FORMULES DE LÀ DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 9I

OM la projection de OA sur le plan des Ç^; la rotation n toute seule, si elle avait Heu de OÇ vers 0^, ferait décrire au point A un petit élément circulaire de rayon OM, perpendiculaire à celte ligne, ayant le sens de M à P, et contenu dans un plan parallèle au plan des Ç^. Sa longueur serait /i.OM, et ses projections auraient pour valeurs, savoir :

sur Taxe des l n.OM.cosMOÇ, ou bien nÇ,

sur Taxe des n o,

sur Taxe des Ç — n.OM.cosMO^, ou bien — /i^.

De la même manière on trouverait les projections des déplacements dus à m et/>, qui sont respectiveipent

pour m o, — mÇ, mm,

pour p — pvi, pi, o.

Réunissant maintenant toutes les projections sur un même axe et nommant AÇ, Ayj, AÇ les variations des coordonnées du point A, on aura Teffet total des six mouvements composants, exprimé par les équations

A^ — a -^n^ — pn, Ayj— b -hpl — mÇ,

AÇ=^ C -f- IW73— 71$.

Pour la généralité de ces formules, il ne faut pas oublier que les translations a, 6, c, aussi bien que les rotations m, /i, /?, doivent prendre le signe -f- ou le signe — , suivant les cas. Les translations sont positives quand elles ont lieu dans le sens positif des axes coordonnés qui leur sont parallèles; une rotation autour de OÇ est positive quand elle amènerait la portion positive de Taxe 0^ sur la portion positive de Taxe Oy); de même le sens positif pour les rotations autour de 0$ sera de Oyj vers OÇ, et pour les rotations autour de On celui de OÇ vers 0^. Cette dernière convention peut encore, eu égard à la disposition de la figure, se remplacer par celle-ci : les composantes de la rotation seront positives ou négatives,

Q2 CHAPITRE DEUXIÈAIE.

suivant que leurs axes représentatifs auront la direction des coordonnées positives ou la direction inverse (*).

38. Réduction du problème qui fait F objet de ce paragraphe à une composition de mouvements, — Soit une pièce dont la fibre moyenne est G. G„ [Jig. 29);. CoD«, C,D,, dD,,.. .,

Fig. 29.

CnD« les sections transversales successives , déterminées par des plans normaux très-voisins les uns des autres. Le volume infiniment petit compris entre deux sections consécutives CD/, C,4.,D/+1 peut être considéré (n* 31) comme un prisme, et Ton connaît le système de forces auxquelles doivent faire équilibre les tensions développées dans les éléments de fibre qui traversent C,D;; ces forces sont toutes celles qui agissent sur la pièce entre C,D; et l'extrémité C„D„. On pourra donc, en procédant comme au n® 20, trouver les deux translations et les deux rotations que C/+1D/4., prend relativement à d-D/.

Cela posé, imaginons que l'on connaisse le mouvement abi^olu pris par une section initiale C«D«. Le mouvement absolu de CiD, se composera du mouvement de C,D, relativement à CoD« (qu'on sait calculer) et du mouvement absolu de C«D«; de même, connaissant le mouvement absolu de CiD„ on passerait à celui de CaDj, et ainsi de suite. On verrait ainsi que pour une section quelconque CD, le mouvement absolu résulte de la composition du mouvement absolu de CoDo avec tous les

(*) Pour nous les axes représentatifs doivent être tracés dans un sens tel, que si Ton place Toeil à leur origine et qu'on regarde dans leur direction, od voie la rotation s'effectuer dans le sens des aiguilles d'une montre.

F0BHULE8 DE LA DÉFO^M ATIOM ; CONSfiQUBNCES. gS

mouvements relatifs des groupes de deux sections infiniment voisines qu'on peut imaginer entre CtD« et CD. Donc le déplacement du point G résultera de la composition des déplacements dus à tous ces mouvements, considérés chacun à part; en projection sur un axe» ce déplacement sera la somme algébrique des projections obtenues en prenant isolément chaque mouvement partiel.

Il est clair maintenant que la méthode du n** 37 sera applicable pour trouver les déplacements de G parallèlement à trois axes coordonnés, dus à chaque mouvement composant, pourvu que chacun de ces mouvements ait subi la décomposltion^que suppose ladite méthode. On conçoit donc sans peine la marche à suivre pour trouver les variations des trois coordonnées de G. Avant de rechercher les formules qui les représentent, nous allons encore exposer quelques observations générales.

39. Construction géométrique approximative de la fibre moyenne déformée. — Si Ton pouvait construire géométriquement les lignes représentatives du mouvement résultant d'une section normale quelconque CD {fig. 29), il serait aisé d'en déduire le déplacement du point G. Or, comme on vient de le voir, le mouvement de CD s'obtient par la composition du mouvement de la section initiale C.D« avec tous les mouvements relatifs des groupes de d^ux sections inliniment voisines entre C«D, et CD. Ces mouvements relatifs, en nombre infini, ne peuvent pas en général être composés rigoureusement par des constructions géométriques. Mais on éludera la difficulté en partageant l'intervalle G. G par des plans normaux suffisamment rapprochés, en nombre fini, et traitant chaque portion de pièce comprise entre deux de ces plans consécutifs comme un élément de longueur infiniment petite. De cette manière, le mouvement de la section CD résulterait de la composition de mouvements en nombre fini, opération susceptible de s'effectuer géométriquement ou par le calcul.

40. Remarque sur la position définitive des sections normales. — On peut se demander si les sections primitivement normales à la fibre moyenne le sont encore arprès la déformation. Pour répondre à cette question, on remplacera d'abord

g4 CHAPITRE DEUXIÈMB.

la fibre moyenne par un polygone infinitésimal G^GiGsGsGi. . . [fig. 3o). Tant que la section C2D,, par exemple, n'aura relativement à la section infiniment voisine CiDi que les mouvements qui constituent rallongement simple , la flexion et la torsion , il est clair que le point G^ se déplacera par rapport à C,D| en restant sur la direction de l'élément G|Ga; donc le plan CiDi restera normal à la courbe après la déformation. Mais s'il existe un effort tranchant P qui fasse glisser CiD, dans son plan, le point Gj décrira un élément de chemin perpendiculairement à G,Gj, et cet élément aura avec G,G, un rapport fini : donc, après que les forces auront produit leur effet, le plan CD, ne sera plus normal à la fibre moyenne.

Nous concluons donc en disant que les sections normales primitives le sont encore dans l'état définitif quand l'effort tranchant est nul ou négligeable.

41. Observation au sujet de V effort tranchant dans une section quelconque. — Dans deux occasions déjà ( n*** 21 et 36 ), quand il était question de déterminer les tensions en un point quelconque d'une pièce, nous avons dit qu'on négligeait habituellement l'effet de la force transversale ou effort tranchant, qui tend à produire un glissement relatif de deux sections voisines, parallèlement à leur plan. L'expérience a généralement consacré cette manière d'opérer, à laquelle nous nous conformerons presque toujours, dans le but de simplifier les applications que nous avons à faire de la théorie. Ainsi nous admettrons comme un fait que, sauf les cas exceptionnels que nous signalerons , les tensions transversales ont peu d'importance dans les pièces que les ingénieurs ont à établir, relativement aux tensions longitudinales; et qu'il en est de même des déformations correspondantes. L'effort tranchant étant désigné par P dans les formules de ce paragraphe, nous y ferons toujours P == o, quand il s'agira d'une application quelconque : si nous n'avons pas tout d'abord supprimé constam-

FORMULES DB LA DtPORMATIOM; C0N8ÉQ0ENCB8. qS

ment les termes affectés du facteur P, notre seul motif a été de ne pas sacrifier, sans une utilité bien manifeste, l'exactitude théorique.

Nous allons maintenant aborder Tétude des formules propres à faire connaître la déformation des pièces droites ou courbes, en commençant par deux cas particuliers dont l'importance est très-grande , en raison de leurs nombreuses applications dans la suite de ce Cours.

42. Déformation d'une pièce droite ; équation différentielle de la fibre moyenne déformée. — Plaçons-nous dans une hypothèse restreinte, en admettant : i" que toutes les forces extérieures sont contenues dans un même plan (A) avec la fibre moyenne primitive; a*» que ce plan divise la pièce en deux parties symétriques, ou tout au moins qu'il coupe chaque section transversale suivant un axe principal d'inertie. Les forces comprises entre une section quelconque et un des bouts de la pièce ont alors un moment nécessairement nul par rapport à la fibre moyenne, et il n'y a pas de couple de torsion V; la tension totale N et l'effort tranchant P étant dans le plan (A) ne produisent que des déplacements parallèles à ce plan; enfin, il en est de même du couple ou moment de flexion X, car sa trace sur le plan de la section étant axe principal d'inertie, la rotation qu'il produit s'opère autour d'une ligne perpendiculaire à celle trace et conséquemmenl au plan (A). Donc le déplacement total d'un point quelconque de la fibre moyenne aura lieu dans ce plan, et par suite la fibre moyenne définitive y sera contenue.

Nous supposerons encore qu'on soit en droit de négliger les déformations dues à l'effort tranchant (n" 41 ); les sections primitivement normales seront donc encore normales à la fibre moyenne définitive (n*'4.0). Elles sont d'ailleurs toutes perpendiculaires au plan (A), et lès angles qu'elles font entre elles sont mesurés par les angles des normales à la fibre moyenne.

Cela posé, au lieu d'effectuer la composition de mouvements dont il a été question plus haut, il vaut mieux employer la méthode suivante qui conduit plus simplement au but. Pre-

96 CHAPITRE DEUXliSXE.

nons pour axe des x la fibre moyenne primitive , et pour axe des j une perpendiculaire tracée dans le plan (A). La section répondant 9u point dont les coordonnées sont a? et j fait un certain angle avec sa direction première ; puisque la section est restée normale, cet angle sera le même que celui fait par la tangente à la fibre moyenne déformée avec Taxe des x^ et

aura pour tangente trigonométrique la dérivée -j— Les déformations étant toujours censées très-faibles (n** 33), cet angle n'a qu'une petite valeur, et l'on peut, sans erreur sensible, le confondre avec sa tangente. Pour la section infiniment voisine, placée à la distance dx de la première , l'angle analogue

dy* d^y* aura pour valeur -~ + -7-^ dx; donc les deux sections, primiti-

d^Y vement parallèles, font maintenant entre elles un angle v^rfar^

qui représente leur rotation relative, c'est-à-dire la flexion. II en résulte un couple de forces moléculaires qui a pour expression (n° 17) le produit du moment d'inflexibilité par l'angle de flexion rapporté à l'unité de longueur, car, dans le cas actuel, la flexion se fait autour d'un axe principal d'inertie, de sorte que l'angle désigné par 5 au n^ 17 est de 90 degrés^ Si donc on nomme, dans une section quelconque:

e le ressort longitudinal ;

r le rayon de gyration relativement à un axe perpendiculaire au plan des forces et passant au centre d'élasticité (axe autour duquel s'opère la flexion);

X le moment fléchissant (n«20);

attendu que les forces élastiques développées dans une section font équilibre aux forces extérieures qui agissent depuis cette section jusqu'à une extrémité, on écrira l'équation

(i) er'^'^-^

dx^

C'est là l'équation différentielle de la fibre moyenne déformée; elle suppose qu'on ait adopté dans le calcul de X un sens positif convenable, car il faut que X soit positif lorsque ,

FOaVULSS DE Lk BfiFOBIIÀTION ; CONSfiQUENCES.

d^v dv

-—-^ Test aussi et que, par suite, ■-~- croît avec a?. Or, dire que

dy*

~- est croissant, c'est dire que les tangentes à la fibre moyenne

s'inclinent de plus en plus sur Taxe des a: ou que la section normale s'incline de plus en plus sur l'axe des y; donc alors la flexion, dont le sens est identique à celui de X, doit consister en une rotation allant de l'axe des a: positifs à l'axe des j positifs; donc, finalement, le moment X doit être pris positivement quand il tend à faire tourner dans le sens de x vers y,

43, Formules de la déformation plane ^ pour une pièce courbe dont la fibre moyenne primitive est dans un même plan avec les forces extérieures. — Nous allons prendre maintenant le cas d'une pièce remplissant, quant aux forces extérieures et à la forme de la section, toutes les conditions imposées à la poutre droite qu'on vient d'étudier (n° 42), mais différant de celle-ci par la fibre moyenne primitive qui, au lieu d'une droite, sera une courbe quelconque située dans le plan (A). Les mêmes raisonnements montreront que la fibre moyenne définitive sera aussi contenue dans ce plan, et l'on connaîtra sa forme si, après avoir pris dans le plan (A) deux axes coordonnés rectangulaires Oo?, Oj [fig. 3i), on peut calculer les

variations A:r„ Aji subies par les coordonnées :ri, j, d'un point quelconque Gi appartenant à la fibre moyenne primitive . Cherchons donc à exprimer ces quantités en continuant à supposer, pour plus de simplicité, qu'on puisse négliger l'influence de l'effort tranchant.

Soient Go GG,G„ la fibre moyenne, CD, une section quelconque, CD une autre section quelconque entre l'origine CoD, de la pièce et CiD,. Désignons par :

•^0, jo, ^,7, ^i,7i les coordonnées des points G«, G, G,;

L a« ÉDIT. ^

5, *,, les longueurs GoG elGoG,;

e le ressort longitudinal de la section CD (n° 14);

rson rayon de gyration relativement à un axe perpendiculaire au plan de la figure et projeté en G;

N la tension totale dans la section CD, c'est-à-dire la somme des forces extérieures appliquées à la portion GG„ de la pièce, ces forces étant prises en projection sur la tangente en G à la fibre moyenne, et le sens positif étant celui qui s'éloigne deTorigine Goj

Xle moment fléchissant pour la même section, ou la somme des moments relativement à G, des forces qui agissent sur la portion GG„ (le sens positif sera celui d'un moment qui tendrait à faire tourner dans le sens de Ox vers 0 j).

Ainsi qu'on l'a reconnu au n® 42, et par la même raison, la flexion s'opère ici autour d'une série d'axes perpendiculaires au plan de la figure; la section CD, par exemple, va tourner

d'un angle infiniment petit — - (n* 20) autour de Taxe G, par

rapport à une section infiniment voisine qui la précède^ à une distance d$ mesurée sur la fibre moyenne. En outre,

elle prendra une translation ou extension simple > par

l'effet de la force N (n*» 20); et ce sera là tout le mouvement relatif de ces deux sections, puisque le couple de torsion est nul et qu'on néglige la déformation due à l'efforl tranchant. Le déplacement total du point Gi est produit par le mouvement de C«D« combiné avec toutes ces translations

et ces rotations — - en nombre infini (n°38); il faut donc

prendre les variations de Xi et j, dues séparément à chacun des mouvements composants, et en faire la somme algébrique.

La translation dirigée suivant ds donne, en projection

sur Ox et Oj, les déplacements ? — -\ la rotation — j-

fait décrire au point Gi un arc infiniment petit Gig-, normal à GGi et égal au produit GG, • — 5-5 lequel aura pour projec-

FOBMULSS DB LA DÉFOBHATION ; G01I8ÉQUBNGB8. gg

tionsj^et Gj/- Or, si Ton mène G,K parallèle aux y et GK parallèle aux x^ on formera ainsi un triangle GKGi semblable à G,/gr comme ayant les côtés respectivement perpendiculaires, ce qui donne les proportions

g:^:GG.::;^:G1Ï::G7:GK;

de là nous tirons