I. 2^ £dit

82 CHAPITRE PREUtlSR.

combinant avec la force isolée qui agit en un point de CjD,, le centre des tensions passerait brusquement de H» en un autre point H,, d*où partirait une seconde branche de courbe continue, allant jusqu'à une autre section dans laquelle une nouvelle force finie produirait une nouvelle discontinuité.

11 est clair qu'on pourrait remplacer les constructions géométriques par un calcul algébrique. Pour avoir la résultante Rs, par exemple, il suffirait de projeter sur deux axes rectangulaires, pris dans le plan de la figure, toutes les forces agissant entre M3 et M,, et de faire la somme algébrique des projections sur chaque axe. Cela ferait connaître l'intensité, la direction et le sens de la force R». Pour avoir sa position, il suffirait de calculer en outre la somme algébrique des moments des mêmes forces par rapport au point M3.

Quand on aura, par Tune ou Tautre méthode, trouvé ces diverses résultantes, pour faire le calcul des tensions dans une section quelconque, telle que C3D3, par exemple, on projettera R3 sur la tangente en M3 , et sur la normale au même point. Cela donnerait, pour la section dont il s'agif, les quantités désignées par N et P au § III; V serait nul, et X égal au moment de R3 relativement à M». On verra plus loin des exemples de ces calculs.

35. Restrictions que doit éprouver la théorie générale dans certains cas exceptionnels, — Il y a des cas dans lesquels les hypothèses énoncées au n** 20, sur lesquelles repose toute la théorie des §§ III, IV et V, sont à priori entièrement dénuées de vraisemblance. Par exemple, si une colonne mince en métal, supportant un poids à sa partie supérieure, s'appuie sur un large socle en pierre, on pourrait, par les formules que nous avons données, déterminer la pression en chaque point d'une section quelconque de la colonne; mais il ne conviendrait pas de les appliquer à la recherche des pressions sur la surface supérieure du socle. On comprend, en effet, que, par l'effet de la déformation, cette surface ne doit pas rester plane, comme nous l'avons supposé, mais qu'il doit se produire une certaine dépression aux environs des points qui reçoivent directement l'action de la colonne. Mais on conçoit aussi que

généralités; p&uigipes fondàhentaux, btg. 83

cet effet doit être local, et qu'il doit tendre à s'effacer de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne du point où il se produit. Ainsi, on ne devrait faire usage des formules que pour étudier la manière dont se répartit la pression dans une section du socle, prise à une distance suffisamment grande de la surface supérieure.

En général, une exception analogue aura lieu pour tous les points des pièces prismatiques où seraient directement appliquées des forces considérables; mais, en même temps, on sait que ces points sont ordinairement renforcés par un excédant de matière, dont les constructeurs comprennent parfaitement la nécessité. Par conséquent, il n'y a pas trop à se préoccuper de ce qui se passe dans ces circonstances exceptionnelles, car elles ont peu d'influence sur la résistance générale de la pièce. Nous avons voulu seulement, par les observations qui précèdent, mettre le lecteur en garde contre une extension trop grande qu'il serait peut-être tenté de donner aux formules : il convient toujours de se rappeler les hypothèses fondamentales, et d'examiner, dans chaque appli- <îation, jusqu'à quel point elles sont susceptibles d'être vérifiées, sans quoi l'on s'exposerait à des mécomptes fâcheux, dont la théorie ne devrait pas, équitablement, être rendue responsable.

36. Exemple numérique de la détermination des tensions. — Nous allons montrer par un exemple Tapplication de la marche indiquée à la fin du n" 34. Cet exemple se rapporte à un projet de pont qui avait été fait pour la ville de Brest, par M. Tritschler, architecte. Le pont devait être soutenu par deux arcs en tôle à fibre moyenne circulaire, placés en amont et en aval. L'ensemble de ces deux arcs présentait une section rectangulaire de 3 mètres de hauteur sur une largeur réduite de o",o48 (*); ee nombre, plus petit que la largeur réelle, tient compte, par aperçu, des évidements qui étaient pratiqués dans la tôle. Les arcs présentaient donc une section de 144000 millimètres carrés, que nous regarderons comme homogène, et qui, en conséquence, devait avoir par rapport à l'horizontale du centre de gravité un rayon de gyration égal à 1 / — 3* (n** 6),

{*) Nous n'entendons pas donner très- rigoureusement ici les nombres du projet; il s'agit simplement d'un exemple d'application de la théorie.

Fig. 26.

84 GHAPITBE PREMIER.

soit à - /3. La fibre moyenne était un arc de cercle de 55 mètres de

rayon et 40 mètres de flèche : d*où l'on conclut aisément que la ligne des naissances, ou la corde, avait pour longueur io5"',83.

La charge n'était pas répartie d'une manière tout à fait uniforme. En prenant de part et d'autre de la verticale BG du centre [fig. 26) une longueur horizontale de 20 mètres, la partie AC, ayant ainsi 40 mètres de longueur en projection sur la corde , était chargée à raison de 3 100 kilogrammes par mètre courant projeté, soit en tout de 124 000 kilogrammes. Le surplus de la pièce supportait 1 1 i5o kilogrammes par mètre courant de projection horizontale, en tout 784 000 kilogrammes environ. Ces poids sont censés comprendre le poids propre de l'arc, et on les regarde comme appliqués à la fibre moyenne elle-même. Enfin, des calculs que nous ne pouvons pas encore exposer maintenant ont fait connaître que la réaction de chacun des points d'appui D et E devait, sous les charges indiquées et avec une certaine variation de température, être équivalente aux forces suivantes :

429000 kilogrammes, suivant la verticale, de bas en haut; 214400 kilogrammes, suivant l'horizontale, en allant de chaque naissance vers la verticale du milieu de l'arc.

Considérons une section normale passant au point K, choisi arbitrairement. Appelons :

p le rayon de l'arc;

p le poids par mètre courant projeté, appliqué sur BC ;

p' la quantité analogue pour la partie CE ;

a l'angle BOK;

f le -demi-angle au centre de l'arc , angle qui a pour sinus le rap-