit que si n s'écarte de o, c'est-à-dire que si la force n'est pas appliquée très-près du centre de gravité des sections transversales, le cercle est de plus en plus désavantageux relativement au rectangle; mais cette conclusion est naturellement subordonnée aux conditions admises dans l'énoncé du problème, savoir l'homogénéité des surfaces et la situation du centre des tensions sur l'une des lignes médianes du rectangle.
3® Ellipse pleine homogène, — Considérons l'ellipse pleine et homogène MLGPI (Jîg. Il) soumise à une force appliquée en H. Nous n'avons rien de particulier à dire sur le cas où ce point serait à Fintérieur du noyau central, et nous renverrons aux considérations générales du n** S26. Supposons donc cette condition non remplie : alors l'axe neutre MP divi'> sera la surface en deux segments, dont un seul, celui où se trouve le centre des tensions, subira l'action de la force. Pour rentrer dans les cas d'application des formules données au § IV, il suffît de trouver la ligne MP; et, cela fait, les pressions se détermineront conmie si le segment MIP n'existait pas (n° 27). On a vu au n** 27 que H devait être le centre de percussion du segment MLP, relatif à l'axe MP ; d'un autre côté, on sait (n° 9) que le centre de percussion d'un segment d'ellipse j
GfiNÉRALITÉS; PRINCIPES FONDAMENTAUX, ETC. 67
relativement à sa corde, se trouve sur le diamètre conjugué à cette corde : donc, en menant une corde conjuguée du diamètre OH, on aura la direction de la ligne inconnue MP. On pourra donc achever de déterminer cette ligne par un tâtonnement simple , car on sait trouver le centre de percussion d'un segment d'ellipse relativement à sa corde ; il n'y aura qu'à faire varier cette corde, dont la direction est connue, jusqu'à ce que le centre de percussion du segment MLP soit précisément le point donné H; on sera dispensé de faire varier sa direction.
Voici encore, pour trouver la position de MP, l'indication d'un procédé qui, au fond, n'est autre chose que l'application des tâtonnements dont nous venons de parler. Imaginons que, après avoir trouvé MP, on transforme l'ellipse en cercle, comme nous l'avons fait au n° 9, pour trouver le centre de percussion du segment MLP. H', 0' et L' étant les points
transformés qui répondent à H, 0 et L, « le rapport -==- et f l'angle
PO'L', on aura n en fonction de y (n° 9). Or /z est aussi égal au rapport
connu T=^ ; donc on pourra , par tâtonnement , calculer <p. Alors on
connaîtra ^-=-r.- > c'est-à-dire -r^ ? et, par suite, Q sera connu. O'L' OL ^
4** Rectangle tiomogene pressé par une force agissant en dehors des axes de symétrie. — Le cas où la force agit à l'intérieur du noyau central ne présentant rien de particulier,, nous admettrons tout de suite que le centré des tensions est en dehors de cette partie du rectangle ou tout au moins sur son contour. La détermination de l'axe neutre peut alors devenir très-complexe, car elle exigerait, en général, la solution d'équations de degré supérieur; mais elle est encore très-simple dans divers cas particuliers que nous allons examiner.
D'abord, si le centre des tensions se trouve sur le contour même du noyau central, l'axe neutre passant alors par un sommet du rectangle (n° 25), il est clair que le sommet opposé sera le point le plus éloigné de cet axe, et qu'il en sera à une distance double de celle du centre de la surface. Donc la pression maximum est, dans ce cas, double de la pression moyenne ( n° 23 ) (* ) .
Supposons encore que le point H", où est appliquée la résultante des pressions [Jig, a-i), se trouve dans un rectangle A'BG'D', dont les côtés BA', W seraient respectivement le quart de BA et de BD. Pour
( * ) Cette propriété s'étend facilement à toutes les surfaces homogènes douées d'un centre géométrique ( point qui divise en deux parties égales toutes les cordes que Ton y fait passer ).
Fîg. a3.
68 GBAPITEE PBEMIBR.
avoir la ligne tellement placée, que le segment qu'elle intercepte dans le rectangle ait H" pour centre de percussion relativement à cette ligne, on prolongera BH" jusqu'à la rencontre de la médiane MP en Z; enjoindra DZ; puis ayant pris BZ' = aSîF, on mènera par le point Z' une parallèle à DZ. Cette parallèle sera la ligne cherchée, et Ton n*aura plus qu'à déterminer la répartition de la force sur là surface complètement pressée du triangle homogène qu'elle forme avec BA et BD (n** 27). En effet, nous avons montré/au n® 9 que le centre de percussion d'un triangle homogène, relativement à sa base, est au milieu de la ligne jqignant le milieu de cette base avec le sommet opposé; or, d'après la construction précédente, H" satisfait évidemment à la condition dont il s'agit. Il est un cas où la solution du problème dépend d'une équation du
second degré : c'est celui dans lequel la portion pressée de la base ABCD {fi^. aS) est un trapèze QRDB, ce qui arrivera quand le centre des tensions H satisfera à une condition que nous allons fixer tout à l'heure. On a vu, en effet (n° 9), que le trapèze QRDB aurait pour centre de percussion relatif à l'axe de rotation QR le point H déterminé de la manière suivante. Il faudrait joindre le point de rencontre S des lignes QR, BD,
avec le point U pris sur BQ de sorte que BU = - BQ ; puis , posant BD = A et BS = mh^ on aurait, pour la distance z de H à BQ, h 6m^— 8/714-3
quantité variable entre 7 et -• Or, dans le problème actuel, H est un
point donné, car c'est celui où l'on suppose que passe la pression résultante supportée par ÂBCD ; par suite on connaît 2, et l'équation précédente, du second degré en /w, permet de trouver cette quantité et de connaître ainsi le point S. S étant connu, on joint SH et l'on prolonge cette ligne jusqu'en U; on prend ^ = 3BD , on joint SQ et l'on a ainsi Vaxe neutre cherché.
Maintenant, il s'agit d'établir à quelle condition la surface réellement
pressée sera un trapèze. Pour cela remarquons d'abord que le rapport ^
ne dépend que de m , de sorte que si l'on imagine diverses lignes analo-
GÉNÉRàUTÉS; PKINGIPBS FOHDAMERTAUX, BTG* 6g
gaes à SQ partant du point S, les points H correspondants seront sur une parallèle HH' à AB. Lorsque SQ atteindra la position SA , H viendra en une position a, et il est clair que le centre de pression pourra se trouver en tel point qu'on voudra sur a H', entre a et H\ sans que la portion de ABCD réellement pressée cesse d'être un trapèze. En faisant descendre le point S depuis la position D^ sur le prolongement de BD^ on obtiendra pareillement une série d'horizontales telles que aH\ toutes situées entre CD' et FM. De même, lorsque S montera sur DE prolongé à partir de B, ou obtiendra les horizontales symétriques» entre A'B* et FM. Ainsi la figure mixtiligne C't'A'B'D" forme une aire dans laquelle peut être situé le point 9 pour donner lieu à une surface d'appui trapèze. En faisant varier S sur Tun des trois autres côtés du rectangle, on trouverait une autre figure mixtiligne adjacente à ce cété.
On peut aisément, d'après les explications qui viennent d'être données, trouver l'équation de l'une quelconque des huit branches de courbe, telle que C'F ou FA': cherchons, par exemple, celle de G' F, en choisissant pour axes des coordonnées les lignes G'x, G'/, menées par le point G' parallèlement aux côtés du rectangle. Si nous posons AB = /, le point a doit d'abord être sur une ligne droite joignant le point S et un point pris
sur AB, à la distance ^ du sommet B; cette droite a pour équation
. h 3mh [ I A
Ensuite, la distance/ + 7 de a à la base AB a une valeur connue
■^■^4'" 4* 3m'— 3m-hi'
Éliminant m entre ces deux relations, nous avons l'équation de la courbe
/* '^xy^ ^x^X xy '^a^ x
Cette équation montre : 1° que le point F et les trois analogues E, G, K sont les quatre sommets du noyau central de ABCD, car pour / = - A, on a X = -i- /; a** que G'F se raccorde tangentiellement en G' et F avec les
lignes droites C'y et FG, car pour a: = oetx = — /on trouve respectivement
dy ^ dy h
^=00 et £ = p
70 CBâPITRB. PRBHIBB.
3"* que C est un point d'inflexion , car il est aisé de vérifier que la dérivée -T-j- est nulle pour x = o. Des raccordements et inflexions analogues
ont lieu pour les sept autres branches de courbe.
En résumé, si le centre de pression se trouve placé dans l'un des quatre petits rectangles tels que A"BC'D'', la surface d'appui sera un triangle; s'il se trouve dans un des quatre pentagones mixtilignes tel8queC'FA'B''D'', la surface d'appui sera un trapèze; enfin , cette surface sera le rectangle tout entier quand le centre de pression tombera dans le noyau central, et un pentagone, s'il tombe dans un des triangles mixtingnes tels que C'FE. Ce dernier cas est le seul qui exigerait la solution d'équations d'un degré supérieur pour trouver la position de l'axe neutre.
Il est encore intéressant de savoir quelle fraction de l'aire totale du rectangle occupent les quatre triangles mixtilignes tels que G'F£ : nous y arriverons en cherchant d'abord Taire C'FP. On a
aireC'FP= j xdj.
ou bien, en posant ^' = t? ^'' = ^ »
aire C'FP = A
-Ih f'x'fiy.
4 Jo
Or, Téquation de la courbe, transformée en x' et y ', devient
d'où l'on tire
il s'agit donc de calculer
k = jlhf'x'dy
En premier lieu on aura
= |^»^^'31oghyp(a-r');
GÉNiBALITÉS; FtIKGIPBS POnDAMBIlTAUZ , BTC. 71
donc
Maintenant on remarquera que
- 3y* + ioj''4- S/'-h I = (7'4- i)M- 3r"+ 6/'+ i); on doit donc déterminer l'intégrale
Jo ^ ^
À cet effet nous prendrons une variable auxiliaire a liée à /' par Téquation
3(1-77= 4sin»a; réiimînation dejr' donne alors
'^v/î — sina , 8 r^\/3 — sino
v5Jo V^+asina /3Jo /3 + asina
s' /*^sin'a — y/Ssin'a — sina4- y/B , asina-l-v/3
v/3X \a 4 » » 2 8ina4-v/3/
On écrirait immédiatement la valeur de B, si Ton connaissait l'intégrale
///a ' Or on la ramène aux fractions rationnelles en posant asina + /3
tang-a = a, ce qui donne
/fia r idu r is/ldu
2Sina + /3~J ^u-\-}/Z[l-^-lâ)~ j 3i*»+4av/34-3
, , wv/3-4-ï .
= log hyp -^ h const.
* ^*^tt/34-3
= log hyp "^^"L' 4- const.
72 CHAPITRE PRBmnft.
Enfin^ si Ton rétablit tang-a à la place de u^ qu'on remplace V3 par
tang^9 et qu'on multiplie par cos^ cos-a les deux termes de la frac-
tti/3-4-i tion ~!^ — - î on trouve
Donc
/ p=loghyp — 7 r-v"*"
cosi
const.
8 /r r 1^3 — sina , , ^ , . . ^ . ^
^V3 / -7= C0S'a^a = -7^(a— smaC0Sa)4-6C08a4- --a
^ J v^4-2sina /^^ ^
Cos(l^ia)
