FORMULES DB LÀ DÉFOBMATION; CONSÉQUENCES

symétrie complète par rapport à la ligne Dj, il est évident que le point G ne peut se déplacer que suivant cetle ligne même, et que l'élément supérieur de l'arc n'est pas dévié par l'effet de la déformation ; d'un autre côté, l'allongement de la pièce KL, soumise à la tension S, a pour ex-

S/ pression — (n"13 et i4); enfin, B étant un appui fixe, les coordonnées

de l'extrémité de Farc sont invariables. Il résulte de là, d'une part , que p^ s'annule pour le point G; d'autre part, que A or, est nul en G et B

et égal à — au point de jonction L du tirant avec la pièce principale.

Donc, si l'on applique la première des équations (ii) du n**49 aux points L et B, et si l'on place au point G l'origine des intégrales définies, on aura, en continuant toujours à supposer P = o ( n° 41 ) ,

Trt-h / i -- rfjr + I — rta: = o, Jq er^ cix Jq e

Jo er^ dx Jq e yj

Or on peut poser

X = X'-Qj-S(7-6),

entre .r = o et x=/ j ^ ^ ^^^ ^q^S) g;

/x = x'-Oj,

entre^ = /et a: = r/ J ^ ^,, ^ dx

I N = N — Q -;-• \ ds

La valeur do la réaction T parallèle aux y étant la même qu'au n''54, X' et N' sont immédiatement calculables pour chaque point en fonction de ar, X et des forces connues. Substituant ces valeurs de X et de N dans les deux équations précédentes, on trouve

\Jo er' dx J^ e ds )

\Jo er^ dx Jq e ds n)

Ces deux équations du premier degré ne contiennent plus que les inconnues Q et S , qui sont par conséquent déterminées.

Si pour plus de rigueur on voulait tenir compte du poids du tirant, cela ne compliquerait pas notablement la question. Les mêmes équations symboliques subsisteraient. Seulement, n étant la moitié du poids en question, on devrait, dans le calcul de T, X', N', comprendre les termes qui seraient produits 'par le poids II appliqué au point L.

• Il arrive quelquefois que les tirants sont formés de deux liges en prolongement l'une de l'autre , réunies dans un même écrou à une de leurs extrémités. Ces deux extrémités, qui sont réunies dans l'écrou, portent des vis filetées en sens contraire, de telle sorte qn'en faisant tourner l'écrou on produit un serrage, c'est-à-dire une diminution de la longueur totale

S/ du tirant. Si ce cas se présentait, au lieu d'égaler à — le AoTj du point L,

on devrait l'égaler à la môme quantité diminuée du raccourcissement dû au serrage. Souvent aussi le serrage est réglé pendant la construction même, de manière à rendre Q sensiblement nul ; la première des deux équations précédentes suffirait alors pour calculer S , après y avoir fait 0 = 0; la seconde, modifiée en supprimant de même le terme qui contient Q et introduisant le serrage , pourrait servir à déterminer théoriquement cette quantité.

58. Sixième cas. Pièce droite reposant sur plus de deux appuis et chargée transversalement. — Nous supposerons, pour fixer les idées, une poutre reposant sur quatre appuis; mais la méthode que nous allons indiquer serait la même s'il y avait un nombre d'appuis plus grand. Soient donc A, B, C, D [fig, 33) les quatre appuis, que nous considérons comme p. ^^ établissant simplement la fixité des

points qui leur correspondent sur la fibre moyenne AD ; nommons T, T', T", T'" les réactions inconnues de ces appuis, /, /', /" les longueurs AB, BC, CD; prenons enfin pour axe des a:

la ligne AD, et pour axe des y la direction même de la force T. Toutes les forces extérieures sont censées agir dans le plan de la figure et parallèlement à Taxe des jr; en outre, on admet que la déformation ne fait pas sortir la fibre moyenne de ce plan.

Ceci posé, appliquons aux trois points B, C, D la seconde équation (14) du n* 50, en y faisant

et successivement jt, = /, x, = / 4-/', x, = / -|- /' -f- /*. Si nous conser-

FORMULES PS LA DÉFORMATIOUr ; CONSÉQUENCES. I27

vons d*ailleurs leur signification habituelle aux notations X, e, r, il viendra

[l^x)—dx=zO,

Le moment fléchissant X s'exprime linéairement , pour chaque section , en fonction des inconnues T, T', T", T** et des forces connues : sa substitution dans les |^elations ci-dessus (comme dans les exemples précédents] fournirait trois équations entre T, T', T", T*" et Tinconnue auxiliaire p^ qui représente le déplacement angulaire de la section initiale. On aura encore deux équations en égalant à zéro la somme algébrique des forces extérieures et celle de leurs moments relativement au point A. Cela fait ainsi cinq équations entre cinq inconnues; on pourrait aisément mettre celles-ci en évidence dans les trois premières, où elles ne figurent qu'implicitement.

Mais cette méthode conduirait, dans la pratique, à des opérations longues et pénibles, surtout si le nombre des appuis était un peu grand et si l'on traitait le moment d'inflexibilité <?r' comme une fonction variable de X, Habituellement, il serait préférable d'employer un autre procédé, que nous indiquerons plus loin dans un chapitre spécial consacré aux poutres droites.

S9. Analyse sommaire d^un cas plus général, — Supposons un réseau de pièces dont les fibres moyennes sont dans un même plan contenant aussi les forces extérieures, et dont les sections ont une forme telle, que la déformation se produit aussi dans ce plan (n° 48). Ce réseau est formé . par une pièce principale sur laquelle viennent s'embrancher, par articulation ou encastrement, des pièces secondaires indépendantes les unes des autres. On suppose que la pièce principale ait i points assujettis à glisser sur des courbes fixes sans frottement ; y points fixes, parmi lesquelsy' sont des appuis simples et y* des encastrements ; %k points reliés deux à deux par des tirants articulés à leurs extrémités ; / points reliés à des points fixes par autant de pièces; parmi ces / pièces, il y en a /' articulées à leurs deux extrémités , /" encastrées à leur extrémité fixe et articulées à leur point de croisement avec l'arc principal, l"* encastrées au contraire à ce dernier point et articulées à l'autre^ /'^ encastrées à leurs deux extrémités. Étant données la définition géométrique du système et les forces

qui le sollicitent, on demande les réactions des points fixes et les actions mutuelles des diverses pièces les unes sur les autres.

A chaque point assujetti à demeurer sur une courbe sans frottement répondra une réaction dont il n'y aura que l'intensité à rechercher, car sa direction sera celle de la normale à la courbe ; à chaque articulation correspondront des forces inconnues qui sont les composantes de la réaction totale suivant deux axes coordonnés; pour chaque encastrement il y aura, outre ces deux forces, une inconnue de plus, qui sera le moment du couple engendré par le transport en un point déterminé de la réaction totale dont on ne connaît plus d'avance le point d'application. On sait, en effet, que dans un assemblage articulé la réaction totale exercée sur une pièce par l'articulation passe au centre autour duquel la rotation peut s'effectuer ; mais il n'en est plus de même , évidemment , dans le cas d'un assemblage rigide , qui est capable d'empêcher une rotation autour de son centre. Ainsi donc il y aura un nombre total d'inconnues égal à

'•4-aC/''-i-^^- + a/'4-/''+n-+-3(y''-hr+/"'+a/").

Faisons maintenant le dénombrement des équations que nous pouvons écrire pour les déterminer.

En premier lieu, la Statique des systèmes invariables nous, donnera trois équations d'équilibre pour chaque pièce , soit en tout 3 (X-J-Z-f- 1).

Les variations Ao:, Ajrdes deux coordonnées de tout point glissant sur une courbe fixe ont entre elles une relation obligée. Soit, en effet, j =/(a:) l'équation de la courbe ; à cause de la petitesse de A x et Aj, on aura

En mettant pour x la valeur qui résulte de la figure donnée du système, pour Aj et Ao: leurs expressions en fonction des forces , cela fera donc une équation pour chaque point se trouvant dans la condition dont il s'agit, soit en tout /,

Les coordonnées de chaque point appartenant à deux pièces différentes doivent varier de la même quantité, quelle que soit celle des deux à laquelle on l'attribue : comme il y a 2^4-/ points dans ce cas, en exprimant ce fait on posera 2(2^-1-/) équations, ci. 2(2X4-/).

La variation angulaire p doit être la même pour deux sections faites au point où deux pièces viennent s'encastrer l'une dans l'autre. On aura, pour exprimer cette condition , un nombre d'équations qui sera r-^- /".