loghyp ^^ ^ -j- const

sin(^54.-a]

et par suite l'intégrale définie B a pour valeur

B = -^-Z-h31oghyp-.

Donc l'intégrale définie qui entre comme facteur dans A est égale à B — Z + 3ioghypa = -^— 7 H- 3 loghyp 3 = 0,5280,

d'où résulte

A = -rr • 0,5280 . //* = o,oo55oo//i.

L'aire G'FP étant connue, on en conclut l'aire totale des huit triangles mixtilignes analogues, laquelle est 0,0/Ho Ih; puis, comme le noyau central occupe une aire égale à 4 • g • — ou à o,o556 Ih^ on en déduit, pour la surface totale des quatre triangles tels que GTE, l'expression

Ainsi donc la portion du rectangle où doit se trouver le centre des tensions pour que la surface d'appui devienne pentagonale n'occupe guère que la septième partie de la surface Ih de ce rectangle.

Enfin nous indiquerons une solution approximative pour le cas où le centre de pression serait sur l'une des diagonales du rectangle, en H"' par

GÉNiRÀLITÉS ;. PRINCIPES FONDAMENTAUX, ETC. 78

exemple (fig, 22), dans la partie à laquelle répond une surface d'appui pentagonale. Soit VI Taxe neutre cherché ; il faut que H''' soit le centre de percussion du rectangle tronqué VIABD tournant autour de VI. Or si Ton attribuait à cette ligne une position quelconque parallèle à AD, entre AD et la parallèle passant par le sommet C , le centre de percussion correspondant serait nécessairement sur la ligne BG, qui forme avec AD un système de diamètres conjugués de la surface rectangulaire {n° 8); pour Taxe neutre AD, on aurait la surface d'appui triangulaire ADB et le centre de percussion C'(n°9); pour Taxe parallèle passant en C, la surface d'appui deviendrait le rectangle entier et le centre de percussion passerait au point où BO coupe la ligne EF du noyau central. Donc VI, auquel répond le centre de pression intermédiaire H'", est une parallèle à AD, passant entre 0 et C. Pour achever de déterminer sa position, nommons :

BD

m le rapport =■? rapport dont la connaissance suffirait pour définir

le point U, et, par conséquent, la ligne cherchée VI; k le rapport -^=r- ;

BÎT"

r le rapport donné -=- • *^^ BO

On sait (n^ 8) que H"' est, en projection sur le plan de la figure, le centre de gravité d'un solide projeté sur VIABD et terminé à un plan passant par VI; or ce solide peut être considéré comme la différence entre le tétraèdre projeté sur XBY et deux tétraèdres semblables, égaux entre eux, qui se projettent sur les triangles XAI, VDY. Ces tétraèdres sont dans le rapport des cubes des dimensions homologues; le premier

étant représenté par BD , chacun des deux autres le serait par OU ; ou bien encore, le premier étant /w*, les autres auraient pour valeur commune (m — 1)^ Le centre de gravité du premier se projette au milieu de BU (n*" 9) ; sa distance à XY, comptée parallèlemient à la diagonale BG,

serait donc-/w.BÔ. De même les centres de gravité des deux autres

seraient à la distance -{/w — i).BO, comptée suivant la môme direction.

Donc, si l'on applique le théorème des moments relativement à VI, on aura

X [w^- i[m "- i)»] = /«> . im - i(m - {)» . i (,« - i),

ou bien

74 CHAmiE PRSXIBA.

d'ail]ear8it=iii— r; par conséqnenl, r étant conim, m denait se dédoire de l'équation

(/H - r)[/ii»- a{iii - i)'] = i[iii*~ 2(m- i/J.

Celte équation complète dn quatrième degré se résout par approximation, en remarquant qu'on a, sans erreur sensible ,

tant que m est compris entre i et 2. C'est ce que montre le tableau suivant, où A désigne le premier membre de l'égalité précédente et B le second :

m de m.

Valeurs de A.

Valeurs de B.

Diflërence.

Errear relatÎTe.

i,ioi5

i,io33

o,oo4o

o,oo33

i,33oo

o,oo36

o,oo3o

i,58oo

o,oo33

o,ooo5

2,oi3o

2,oi33

o,ooo3

Pour mieux établir encore le fait en question, nous prendrons l'expres-

B sion algébrique de l'erreur relative e ou i — -jj ce sera

£ ( I + ffl 4- ffl' ) [ w^ ~ a ( iw — 1 )^] ^"~' 3' m*^^(m-iY

m*— 8m*-|-a5/yi^ — 38/yi'4-a8m — 8 ~ 3(— /w*4-8/w^ — 12/71'4-8/w — 2)

^i (/yi-i)'(/w-2)»

Cette quantité, nulle aux deux limites /it = i, m = 2, passe par un maximum dans leur intervalle ; on l'obtient en posant Téquation ^ = o.

généralités; principes fondamentaux, etc. 75

soit, après suppression du facteur (m — i) (im — 2)*,

771*— II /w* 4-12/71^4- 4/w' — 6/w + 2 = 0,

d'où l'on tire par tâtonnement

Par suite, le maximum de e, peu différent de l'erreur qu'on trouve dans le tableau, en regard de m = i,3, est 6 = o,oo365.

Comme le point U se trouve nécessairement entre 0 et C et que m ne varie que de i à 2, nous pouvons en conséquence écrire l'équation approximative

qui donne

Pour le point C, on a r = -, et, par suite, w = i; pour le point com-

mun de OB et EF, on a /• = ^ et /w = 2 ; ces deux valeurs de m répondant aux deux limites de r sont rigoureusement exactes. Dans l'intervalle, il y aura une erreur, toujours très-petite , comme on peut en juger par le tableau précédent. Cette erreur, insignifiante au point de vue pratique, aurait pu encore être réduite en posant

et choisissant les constantes a, |^, 7 de la manière la plus convenable.; mais on serait ainsi tombé dans l'inconvénient d'introduire des coefficients plus compliqués dans les formules.

Il reste encore à exprimer la pression maximum /?, en fonction du nombre /w, maintenant connu. A cet effet, nommons ci la surface du rectangle, £i' celle du pentagone VIABD, N la pression totale, x la distance oblique, mesurée suivant BU, entre le centre de gravité de VIABD et l'axe neutre VI. La pression moyenne sur le pentagone d'appui a lieu en son centre de gravité, et la pression maximum en B, point le plus éloigné de l'axe neutre. Les pressions variant comme les distances à cet axe, on pourra écrire

U' x ii'x

76 ghàpit&s premier.

n'x, moment de YIABD par rapport à VI, est égal au moment de BXY, moins deux fois celui de XAI ; d'autre part, ces deux triangles sont semblables au triangle BAD = - il, et ont pour surfaces -a /»', -n ( m — i)' : on a donc

a'x = ia/w* . imBO — 2 . in(/w - i)». i (m — i) BÔ

Par suite,

= ga.B0[m^-2(/w~i)»].

quantité qui varie <i® "TT ^ "ÏT ^^^^ "^ P®^^® de a à i.

§ VI. — Extensions des théories précédentes à des corps non rigonreosement prismatiques.

30. Forme d'une pièce droite ou courbe dans son état pri^ mitif. Fibre moyenne. Fibre élémentaire, — Il faut d'abord définir d'une manière précise la forme des corps dont nous avons à nous occuper, alors qu'ils sont dans leur état primitif ^ c'est-à-dire dans un état idéal et purement abstrait où aucune force, pas même la pesanteur, n'agirait sur eux, en sorte que la tension des fibres serait nulle dans toutes les parties. Pour cela, prenons une ligne AB quelconque [fig. 24) supposée

sans jarrets ni points multiples, et n'ayant dans son étendue qu'une faible torsion qui ne la fait pas beaucoup différer d'une courbe plane; imaginons la série de ses plans normaux et traçons dans chacun d'eux une aire assujettie aux conditions suivantes : I" d'avoir son centre d'élasticité sur la courbe AB; 2*> d'avoir, parallèlement au plan osculateur de AB, des dimensions petites en comparaison du rayon d-e courbure de cette courbe ; 3" de varier dans sa forme d'une manière continue et

GÉntRALITÉS; PRINaPSS FORDAUBlfTAUX, BTC. 77

lente, en sorte que si Ton passe du plan normal CD a un pian normal C^D'' assez distant du premier pour que MM^ soit une fraction notable de la longueur AB, les aires tracées dans ces deux plans soient assez peu différentes et se trouvent placées à peu près de la même manière relativement aux plans osculateurs en M et M"^. Le solide ainsi engendré, s'il est matérialisé et soustrait à toute force, constituera une pièce droite ou courbe dans son état primitif.

La courbe A6 recevra le nom Aq fibre moyenne de la pièce, par analogie avec la définition, donnée au n® 16, de la fibre moyenne d'un prisme. De même, nous appellerons yïfrre élé^ mentaîre le volume engendré par un élément superficiel de Taire mobile, pendant^ une fraction infiniment petite de son parcours.

31. Conséquence de la définition d'une pièce. — Ainsi qu'on vient de le voir, dans la définition que nous avons donnée d'une pièce, nous n'avons pas exclu le cas d'une fibre moyenne à double courbure, ni celui des changements d'étendue et de figure de la section transversale, ni enfin le cas d'un arc engendré par une aire qui pendant son mouvement le long de la ligne directrice ne tournerait pas simplement autour d'axes perpendiculaires aux plans osculateurs successifs, mais encore autour des tangentes à la courbe AB, de manière à constituer une espèce de solide tordu. Toutefois ces divers écarts devront être renfermés dans de justes limites et ne pas s'opérer avec rapidité. Lorsque cette condition sera remplie, la partie de la pièce comprise entre deux sections infiniment voisines, normales à la fibre moyenne, pourra évidemment être considérée comme très-peu différente d'un prisme droit. De plus, toutes les arêtes de ce prisme auront sensiblement même longueur, car la plus grande dimension de sa base, mesurée parallèlement au plan osculateur de la fibre moyenne, est petite par rapport au rayon de courbure (n^'dO): hypothèse d'où il résulte que la différence entre la plus longue et la plus courte arête du prisme dont il s'agit est elle-même une petite fraction de l'élément de fibre moyenne compris entre les deux sections normales qui le terminent.

^8 GBAPITBB PBEVIEB.

32. Détermination de la tension en un point quelconque de la pièce, quand toutes les forces extérieures sont connues. — Comme on peut le pressentir d'après les considérations présentées au n*' 31, ce problème se ramène sans difficulté à celui qui a été résolu dans les §§ III, IV et V. Considérons en effet la portion de la pièce comprise entre deux plans normaux CD, CD' {Jig, 24) très-voisins Tun de l'autre, mais d'ailleurs quelconques ; elle peut être assimilée à un prisme droit dont toutes les fibres élémentaires auraient la longueur MM' (n° 31). Ce prisme reste en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées, et des réactions qu'il reçoit dans les plans CD, CD', de la part des molécules voisines de ces plans; or les réactions qui s'exercent en CD' constituent nécessairement un système de forces équivalent aux forces extérieures appliquées entre CD' et l'extrémité B, puisque la partie M'B reste aussi en équilibre; il en résulte que le prisme CDCD' éprouve, dans sa base CD, des actions moléculaires capables de faire équilibre à toutes les forces extérieures qui sollicitent la pièce entre le point M et l'extrémité B. On pourra donc appliquer, pour trouver l'intensité et la nature de ces actions, la méthode développée aux §§ III, IV et V, pourvu que la nature particulière de la question ne rende pas inadmissibles les hypothèses sur lesquelles elle est fondée.

33. Observation sur V étendue de la déformation. — A la vérité, pour appliquer cette méthode, il faut avoir à sa disposition les quantités que nous avons désignées d'une manière générale par N, P, V, X, au § III ; il semble donc que l'on devrait connaître la figure d'équilibre affectée par la pièce dans son état définitif, après la déformation, tandis qu'on ne connaît ordinairement que la figure dans l'état primitif. Mais, dans toutes les constructions jouissant d'une certaine stabilité, ces deux figures sont généralement très-peu différentes l'une de l'autre. En effet, des forces suffisantes pour altérer, par leur action permanente, l'élasticité de la matière, ne produisent encore que des allongements ou raccourcissements trèsfaibles ; et il en est de même des variations de la température atmosphérique. Par exemple, s'il s'agit du fer, on sait que,

GÉNtBALITÉS; PftlNClPES FOIIBAKENTAUX, ETé. 79

SOUS une traction de 20 kilogrammes par millimètre carré, un prisme de fer rfe s'allonge que de 0,00 1 de sa longueur primitive, et il est bien rare que dans les constructions on atteigne celte limite. De même, une variation de température de 3o degrés, relativement à la température initiale, ne produirait qu'une dilatation ou contraction de o",ooo366 par mètre de longueur. Pour d'autres matières que le fer, les chiffres changeraient, mais les conclusions resteraient les mêmes. Par conséquent, chaque fibre élémentaire variant très-peu en longueur, il est assez naturel d'admettre que la pièce elle-même ne se déformera pas beaucoup.

Toutefois, nous ne chercherons pas à dissimuler que ce raisonnement n'est pas entièrement rigoureux. Si l'on considère une pièce très-grande, de petits changements de longueur de toutes les fibres élémentaires peuvent, en s'accumulant, produire des effets sensibles sur la forme générale du corps. Mais alors, pour ne pas nous engager dans des calculs que personne n'a tentés jusqu'à présent, nous serons forcé de comprendre le fait dont il s'agit parmi les données et hypothèses de la question ; le raisonnement que nous avons fait aura du moins pour résultat de montrer que cette hypothèse est plausible et qu'elle doit en effet se vérifier dans la plupart des cas. En conséquence, nous admettons que la pièce déformée diffère infiniment peu, quant aux dimensions et à la position, de ce qu'elle était dans son état primitif. Dès lors, il n'y aura aucune difficulté pour calculer ou construire géométriquement les données à introduire dans la théorie des §§ III, IV et V, au moyen de laquelle on déterminera les tensions dans la section CD ; c'est ce que nous allons montrer pour un cas particulier.

34. Usage de la courbe des pressions pour avoir la tension d'un élément quelconque défibre. — On suppose que la fibre moyenne, indépendamment des conditions énoncées au n° 30, satisfasse encore à celle d'être dans un même plan, et, en second lieu, que les forces extérieures appliquées à une portion quelconque de la pièce, entre deux sections normales arbitraires, puissent être réduites à une force unique agissant

8o < CHAPITRE PRBHIBE.

dans ce plan. Si l'on considère dans une telle pièce une seclion normale quelconque CsD^iJig* 25),on a vu tout à Theure

Fig. a5.

que les actions moléculaires développées dans cette section doivent faire équilibre aux forces extérieures qui agissent entre le point M, et l'extrémité M«, c'est-à*dire à la résultante de ces forces. Pour appliquer immédiatement la théorie des §§ III, IV et V, tout se réduit à trouver cette résultante : c'est à quoi Ton parviendra facilement en procédant comme il suit.

Après avoir partagé la fibre moyenne MoM» (Jig. 25) en intervalles égaux ou inégaux MoMi, MiMi, MsMs, etc., auxquels correspondent les sections normales G«D«, CiDi, CaD,, C3D3, etc., supposons qu'on ait pu facilement réduire à une seule force toutes celles qui agissent entre deux sections consécutives, et qu'on ait obtenu de cette manière les forces F„ F„ Fs, F4, etc.; supposons de plus que dans la section extrême CaDo (mais non pas nécessairement au centre d'élasticité Mo) agisse la force Ro. On mènera par un point 0 arbitraire la ligne 0R« parallèle et proportionnelle à la force Ro, et dans le même sens ; par le point R« on mènera RoRt parallèle à la force F„ et l'on prendra la longueur R«R, proportionnelle à celte force et de même sens. On continuera de la même manière à construire le polygone RoRiRsRs* . . , dont les côtés successifs représentent en intensité, en direction, en sens et aussi dans leur ordre, les forces F„ Fa, F*, etc. Les propriétés bien connues du polygone des forces montrent

GfiNtBALITtS; PEIKGIPBS PONDAMBlVTAUXy BTC. 8l

immédiatement que les lignes ORt, 0K„ 0K„ etc., représentent à la même échelle, en intensité, direction et sens, les forces totales qui agissent respectivement sur les sections C.D., C,Di, C,D„ etc.

Il est*nécessaire d'avoir non-seulement chaque résultante en grandeur, direction et sens, mais d'avoir aussi sa position réelle dans le plan. Or rien n'est plus facile, quand la construction précédente est effectuée. Par le point K«, où la première résultante R« coupe la première force Fi , on mènera K«Ki parallèlement à ORt; cette ligne K«Ki coïncidera avec la position véritable de la seconde résultante ORi , car cette résultante doit passer par le point de rencontre de R» et de F|. De même, par le point K,, où la résultante dirigée suivant K«Ki coupe la seconde force Fs, on mènera KiKs parallèle à OR3, jusqu'à la rencontre de F.; puis par Es, la parallèle KsKs à OR3, et ainsi de suite. Les différents côtés du polygone ainsi formé ne seront autre chose que les résultantes successives, rétablies dans leur position véritable; et puisque Ton en connaît la grandeur et le sens, elles seront entièrement connues.

On déduira donc aisément de là le centre des tensions dans une section quelconque. En effet, ce point est l'intersection de la résultante qui correspond à la section dont il s'agit, avec le plan de cette section; ainsi, pour la section C4D« on aura le centre H4 déterminé par la rencontre de la résultante R4, dirigée suivant K^Kf avec la trace C4D4 du plan de la section sur le plan de la ûbre moyenne, qui est en même temps celui de la flgure. On aurait d'une manière semblable les autres centres de tensions M«, Hi, Hs, Hs, etc., dont le lieu géométrique constitue ce qu'on appelle communément la courbe des pressions. Il n'est peut-être pas sans utilité de faire remarquer que si les forces F,, F,, F,, etc., ne provenaient pas d'une charge répartie d'une manière continue sur la longueur de la pièce, et si dans une section, telle que CsDs par exemple, agissait une force finie qui ne se subdivisât pas en une infinité de forces élémentaires distribuées sur une certaine étendue à droite et à gauche de C3D2, alors la courbe des pressions présenterait une discontinuité. On aurait d'abord une première branche, telle que M«H|Hs; puis la dernière résultante se