Deuxième cas. Pièce symétrique et symétriquement
chargée. — Supposons que Tare représenté (Jîg. 32 ) soit placé
dans les coriditions qui ont été définies au n"" 53, à part cette
différence que la fibre moyenne sera symétrique relativement
à la perpendiculaire Dy, menée au milieu de AB, et qu'il en
sera de même des forces qui agissent à droite et à gauche de
cette ligne. En vertu de celte symétrie, il est clair que le point
C devra, par Teffet de la déformation, se déplacer suivant Taxe
Dj, et que les réactions R, R', nécessairement contenues dans
le plan de la fibre moyenne, seront de plus égales. Appelons
encore T et Q les composantes de Tune d'elles, F une àe$
forces qui agissent entre C et B (nous laisserons de côté la
force symétrique), Ç et 0 les mêmes angles que tout à l'heure ;
on aura
Th-2Fcos0=:o,
ce qui détermine l'inconnue T.
Afin d'avoir Q, prenons Dy et Dx pour axes des coordonnées, et exprimons que Aa;, est nul au point B. Nous appliquerons la formule qui donne Axt (n'* 49) en prenant le point C pour origine des intégrations, et faisant en conséquence,
A^, =10, A:r, =ro, po==o,
Xi = BD r= «, ^0 = o, yi = o,
valeurs qui, jointes à la condition P = o (n"* 41), fournissent l'équation
. r (Xr ds N\ ,
Si nous remplaçons, comme dans le premier cas, X par X' — Qy,
dcc N par N' — Q -T- î nous aurons
ra-
Jq er' dx ^J^ er' dx
-h I —dx — Q I -~r-dx = o.
122 CHAPITRE SEUXIÉMB.
et, par suite,
(.6) qJ" -^^ '
ce qui résout le problème.
55. Troisième cas. Pièce soutenue par un plan sans obstacle direct à l'allongement de la corde, — Supposons que la pièce définie au n*» 53 soil soutenue à ses extrémités par un plan sans frotlement, qui empêche les points A et B de pénétrer à son intérieur, mais qui n'oppose aucun obstacle à leur écartement. Alors il est visible que les composantes des deux réactions en A et B, suivant la ligne AB, sont nulles ; il ne reste donc que les composantes normales T et T', que Ton calculera comme au n*» 53.
Si le frottement du plan n'était pas nul, et avait un coefficient égal à /, on calculerait les poussées Q et Q' suivant la marche du n*» 53, dans Thypothèse de la fixité complète des extrémités de Tare. En supposant que ce calcul donnât Q <C/T et Q' <ifV en valeur absolue, il est clair qu'aucun glissement n'aurait lieu, et que les choses se passeraient comme si la fixité supposée existait réellement. Mais si ces deux inégalités n'étaient pas satisfaites, la corde AB varierait jusqu'à ce que Q et Q' fussent réduites respectivement à /T et/T'. Les réactions totales seraient donc T V'i -h/% T' ^i -f-/S* elles feraient avec la normale un angle égal à l'angle du frottement.
Cet exemple, comparé à celui du n*> 53, montre bien clairement que la poussée d'un arc ne peut être obtenue qu'en exprimant l'invariabilité de la corde. Toute méthode qui serait fondée sur un autre principe pécherait par la base ; les résultats qu'on en déduirait pourraient être approximatifs avec certaines données particulières, mais ils seraient souvent trèsloin de l'exactitude.
56. Quatrième cas. Pièce encastrée à ses deux extrémités. — Ce cas ayant peu d'importance pratique, nous restreindrons la question, en sup» posant qu'il s'agisse d'un arc symétrique et symétriquement chargé,
FORMULES DB LA DtFORHATlON; COlfStQUUICBS. 123
comme celui dont nous venons de nous occuper au n° 54. Nous ajouterons simplement cette condition, que, au lieu de simples appuis en  et B \Jig. 32), il y a des encastrements : c'est-à-dire que la direction de la tangente est maintenue invariable en ces points. Alors les réactions dans les sections extrêmes devront bien toujours être contenues dans le plan de la fibre moyenne; mais, comme nous allons le voir, elles ne passeront plus nécessairement par les points A et B. Si donc nous les transportons en ces points, il faudra en même temps introduire un couple inconnu, dont nous représenterons le moment par p, et Ton aura ainsi , au lieu de T et de Q, trois inconnues, T, Q et pi, à déterminer. La première sera donnée, comme au deuxième cas, par Téquation
T4-2:FcosO = o,
qui n'a aucune modification à subir. Les deux autres s*obtiendront en exprimant que /?, et Ax. sont nuls pour le point B. A cet effet, on se servira des équations (u) et (la) du n°49. Prenant le point C pour origine des intégrations, appelant toujours a la distance BD, et faisant P = o (n**4i), on trouvera
X ds ^
er^ dx '
Or X' et N' consenrant la même signification que précédemment (sauf que ft ne sera pas compris dans le moment X') , on pourra poser
valeurs qui, substituées dans les deux dernières équations, donneront pour résultats :
a 7?tJ^'''^1 TPdi'^^-^i ^5^^^-^=^'
. r* r ^-^ , r. r" j' ^^ , r xv ds ^
•/o ^ Vo ^ <^
OU bien
Les deux inconnues fx et Q sont en évidence dans ces deux équations du premier degré. Il sera donc facile de les obtenir lorsque préalablement on aura calculé les diverses intégrales définies , ce qu'on pourra toujours faire, au moins par approximation. On connaît déjà T : le problème est donc résolu, car les réactions sont symétriques en A et B.
Si la symétrie n'existait pas comme nous l'avons supposé, il y aurait six inconnues, T, Q , p, et les quantités analogues, T', Q', p', se rapportant au point A. On écrirait d'abord les trois équations d'équilibre des forces extérieures; puis, prenant le point A pour origine des intégrations, et les lignes A a:, Ajr pour axe des coordonnées, on appliquerait au point B les équations (ii) et [12) du n** 49, au moyen desquelles on exprimerait que A JTi , AjTj et p^ s'annulent en ce point. On ferait dans ces équations AXfl , ^y^ , p^ , jr, , Jo î -^0 ^0"S nuls, a:, = 2û, P = 0 (n° 41) ; on aurait alors les trois équations nécessaires pour achever de déterminer les inconnues.
57. Cinquième cas. Pièce munie d^un tirant parallèle à la corde et reposant simplement sur deux appuis, — Reprenons la pièce considérée au n* 54J et supposons qu'elle soit munie d'un tirant parallèle à la corde. Ce tirant sera une pièce droite articulée à ses deux extrémités ; il devra joindre deux points qui , sans son action , tendraient à s'écarter l'un de l'autre. Cette condition est de rigueur si l'on ne veut employer comme tirant qu'une simple tige, en fer par exemple, qui puisse très -bien résister à une tension, mais fléchissant avec facilité sous une compression. Il est clair que si les points d'articulation tendaient à se rapprocher, le tirant serait à peu près inutile, à moins que ce ne fût une pièce rigide et de forte section. Au reste , les calculs que nous allons faire seraient encore applicables à ce cas. Nous supposerons en outre qu'aucune charge ne porte directement sur le tirant et qu'on puisse faire abstraction de son poids comme relativement petit. Il s'agit de déterminer sa tension et la réaction exercée par l'un des appuis sur l'arc. .
Soient HL [fg. Sa) la fibre moyenne du tirant, 2/ sa longueur, Ssa tension, n son ressort longitudinal ( n° 14) , ^ la distance DK entre la fibre moyenne H L et la corde AB de l'arc. Conservons les autres notations du n° 54, et prenons pour axes coordonnés les lignes D a:, Djr. A cause de la
