FORMULES DE LA DÉFOBMATION ; CONSÉQUENCES. I
D'une translation suivant la force P qui aura pour exprès-
sion "T— 9 et dont les projections sur les axes coordonnés se-
.,, Pcosa.cf* PcosS.rf* Pcosy.rf* ronl pareillement 7 5 r-^- — 5 ,— — 5
D'une rotation autour de Télémenl G,G,+, prolongé, exprimée P^rTTTî' ^^^^ les composantes rectangulaires parallèles
\dx \dr ydz aux axes coordonnes sont ^^, ^, ^^^^
D'une rotation autour du diamètre conjugué avec la trace du
couple X, ayant pour valeur -^ — et se décomposant de
XsindcosX.fif^ Xsindcosa.rf* Xsinôcosv.rfj
même en ; , -—^ — , •
er' er' er^
On aura donc finalement pour le mouvement relatif dont il
s'agit :
1® Trois translations parallèles aux axes coordonnés, savoir:
suivant l'axe des x, .
Nrfjr Pcosa.rf* e ^ ke
H^df Pcosp.rf* e ke
Nrfz Pcosy.rf* • e ^ ke '
7.^ Trois rotations autour des parallèles aux trois mêmes axes menées par le point G/ :
j , „,, , ^ Ydx XsindcosX.rf^ autour de la parallèle a Ox, . . 7— y^ h >
^ Vrfr Xsin^cosa.rf^
•^ kel* er^
Oz.
Ydz Xsindcosv.rf5
Dans les applications, chacun de ces mouvements composants doit recevoir le signe H- ou le signe —, d'après les conventions exprimées à la fin du n°37; or cette condition se
to4 CHAPITRE DEUS.1ËUE.
trouvera remplie d'elle-même, par suite des précautions que nous avons prises en définissant le sens positif de la force N et du couple V, ainsi que les angles a, [3, y, 1, /ut, v. Du moins elle le sera quand les axes coordonnés présenteront la disposition des Jig. 28 et 29, disposition telle, qu'une rotation de Oj? vers Ojr sera représentée par Taxe des z positifs, et ainsi de suite en faisant une permutation tournante.
Maintenant il est facile d'appliquer la méthode indiquée en abrégé au n® 38, pour avoir le déplacement d'un point quelconque G de la fibre moyenne. Appelons en effet A^., A/., Az» les trois composantes de ce déplacement pour la section initiale CoDo; mo, ;to» p9 les trois composantes de la rotation de la section CoDo, qui produisent les variations très-petites des angles que la normale à cette section faisait primitivement avec les trois axes coordonnés; art, j,, z, les coordonnées du point G; conservons les lettres sans indice pour les quantités qui se rapportent à toute section intermédiaire entre CoD» et CD, CiDi par exemple. En vertu des trois translations et des trois rotations qui viennent d'être analysées, le point G prendra les déplacements ci-après :
Suivant Taxe des x,
"Sdx V cosa. ds , , /Ydr \s\ni cosa. ds\
, , /Ydz Xsindcosv.rf^X
Suivant l'axe des 7,
Nrfj Pcosfi.rf^ [Ydz X sïn 8 cosv. ds\
. /Ydx XsinôcosX.rf5\ -(^'-^UHT^-^ iH j5
Suivant l'axe des z,
Nrf-z; Pcosy.rf^ . ^ (Ydx Xsïn à cosT^. ds\
'J"^ Te ■^^^'""•''H*^'^ '^^ /
, . (Ydr XsindcosLt.rf^X
FORMULES PB LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. Io5
formules qui résultent immédiatement de celles qu'on a données au n® 37.
Ajoutant algébriquement tous les effets dus aux mouvements des sections intermédiaires entre C«D» et CD, et tenant compte du mouvement de la première section CoDo, on trouvera donc pour les variations A^i, Aj,, Azi des coordonnées de G :
A^, = Aa7o -f- n, (z, — z,)—p, (^, — ^o) Pcosa ds'
ke dx
dx
iz z\( ^ rfr , Xsin3cos^\
(,. ,.J V '^^ ■ XsinacosvX ^^' ■'^'{/fel'ds er' /
Aytz=Ajr, -l-/>,(:r, — X,) — m,{z, — z,)
y dz \ sin 8 cos v
dx Xsin3cosX\ ds er" /
Az, = Az, + m,{Xi — X») — n,[xi — X,)
V rf^ X sin 3 cos X^
df Xsinôcos/x>
er'
ds.
Ces formules devraient, en général, être corrigées pour tenir compte des effets produits par les variations de température et le calage. Suivant ce qu'on a dit au n° 44, on ajouterait les termes t(a7» — a;»), T(jrt — /•)» ^C-^» — ^o) respectivement à A^i, Aji, Azi; en outre il faudrait, en calculant N, P,V, X, avoir égard aux forces exercées par les obstacles qui empêchent la pièce de se dilater librement.
Io6 CHAPITRE DEUXIÈME.
46. Déviation des sections normales de la pièce, — La seclion normale CD éprouve une rotation totale qui s'obtient en composant celle de CoDo avec toutes les rotations relatives de deux sections voisines entre Go et G. On aura donc, d'après les règles connues de la composition des rotations, pour les composantes rectangulaires m, , n,, p, de la rotation de CD suivant les trois axes coordonnés :
T'»/ V XsinôcosX *\ ,
./.. I r^' I y Xsinôcosu ds\ ,
(6) I „. = n. + j^^ ^^, + er' ^) ''^'
f » / V Xsinôcosv ds\ .
^"=^•"^1. \k^' ^ er^ Tz) '^':
Quand on connaît la rotation du plan CD, il est facile d'en déduire les variations des sinus des angles Âi, Bi, Ci, qu'il fait avec les axes des x, 7, z. Il suffit d'imaginer par l'origine une perpendiculaire au plan, de longueur égale à 1 ; les coordonnées de l'extrémité de cette ligne seront sin A,, sin Bi, sin Ci, et si l'on en calcule les variations par les formules du n» 37, on trouvera
IAsinAi=:/i, sinCt — /?i sinB,, AsinBi =/?, sinAi — /WisinCi, A sin C, = m, sin B, — n, sin A, .
47. Formules spéciales pour le cas où la fibre moyenne est primitivement dans un plan contenant les forces extérieures. — Quand la fibre moyenne est plane dans son état primitif, et que toutes les forces appliquées sur un élément quelconque de la pièce, entre deux sections normales consécutiyes, peuvent se réduire à une force située dans le plan de cette fibre, les formules (5) du n<* 45 se simplifient notablement. En effet, toutes les forces qui agissent sur la portion G,G« (fig. 29) donneront nécessairement lieu à une résultante unique ou à un couple, situés dans le plan GoG,G„. On pourra prendre les axes des X et des y dans ce plan, et alors on aura, pour tous les
