GG

7r-> ?; — GK X(a:, — x)dls ^ GG, ^^^

mais comme la longueur/g- est décrite dans le sens des x négatifs, il faut la changer de signe et prendre

X(jri — r)dê X(^, — x)dê

pour projections respectives sur les axes Oj? et 0^ du dépla-* cernent produit sur le point Gi par la flexion aux environs de CD. De la même manière on trouverait les projections du déplacement de G, par l'effet d'une rotation absolue/?, dans le sens positif (de Qx vers Oj), attribuée à la section initiale C«D,; ce serait évidemment, sans recommencer le calcul.

Nommant enfin Ajto, Ajo les composantes du déplacement absolu de Ge, puis faisant la somme algébrique des déplacements de G, suivant les x et les y dans tous les mouvements à composer, on arrive aux formules

(2) Aar, = A^«— />#(r»— :r«) — / r-r >

(3) A7.=:Aj.-H/>.(:r.-:r.)+J^ ^^, ^ '

On peut très-facilement avoir aussi la quantité fi dont a

100 ' ghàpitbb deuxième.

tourné une section quelconque C|D,; car toutes les rotationà ayant lieu autour d*axes parallèles, il suffit d'en faire la somme algébrique. Donc

Les formules (2), (3) sont encorp incomplètes en ce qu'elles ne tiennent pas compte des variations de longueur sous Taclion d'influences étrangères aux forces extérieures qui sollicitent la pièce. Il convient de Içs rectifier comme on va le voir au n® kk ci-après.

kk. Déplacements produits par les variations de température et par le calage. — Les variations de température, suivant qu'il y a augmentation ou diminution, tendent à dilater ou à contracter toutes les parties du corps qui les éprouve, s'il n'y a aucun obstacle extérieur pour s'y opposer; mais cette altération de dimension n'entraîne pas d'altération de forme dans une matière homogène, ou du moins dans une matière dont le coefficient de dilatation linéaire ne varie pas d'un point à un autre, ce que nous supposerons. Il n'en est pas de même quand des obstacles extérieurs viennent contrarier l'effet de la dilatation, mais il est clair qu'en tenant compte à part des forces exercées par ces obstacles sur la pièce, on peut toujours considérer celle-ci comme entièrement libre. Par conséquent, t étant le coefficient de dilatation linéaire correspondant au changement de température, on devrait simplement ajouter aux premiers membres des formules (2) et (3) ci-dessus le terme t (x, — Xo) pour Ao:,, et f(ji— Jo) pour Aji; mais en même temps il faudrait faire entrer dans les expressions de N, P, X, V les forces qui proviendraient d'obstacles extérieurs opposés aux effets de la dilatation.

Le calage des pièces courbes donne lieu à des considérations analogues. Dans la pratique, les grands arcs en métal ne sont pas formés d'un seul bloc. On les construit, en général, avec des voussoirs juxtaposés, entre lesquels on enfonce des cales en métal et que l'on boulonne ensuite fortement. Il

FOaifULES DE LA DÉFORMATION; C0NSÉQDB1ICE8. 10 1

résulte de cette disposition que l'arc exerce sur ses appuis des pressions indépendantes des forces qui le sollicitent lui-même, c'est-à-dire qu'il agirait encore sur ses appuis si Ton supprimait toutes les charges qui lui sont directement appliquées. Cela équivaut en quelque sorte à une dilatation artificielle, en vertu de laquelle la fibre moyenne prendrait une longueur supérieure à sa longueur primitive. Il semble qu'on tiendra compte de ce fait d'une manière rationnelle et satisfaisante, si l'on attribue à la constante z, non pas la valeur du coefficient de la dilatation linéaire produite par le changement des circonstances atmosphériques, mais ce coefficient augmenté du rapport entre l'allongement produit par le calage et la longueur de l'arc. Ainsi, soient S la longueur totale de la fibre moyenne, d'après le projet"; a la somme des épaisseurs des cales introduites par force entre les segments de cette fibre ; t' la dilatation linéaire, positive ou négative, due au changement de température. On devra prendre

Naturellement le rapport ^ est variable dans la pratique, mais

il reste toujours très-petit; il est assez ordinairement inférieur au nombre o,oooi.

45. Formules pour calculer les variations des coordonnées d'un point quelconque de la fibre moyenne, dans le cas le plus général, — Il nous reste maintenant à déterminer les déformations de la fibre moyenne d'une pièce quelconque sous des forces connues, dans le cas le plus général, sans faire d'hypothèse ni sur les forces ni sur la forme des sections transversales ou de la fibre moyenne, à part celles qui constituent la définition d'une pièce, donnée au n° 30. C'est ce que nous allons faire, puis nous montrerons comment on revient des formules générales à celles des n" 42 et 43.

Ramenons toutes les forces qui agissent depuis une section quelconque C,D< jusqu'à l'extrémité C«D„ {fig. 29) à deux forces et à deux couples, comme il a été dit au n® 20. Nous aurons d'abord la force N normale à CiDj ou tangente en Gj à

lOa GHAPITU DECIIÈMB.

la Obre moyenne, force à laquelle nous donnerons le signe + ou le signe —, suivant qu'elle sera une tension ou une pression, c'est-à-dire suivant qu'elle agira en allant de G,- vers l'extrémité G», ou en sens inverse; secondement, une force P passant en G/, située dans le plan dDi-, et dont la direction fait avec les parties positives des trois axes coordonnés rectangulaires 0^, Oj, 0-^, trois angles que nous appellerons a, (3, y; troisièmement, un couple V dont l'axe représentatif aura même direction et même sens positif conventionnel que la force N; quatrièmement et enfin, un couple X dont l'axe est dans le plan C|D,', ce couple n'ayant pas de signe et ne devant se prendre qu'en valeur absolue. Soient d'ailleurs :

à l'angle aigu que fait la trace du couple X sur le plan C/D,avec le diamètre conjugué de celte trace dans l'ellipse centrale d'inertie de la section ;

>, fx, V les angles qui ont lieu entre les parties positives des trois axes coordonnés et l'axe représentatif de la flexion,

c'est-à-dire (n® 17) le diamètre faisant l'angle aigu 5

avec l'axe représentatif du couple X ;

r, / les rayons de gyralion de l'aire C,D, relativement aux axes de flexion et de torsion ;

e le ressort longitudinal de cette section (n" 14);

ke son ressort transversal (n** 15), k étant le rapport supposé constant (n® 16) des deux coefficients d'élasticité G . etE;

s la longueur mesurée suivant la fibre moyenne entre la section C,D, et celle qui est prise pour origine ;

X, y, z les coordonnées rectangulaires du point G,-.

En ne nous occupant d'abord que du mouvement relatif de la section C,D, et de celle qui est infiniment voisine, nous trouverons que ce mouvement se compose (n° 20) :

D'une translation suivant la direction de la force N, dont la

valeur est > et les projections sur les trois axes coor-

, ^dx "Sdy ^dz

donnes 1 — -^ ;