GÈ

port — î BO

y^ X les coordonnées de K par rapport aux axes G^, Gj;

S, Q les composantes verticale et horizontale de la réaction exercée en E par l'appui ;

«, /, b les distances gE, GB, GH ;

N la somme des projections sur la tangente en K des forces qui agissent entre K et E, ces projections étant prises positivement ou négativement, s\iivant qu'elles vont dans le sens de K vers E ou en sens contraire ;

généralités; principes fondamentaux, etc. 85

P la somme des projections des forces sur ]e rayon OK, prises positivement* dans le sens OK;

X la somme des moments des mêmes forces par rapport au point K, calculée en prenant pour sens positif des moments le sens de ceux qui tendent à faire tourner de Gx vers Gj.

Si le point K est d*abord pris entre B et C, on aura :

N = p(b — x) sina -f-/?'(fl — b) sina — Qcosa— Ssina, P = — /?(6 — .r)cosa— /?'(fl — 3)cosa — Qsina + Scosa,

4)u bien

N = (/? —/?') (3 — j:) sina -4- ;?'(« — j:) sina — Qcosa — Ssina, P = — {^--^')(6 — a:)C0Sa— />'(û — x)cosa — Qsina 4-SC08«,

Si la section était située entre C et E, ces expressions changeraient de forme, parce que toute la portion de l'arc entre la section dont il s'agit et l'extrémité E serait chargée du même poids/?' paramètre courant. On voit alors que les valeurs de N, P, X deviennent

N =/>'(« ~ x)sina — Qcosa — Ssina, P = — /?'(a — x)cosa — Qsina + Scosa,

X = - ^p'(a - x)> - Q^ 4- S(fl -- x).

Or on a

x = p8ina, 7"= p(cosa — cosf ), S = pb']-p'(a — b) = /i^^ooo^;

substituant ces valeurs, puis remplaçant les lettres par les valeurs numériques données, nous avons trouvé :

Entre B et C, /^^^'^^ ^^ '^ ^ >>

:^N=-2i4,4cosa-i70,58in»a, û LH^rQpU. ' Y^P = -ai4,4sina-f.i7o,5sinacosa,X^r r sn^,,^,,, ^^^ —j X = — 1 1 ,79 cosa — 4,689 siu'a -h n ,92 ;

86 CHAPITRE PREMIEB.

Entre C et E,

N = — ai4,4cosa-4- iGi.osina — ôiS.asin'a,

lOOO ' ' ' '

P = — ai4,4sina — i6i,ocosa-h6i3,asinacosa,

lOOO 7T 7 7 1

— ^X= — ii,79COSa-|- 8,855 sin a — i6,86sin'a + io,3i.

On possède maintenant tous les éléments nécessaires pour calculer numériquement, au moyen des considérations générales du n° 20 et des formules du n° 23 , les tensions en chaque point d*une section quelconque ; car toutes les forces agissant depuis OK jusqu'à Textrëmité E de la pièce équivalent à la résultante de N et de P, appliquée en K et combinée avec le couple dont le moment est X. D'abord, le couple désigné par V étant ici constamment nul, il n'y a pas de torsion, et l'élasticité transversale n'est mise en jeu dans le plan OK que par la force P, qui donne lieu à un glissement simple. Au glissement répondent des tensions transversales dont la somme absolue égale P, et qui, pour les divers éléments de fibre partant du plan OR, sont simplement proportionnelles à la section &> de ces éléments (n°i5), attendu que la matière de l'arc est supposée homogène. La tension transversale par unité de surface de l'un quelconque des éléments en question égalera donc la force totale P, divisée par la section

p totale n. Ainsi on calculera le quotient -r pour diverses sections de la

pièce, et l'on connaîtra de cette manière les grandeurs successives par lesquelles passent les tensions transversales correspondantes.

Restent les forces N et les couples X , qui produisent l'extension et la flexion simples, et par conséquent les tensions longitudinales. Dans la section OK , en particulier, N et X peuvent être composés et donneront une résultante égale et parallèle à N, contenue également dans le plan de la fibre moyenne, mais appliquée en un point K' de la ligne OK, différent, en général , du centre d'élasticité K. On se trouvera donc ici dans le cas étudié au n° 23, avec cette circonstance particulière que le point d'application de la force totale N est placé sur un axe de symétrie de la section. Cet axe OK étant axe principal d'inertie de la section pour le point K, la flexion, qui s'opère autour de son conjugué (n** 17), aura lieu autour de la perpendiculaire en K au plan de la figure. Si donc on applique la formule (7) du n° 23, u désignera la distance positive ou négative d'un élément w de la section à cette perpendiculaire, et u^ la valeur particulière de u pour le point K'. Il nous suffît, pour être en mesure de faire cette application, de connaître la distance KÏT' = u^ : or X n'est autre chose

généralités; pbingipes fondamentaux, btc. 87

que le moment N.KK' de N relativement au point K, c'est-à-dire qu'on a

ou bien

équation qui fait connaître u^ en valeur absolue. On remarquera d'ailleurs que si X et N ont des valeurs numériques de même signe, le point K' se trouvera entre K et 0, et inversement il serait sur le prolongement de OK si X et N avaient dès signes contraires. Donc on sera en droit de rempla-

cer u^ par :|^> pourvu que les distances u soient comptées positivement

dans le sens KO et négativement en sens contraire.

En définitive , la formule ( 7 ) du n** 23 , qui exprime la tension longitudinale t d'un élément quelconque de fibre daiis la section OE, deviendra

N/ ^ uuA N / Xu\

le facteur E disparaît comme constant dans l'arc entier. Dans une même section, t varie avec u d'une fibre à l'autre ; ses valeurs extrêmes répondront aux valeurs extrêmes de u, qui sont + i,5o pour l'intrados et — 1, 5o pour l'extrados. D'ailleurs, on a, comme on l'a vu,

nous pouvons donc écrire

pour l'extrados... t = — 77 ( i — rp | = — ^ {N — 2 X ) , ^ o,i44\ N y 0,144^ "

pour l'intrados... t = — — ( i 4- ^^ | = -^t7 (N + a X). ^ 0,144 \ N J 0,144^

Uunité de force étant le kilogramme et l'unité de surface le mètre carré, ces formules donneraient des tensions en kilogrammes par mètre carré ; pour les avoir en kilogrammes par millimètre carré, il suffirait de diviser par 10® ou de remplacer 0,1 44 par i44ooo.

Voici le tableau des résultats numériques relatifs à 12 sections :

M - SK

o to

.Bn

^ Oi

JS>.

kS »

Ji«.

tn tn

Jf«

Js^ O

JS>.

vj 00

M JSh

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^ pf

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tn tN9

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t ÇS 2

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GtNfiRALITÉS; PRINCIPES FOlfBAMRNTAUX, ETC. 8g

Comme on le voit, les tensions qui sollicitent les fibres au glissement transversal sont assez faibles comparativement aux tensions longitudinales : la résistance du fer aux unes et aux autres étant à peu près la même , on voit qu'il n'y aurait pas eu dans cet exemple d*erreur bien notable à suivre l'usage assez généralement reçu de négliger les tensions transversales.

Les tensions longitudinales à l'extrados, à l'intrados et sur la fibre moyenne sont représentées graphiquement par la fi^. vj ; les abscisses

Fig. 37.

des courbes sont proportionnelles aux valeurs de a, et les ordonnées sont proportionnelles aux valeurs de ces tensions. «

go CHAPITRE DEUXIÈME.

FORMULES GÉNÉRALES POUR DÉTERMINER LA DÉFORMATION D'uNB PiÈGB DROITE OU COURBE SOUS l'ACTION DE FORCES DONNÉES. — REGHERGHB DES FORCES INCONNUES. -— THÉORÈMES SUR LA COMPOSITION DES EFFETS DUS A DIVERSES CAUSES. — MOUVEMENTS VIBRATOIRES DES PIÈCES ÉLAS- TIQUES.

§ I. — Calcul de la déformation d'une pièce , sous Taction de forces connues.

37. Lemme relatif aux déplacements des différents points d'un système invariable. — On sait que le déplacement élémentaire d'un système invariable peut toujours être obtenu au moyen de trois translations parallèles à trois axes coordonnés et de trois rotations autour des mêmes axes.

Fig. 28. Soient a, b, c les trois transla-

tions respectivement parallèles aux y axes rectangulaires 0^, Oyî, OÇ

i [fig, 2S); m^ ny p les trois rotations

! , autour des mêmes axes. Ces six

^>^ mouvements étant tous infiniment

petits, il s'agit d'avoir l'expression analytique du déplacement d'un point A quelconque du système, en fonction de ses coordonnées ^, yî, Ç.

A cet effet, on remarquera d'abord que le déplacement AA' du point A est la ligne qui forme le polygone obtenu en portant bout à bout les six déplacements composants, chacun avec sa direction propre. Donc la projection de AA' sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections des déplacements dus aux trois translations et aux trois rotations. Cherchons donc la projection du déplacement dû à une rotation, par exemple à n, qui se fait autour de Oy]. Soit

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