FORBIULES DE LÀ DÉFORMATION; CONSÉQUENCES

points de la courbe 6»G,Gn, y=o, y:=-, cosai=±-^, cosp = =p^, Z=ro,

car d'abord le couple X subsiste seul , la force P est dirigée suivant la normale principale de la fibre moyenne, et enfin la fibre moyenne se trouve tout entière dans le plan des xy. Il est facile en outre de compter positivement la force P, dans chaque cas particulier, de manière qu'on doive prendre les signes inférieurs dans les expressions de cosa et de cos(3 : par exemple, avec la disposition de la^g^. 29, il faudrait prendre P positivement dans le sens G,C/, ou, si Ton veut, dans le sens contraire à celui de la normale qui se dirige vers le centre de courbure. Substituant ces valeurs de V, y, cosa, cosp dans les formules (5) ci-dessus, et rétablissant le terme par lequel on tient compte des dilatations produites par des causes étrangères aux charges (n** W), on trouvera :

/•'» , .Xsinôcosv ,

-j (ri-r) — —. — ^*;

Aj, = Ajo -^ p^ix.'-X.) + T (7, — Ja)

f-^i /N P dx\ -

, Xsinâcosv ,

A2, = Azo -+- m«(jr, — jTo) — no {x, -— Xo)

-^ f * -rr- [ (ji — r ) cos> — { ^. — ^ ) cos [x] ds.

Quant à la rotation des sections normales, on la calculerait par les formules (6) du n*> 46, en y supprimant le terme qui contient V, puisque ce terme est nul de lui-même. Les formules (7) éprouveraient en outre un changement résultant de

I o8 CHAPITRE DEUXIÈME .

ce .que les sections sont perpendiculaires au plan des xy^ d'où résulte C, = o. On aurait donc :

Jr*» XsindcosX , I d$y s. ^f'

/•*» Xsinâcosa , n. = n, -hj — C ds,

/•*» Xsinôcosv ,

A sin A, :^ — />, sinBi , (lo) I AsinBi=:/?, sinA,,

A sin Cl = m, sinBi — /iiSinAf

48. Conditions à remplir pour que la déformation d'une pièce à fibre moyenne plane s* opère dans le plan même de cette fibre. — Nous ne traiterons cette question que dans Thypo- Ihèse restreinte faite au n** 47 sur le mode de distribution des forces extérieures. La condition à remplir, c'est que A-5| soit nul pour tous les points de la fibre moyenne ; il faut donc poser

Azo H- mo(jr, —Jo) — »o(^i — ^o) '*« Xsinô

er^

{{yi—y)cos'k—{xx — x)cosii] ds=^o.

D'abord, Az» doit être nul; car le point Go ne doit pas plus qu'aucun autre sortir du plan des xy. Après avoir supprimé ce terme, on peut remarquer qu'on a identiquement

par suite, en réunissant tout le premier membre de l'équation précédente sous un seul signe /, la condition Az» = o devient

dy dx

Xsind

'^•SF-'^-rfï

r" [(/« '~X) ^^sX — (^1 — x) cos/x] I rf* = o.

FORMULES BB LÀ DiFORMATION ; CONStiQUBlfCES. IO9

Une intégrale définie dont les limites sont arbitraires ne restera constamment nulle que si son élément devient nul lui* même; donc

et cette condition doit se dédoubler en deux autres,

(a) m, rf/— 71, rf:r = 0,

{b) X[{^, — j)cosA — (:r, — a7)coSfJL] = o,

attendu que la seconde partie ( b ) dépend du point final ( x, , ^i ) et varie avec lui , tandis que l'autre n'en dépend pas. Or il y a plusieurs manières de satisfaire aux conditions (a) et (b).

En ce qui concerne la première, on peut supposer mo = o, /i,=: o, hypothèses qui, jointes à Az« = o, exprimeraient que la section initiaie se meut parallèlement au plan des xy, puisque son mouvement se composerait d'une translation parallèle à ce plan et d'une rotation autour d'un axe perpendî-

dy culaire. On peut aussi supposer que -t- a une valeur constante

égale à — î ce qui signifierait : i° que la fibre moyenne est

droite; 2® que la résultante des rotations m« et n», ou la projection sur le plan des xy de la rotation totale prise par la section C»Dft, doit s'effectuer autour de cette droite : il est évident, en effet, que la fibre moyenne , supposée rectiligne, ne sortira pas d'un plan qui la contient, en tournant autour d'ellemême.

Pour satisfaire à la condition (6), il semble qu'on a trois hypothèses à faire, savoir :

X = o; COS X = o , COS fx = o ;

^ ' Xi — X cosA '

mais l'équation (c) est impossible et doit être rejetée. En effet, si l'on y considère le point [xi, /,) comme se déplaçant

IIO CHAPITRE DEUXIÈME.

sur la fibre moyenne tandis que le point {x,jr) resterait constant, on en conclut que la fibre moyenne est droite; cette droite, normale à la section menée par le point (ar, 7)^ ferait par conséquent un angle de 90 degrés avec Taxe de flexion; ce qui exigerait qu'on eût

{jvt — x)cos'k -4-(ji — j)C0S|:jl = O, relation incompatible avec (c), puisqu'il en résulterait, par

réliminalion de ^>

COSLL cosX ,^

— ç: — ou cos^A -f- cosV = o«

cosA cos^i '^

Il ne reste donc qu'à supposer soit X = o, c'est-à-dire un moment fléchissant nul dans toutes les sections, soit cosX = o et cos/x = o, c'est-à-dire tous les axes de flexion perpendiculaires au plan des xy.

Si celte dernière combinaison est celle qui se réalise, comme le couple X agit dans le plan des xy, sa trace sur le plan de la section correspondante sera perpendiculaire à l'axe de flexion; de sorte que cet axe et la trace du couple (qui lui est conjuguée dans l'ellipse centrale d'inertie de la section) formeront les deux diamètres principaux de l'ellipse. Alors, en laissant provisoirement de côté la supposition d'une fibre moyenne rectiligne et celle d'un moment fléchissant nul, on énoncera la proposition suivante comme conclusion de la discussion à laquelle nous venons de nous livrer :

Quand une pièce courbe a sa fibre moyenne dans un plan contenant aussi les forces extérieures , pour que la déformation ne fasse pas sortir la fibre moyenne de son plan, il faut et il suffit ; 1° que la section initiale ait un mouvement parallèle à ce plan; 2° que ce plan coupe toutes les sections suivant un de leurs axes principaux d'inertie.

Pour les pièces droites, on peut ajouter au mouvement de la section initiale une rotation autour de la fil)re moyenne ; dans le cas où X = o, la fibre moyenne étant droite ou courbe, la condition relative à la direction des axes principaux d'une section quelconque devient indifférente.

FORMULES DE hk DÉFO RM ACTION ; CONSÉQUENCES. III

49. Conséquences des conditions trouvées au n° 48 ; vérifia cation des formules de la déformation plane au moyen des formules générales, — Maintenant qu'on connaît les conditions nécessaires et suffisantes pour que Azi soit nul, il est rationnel et utile de se demander Tinfluence qu'^auront ces conditions sur les deux premières formules (8), destinées à calculer ^Xx et Aji. En premier lieu on voit que les conditions imposées au ipouvement de la section initiale n*ont pas d'influence, puisque ce mouvement ne figure dans les exprès- . sions de A^i et Aji que par les trois quantités A^To, Ajo> p^y auxquelles nous n'avons imposé aucune condition. Secondement, si cosA et cos/ui sont nuls, il en résulte sind=: i et cosv = i ; si ces valeurs ne sont pas vraies, cela importe peu, parce qu'alors X deviendrait constamment nul, et les termes qui contiennent d et v disparaîtraient. Donc, dans tous les cas où il y a déformation plane, on peut écrire

A^, = A:ro — /?«(/.— /•) -h T(^, — rro)

(ll){

A J. = Ajo -f-/?o(^i — ^o) -f- 7(7, — JTo)

formules identiques aux formules (2) et (3) que nous avons démontrées directement au n® 4-3, sauf l'introduction des termes contenant les facteurs P ou t, que nous avions provisoirement laissés de côté dans notre première analyse.

Les valeurs particulières cosX=:o, cosp = o, cosv = i, sin5 = ï , introduites dans les formules (9), donnent

r^»Xrf5 (12) msz=im^y nx = ntiy p,=p^-\-l — — .

Par les deux premières équations (12) on voit que m, et n^ conservent, dans toutes les sections , les mêmes valeurs que dans la première : si la rotation résultante de m. et n^ n'est pas nulle (ce qui peut avoir lieu pour une pièce droite), elle se retrouvera constamment la même dans toutes les sections.

et Ton pourrait en faire abstraction, puisque ce serait un mouvement d'ensemble ne déformant pas la pièce et ne déplaçant pas la fibre moyenne. La troisième équation (12), déjà démontrée au n" 43, ferait alors connaître la rotation totale d'une section quelconque, ou, ce qui est la même chose, la variation de son angle avec un plan fixe.

50. Formules de la déformation spéciales pour les pièces droites; vérification analogue à celle du /i° W. — Supposons une pièce à fibre moyenne rectiligne, chargée suivant le mode défini au n° 47. En choisissant la fibre moyenne pour axe des a:, on aura constamment j = o, 2 = o, 5 = ^, et les formules (8) prendront la forme suivante i

^'. ^ A j, = A jo + p,{xi — X,) {i3)/ r^x .Xsinôcosv, /*** P j

■^X, (^>-^) er^ ^^-^X^ i;^^'

A A / V C'\ .Xsinôcos/x , AZ| = Azo — w«(a:, — J7«)— I (JT, — x) 5 — ^dx.

Dans le cas plus particulier de la déformation plane (n" 48 et 49), on trouve

-- dx y

-f- / {Xx — x) — -dx-^ I j-ax.

Quand on néglige les effets de l'effort tranchantp P, comme cela se fait habituellement (n*»41), il faut faire P = o dans l'équation précédente. On peut remarquer en outre que l'ordonnée j étant nulle pour tout point de la fibre moyenne primitive, Aji n'est autre chose que ji pour la fibre moyenne déformée ; on écrirait en conséquence la seconde équation (i4 )

FOBMULES DE LÀ DÉFORMATION; GONStQUBNGBS. fl3

de cette manière :

Puis, en différentiant deux fois par rapporta la variable jr., on aura successivement

rfri

La dernière équation ne diffère pas, au fond, de Téquation (i), démontrée directement au n° 42, à cause de son importance et de sa simplicité. Quant à la formule qui exprime Aj:„ nous n'avons pas cru devoir nous en occuper spécialement, parce que ses applications sont à peu près nulles : il est suffisant de l'avoir établie comme cas particulier des formules générales.

51. Détermination des constantes qui représentent le mou^ vement de la section prise pour point de départ, — Les formules (5) du n" 45 font connaître les composantes A^,, Aj^, , ^Zi du déplacement d'un point quelconque de la fibre moyenne, en fonction des forces extérieures et de six quantités Aj?», Ajo9 Azo, m», n», p^ qui définissent le mouvement absolu d'une section. Dans le cas particulier de la déformation plane (n" 48 et 49), trois de ces quantités disparaissent» et il n'en subsiste que trois dans les formules, savoir Ax», Aj«y po«

Au premier abord, on trouvera peut-être singulier que, connaissant la pièce dans son état primitif et les forces en équilibre qui lui sont ensuite appliquées, la théorie ne donne pas la situation qu'elle prend définitivement. Cependant on voit aisément qu'il doit en être ainsi, quand on se pénètre bien des conditions du problème. La question qui consisterait à trouver le déplacement absolu serait une question de dynamique, dans laquelle on devrait tenir compte, non-seulement de la situation primitive du corps et des forces qui lui sont appliquées, mais encore des masses de ses différents points et de leurs vitesses initiales. Or ce sont là des données que

L a* ÉDIT. o

Il4 ' CHAPITRE DEUXIÈME.

nous n'avons pas introduites. Nous avons simplement supposé réquilibre des forces extérieures avec les forces moléculaires, et la petitesse du déplacement total. Mais avec ces deux conditions on peut évidemment imaginer une infinité de déplacements, tous très-petits et d'ailleurs arbitraires. Si Ton en a trouvé un, et qu'on fasse mouvoir très-peu la pièce à partir de cette seconde position, sans altérer la forme nouvelle qu'elle a prise, les deux conditions dont il s'agit seront encore satisfaites. En effet, nous aurons bien un déplacement total très-petit; les forces moléculaires auront les mêmes grandeurs; et comme leur situation, aussi bien que celle des forces extérieures, n'aura pas sensiblement changé , l'équilibre subsistera encore. Il y a donc une indétermination réelle dans le problème, et l'on ne peut la faire cesser qu'en introduisant de nouvelles données, comme nous allons le faire tout à l'heure.

Cependant, quoique la position définitive de la pièce reste indéterminée tant que l'on ne connaît pas les quantités A^o, Ajo, Azo, wîo, Wo, /?o, on voit, par la manière même dont les formules ont été obtenues, que le mouvement de chaque section CD [Jig, 29) relativement à la section initiale CoDo est parfaitement déterminé , en fonction des forces extérieures seulenient : en sorte que si l'on ne connaissait le mouvement absolu d'aucune section , il serait possible néanmoins de calculer la forme finale de la pièce, tout en laissant dans l'indécision sa situation réelle.

Maintenant nous allons donner quelques exemples de la détermination des quantités dont il s'agit, en nous bornant à ceux dont on aurait le plus fréquemment besoin dans les applications. La déformation sera supposée plane, et par suite il suffira de trouver les valeurs de A^r», A/o,/?o.

Le cas le plus simple serait celui où la pièce aurait en CoD« [Jig. 29), non-seulement un appui fixe, mais encore un encastrement qui rendrait sa direction invariable. Alors on aurait :

A^o = o, A/o = o, jPo = o.

Si l'encastrement et l'appui fixe existaient en une autre section

FORMULES DE lA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 1 15

qu'on ne voudrait pas prendre pour point de départ, ^' et j^' étant les coordonnées de son centre d'élasticité, il faudrait exprimer que pour ce point àx' et Aj' sont nuls et que la section conserve sa direction première, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de rotation. Alors les formules (ii) et la troisième formule (12) du n*» 49 donnent les équations

^ ("', , ,\ds

er^

La dernière équation fait connaître immédiatement/?,, et par une substitution dans les deux autres, on connaîtra Aa?o, Ay^ :

Supposons maintenant le cas très-ordinaire, presque le seul cas pratique, dans lequel les deux extrémités reposent simplement sur deux appuis fixes. Prenons l'un de ces appuis pour origine des coordonnées, la ligne qui les joint pour axe des x; soit en outre 2 «leur distance. En appliquant au second appui la formule qui donne A ji ( n" W ), on aura

équation d'où l'on tire très-aisément la valeur de p^. D'ailleurs Ao?» et A/o sont nuls.

|l6 CHAPITRE DEUXIÈME.

Enfin nous considérerons le cas où la fibre moyenne aurait an point fixe> et un élément dont la position changerait par la déformation, mais dont la direction serait déterminée à priori. C'est ce qui arrive, par exemple, lorsqu'un arc symétrique par rapport à une ligne esl symétriquement chargé de chaque côté de celte ligne. Il est clair que la symétrie doit subsister après la déformation, et par suite la direction de l'élément situé sur Taxe de symétrie ne doit pas changer. Dans celte circonstance, on pourrait procéder ainsi qu'il suit. On prendrait pour axe des x une ligne quelconque passant par le point fixe, et pour axe des j une perpendiculaire menée par le point où Ton connaît la direction de la fibre moyenne. Ce dernier point étant pris pour Tune des limites ( jco, Jo) des intégrales définies, on aura d'abord, par hypothèse, /?o = o- Ensuite, si l'on appelle a l'abscisse du point fixe, les formules (ri) du n® 49 appliquées à ce point donneront

Dans le cas plus particulier où l'on supposerait une symétrie complète, comme celle que nous donnions tout à l'heure pour exemple, on pourrait prendre l'axe des x de telle manière que Taxe des j fût la ligne de symétrie elle-même. Alors on aurait /?o = o, A^o = o, et l'équation qui donne Ajo ferait connaître la quantité dont varie la flèche de l'arc.

§ IL — Recherche des forces inconnaes.

52. Indications succinctes sur la nature des questions à résoudre. — Ainsi que nous l'avons dit au commencement du Cours, il peut arriver, et il arrive le plus ordinairement dans les applications, que toutes les forces qui sollicitent une pièce ne sont pas des données immédiates de la question. Par exemple, lorsqu'un arc symétrique par rapport aune verticale, et chargé de poids disposés symétriquement par rapport à

FOBMCLES DE LÀ BËFOEHÀTION ; CONSÉQUENCES. 11^

cette ligne, repose à ses extrémités sur deux appuis placés au même niveau, il suffît pour l'équilibre que chaque appui fournisse une réaction verticale égale à la moitié de la somme des poids qui agissent sur la pièce entière. Mais s'il ne donnait pas lieu à une autre réaction, il arriverait que la corde de Tare varierait en longueur; c'est un fait que l'on pourrait reconnaître au moyen des formules du § I de ce chapitre, et qui est d'ailleurs évident quand on suppose un changement de température. Or, si les appuis sont disposés de manière à empêcher celte variation de la corde, il est clair que par cela même ils doivent exercer sur la pièce des forces horizontales, capables de produire une variation égale et de sens contraire à celle qui aurait eu lieu sans leur existence. Ces forces ne sont pas données immédiatement ; elles sont une consé* quence de la forme de Tare et des charges qui agissent sur lui. Leur détermination constitue un problème d'une nature particulière.

On serait conduit à une conclusion analogue si l'on supposait généralement un arc lié d'une manière quelconque à certains corps qui l'empêchent de se déformer librement sous Taclion des forces qui lui sont appliquées, comme il le ferait sans Texisience de ces obstacles. Pour annuler ou tout au moins pour modifier les déplacements qui tendent à se produire, il faut que la présence des obstacles donne lieu à certaines réactions, qui ordinairement ne peuvent pas être déterminées indépendamment de l'élude des déformations produites. C'est ainsi que, daps l'exemple précédent, on se trouverait conduit à chercher l'expression de l'allongement de la corde.

Un autre exemple remarquable nous est fourni par les poutres droites reposant sur plus de deux appuis et soumises à des charges transversales. Les appuis exercent sur la pièce des réactions également perpendiculaires 4 son axe, entre lesquelles il y a seulement deux relations fournies par la Statique des systèmes invariables. Il y a donc là encore une série de forces inconnues à trouver, et Ton n'y parviendra qu'en tenant compte des déformations produites par les diverses forces extérieures.

Il8 CHAPITRE DBVUÈan.

Comme il peut y avoir un grand nombre de combinaisons diverses, soit dans la disposition des appuis et des obstacles de toute nature opposés au mouvement de la pièce, soit dans la nature de ces obstacles et leur mode d'action, le problème dont nous avons à nous occuper ici peut donner lieu à une grande variété de problèmes particuliers, et il serait presque impossible de donner une théorie en termes tout à fait généraux. Nous crojons même qu'il serait inutile d'essayer une classification. Mais nous traiterons avec détail un certain nombre de questions qui montreront bien la marche que l'on devrait suivre dans d'autres cas, auxquels ne s'appliqueraient pas directement les calculs que nous allons développer. Kous nous bornerons d'ailleurs au cas de la déformation plane, et nous négligerons les effets de l'élasticité transversale (n» 41).

53. Premier cas. Pièce non symétrique reposant sur deux appuis fixes. — Un cas qui se présente souvent dans la pratique est celui d'un arc soutenu à ses deux extrémités .par deux appuis inébranlables, qui empêchent tout mouvement des points extrêmes de la fibre moyenne. En général, ces appuis consistent en forts massifs de maçonnerie sur lesquels on dispose un siège en fonte, ou embase, suivaïit l'expression technique. L'arc doit reposer sur l'embase par l'intermédiaire d'une lame de plomb ou de cales en fer destinées à produire une répartition sensiblement uniforme de la pression; en sorte qu'on peut admettre, sans s'écarter vraisemblablement beaucoup des faits réels, que dans les sections extrêmes le centre des tensions se trouve sur la fibre moyenne. Les supports jouent ici le même rôle que des articulations fixes placées aux extrémités de la fibre moyenne. Entre ces deux points et dans son plan, l'arc reçoit l'action des charges qu'il doit supporter, y compris celle de son propre poids, mais il n'est d'ailleurs contrarié dans ses mouvements par aucun obstacle, à l'exception de ceux qui l'empêchent de sortir de son plan par l'effet de causer accidentelles.

Soient AB (Jig. 3a) la fibre moyenne, F l'une des forces qui na sollicitent, R, A' les réactions des supports placés en A et le B. Il s'agit de déterminer ces réactions. D'abord on obser-

FOmiULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. 1 19

vera qu'elles doivent être dans le plan de la figure; car, puisque toutes les autres forces extérieures sont dans ce plan,

l'équilibre n'existerait pas sans cela : donc «on pourra remplacer R par deux forces T, Q, Tune perpendiculaire à AB, Taulre dirigée suivant ABj de même R' sera remplacé par le système T', Q'. Cela posé, en appelant Ç et 9 les angles faits par la force F avec les axes coordonnés A a;, Aj, 2 a la distance AB, rf le bras de levier de F relativement au point A, les conditions générales d'équilibre entre les forces extérieures d'un système donneront

Q'-f-2FcosÇ~-Q = o,

T'H-T + 2Fcos0=ro,

équations dont les deux premières expriment l'équilibre de translation, et la troisième l'équilibre des moments autour du point A. Cela ne fait encore que trois équations entre quatre inconnues. La quatrième nous sera fournie en exprimant que, malgré l'action de toutes les forces, la distance des deux extrémités A et B de la fibre moyenne reste invariable* Si nous prenons pour axe des coordonnées la ligne AB et la perpendiculaire Aj, nous devrons avoir pour le point B, Ao?, = 0. Appliquons donc à ce point les formules du n*» 49, en prenant le point A pour origine des intégrations. Il faudra faire à la fois, dans l'expression de Ax,,

AXi =: O, Ax« := O, Xt= O, Jo = O, Xi-= 2 a, iTo = o,

P dy

ce qui donnera, en supprimant d'ailleurs le terme tt ;/" ("° ^^)>

équation dans laquelle il n'entre en réalité d'autre inconnue

I20 CHÂPITHK DEUXIÈME.

que la force Q. Pour la mettre en évidence^ nous poserons, en ayant égard aux conventions sur les signes algébriques de N et deX(n««43el45),