FORMULES DE LA DÉFORMATION; CONSÉQUENCES

Les variations des coordonnées sont nulles pour chaque point fixe : si donc on égale ces variations à zéro, on trouvera de cette manière des équations dont le nombre sera 2 (y+/).

Enfin les variations d'inclinaison des sections normales faites aux points fixes d'encastrement sont nulles, ce qui * donne encore lieu ày^H- /"-f-/»'' équations, ci j"-{- l"-h l'\

En récapitulant, on voit qu'il y a en tout

i 4- vH-y^- 7/' -h 7/-+- /"+ /"'+ a/'* 4- 3 équations. Nous avons vu que le nombre des inconnues est de

or on a, d'après la définition même des lettres,

>=/+/, / = /'4-/''-t-/'" + /"; par suite, le nombre des inconnues est encore exprimé par

Donc le nombre des équations posées ci -dessus dépasse de 3/ 4- 3/+ 3 celui des inconnues. Mais il est à remarquer que dans ces équations entreront nécessairement, comme on l'a vu au n** 51 , des constantes représentant pour chaque pièce le mouvement de la section initiale. Ces constantes seront au nombre de trois pour chaque pièce, et puisqu'il y a A* + / + 1 pièces , en comptant la pièce principale , les tirants et les pièces secondaires, on aura donc en définitive 3{A'4-'+i) inconnues auxiliaires, et par conséquent il y aura juste autant d'équations que d'inconnues.

Cet exemple pourrait, sans beaucoup de difficulté, recevoir une généralité plus grande, en écartant les hypothèses de la déformation plane de l'indépendance des pièces secondaires, etc. Mais quand on essaye d'exécuter des calculs de cette espèce , même pour des systèmes composés d'un petit nombre de pièces; on est frappé de leur immense complication (*). La généralisation dont il s'agit aurait donc peu d'intérêt pratique.

(*) P^oir dans nos Recherches analytiques sur la flexion et la résistance fies pièces courbes, chap. III, $ VI, le calcul des actions mutuelles et des réaction^ des appuis, pour un pont du système Vergniais.

I, 2« ÉDiT. 9

l3o GHAPITEB DBQXIÈMB.

§ III. — Remarques et théorèmes concernant la manière dont les forces eztérienres entrent dans les formules qui font oonnaltre la déformation d'une pièce. Conséquences.

60. Expression en fonction des forces extérieures, des facteurs contenant ces forces et entr^znt dans les formules générales de la déformation. — Quand on examine les formules démontrées aux n*** 45 et 46, pour calculer la déformation d'une pièce dans le cas le plus général (qui comprend par suite tous les autres), on y voit figurer d'abord un certain nombre de quantités dépendant de la forme et des dimensions de la pièce, puis d'autres quantités qui, directement ou indirectement, dépendent des forces extérieures : ces dernières quantités sont désignées par

Plus exactement on trouve les huit fonctions des forces extérieures

N, V, Pcosa, Pcosp, Pcosy,

XslnôcosA, Xsinôcos//, Xsindcosv;

or ces huit fonctions jouissent d'une propriété, sinon remarquable, du moins très-utile, que nous allons démontrer : ce sont des fonctions linéaires des forces extérieures, sans terme indépendant.

Afin de faciliter le langage, nommons :

iî une section transversale quelconque;

G son centre d*élasticité ;

F, F', F"",.*, les forces extérieures qui agissent sur la pièce

entre la section û et la section finale i R la résultante de translation de ces forces ; M l'axe représentatif de leur moment résultant par rapport

au point 0.

Les deux premières fonctions N et V sont la somme des projections des forces F, F', F",... sur la normale en G au plan û, et la somme des moments des mêmes forces relative-^

FORMULES DE LA DÉFORMATION;; CONSÉQUENCES. l3x

ment à la même droite : il est visible qu'elles satisfont i l'énoncé de noire proposition.

La fonction Pc9sa, projection de Teffort tranchant sur Taxe des ^, s'obtient en projetant la résultante R sur le plan Û, et projetant ensuite cette projection sur l'axe des x; or la force R ferme le contour polygonal construit sur F, P, P",..., et par suite la même circonstance se maintient après la double projection dont on vient de parler : donc la projection finale ï*cos« sera la somme des projections finales des différentes forces F, F', F'^..., chacune d'elles devant d'abord être projetée sur le plan Q et de là sur l'axe des x. Chaque force est ainsi multipliée par deux cosinus, et 11 est clair que la sommé des produits renferme F, F', F",... au premier degré, sans avoir d'ailleurs de terme indépendant. Donc la proposition est encore vraie pour Pcosa ; la même démonstration prouve qu'elle l'est aussi pour Pcosp et Pcosy.

Il reste encore à montrer qu'elle s'applique également aux trois dernières fonctions, qui dépendent du moment fléchissant X. Ce moment a pour axe représentatif la projection orthogonale de M sur le plan û, et cette projection, d'après la théorie des moments donnée en Mécanique rationnelle, serait elle-même la résultante des projections analogues obtenues en prenant isolément chaque force F, F', F'',.... De là il suit que la flexion produite par X est (n° 19} la résultante de celles que produiraient les couples fléchissants dus à chacune des forces F, F', F'',... ; ou, ce qui revient au même, que la projection de la flexion résultante sur un axe est la somme algébrique des flexions partielles projetées. Cette projection satisferait donc à l'énoncé du théorème, parce que les formules du n** 19 prouvent que la flexion est proportionnelle au couple fléchissant et conséquemment à la force qui l'engendre. Donc il en est de même pour les quantités

Xsînôcosi, Xsinôcos/x, Xsinôcosv

qui représentent, sauf le diviseur er» uniquement déterminé par la section O, les projections de la flexion résultante sur les trois axes coordonnés* Les huit fonctions dont i! s'agit jouissent donc bien de la

l3a 'CHAPITRE DBUIIÈMB.

propriété d'être linéaires et sans terme indépendant ^ par rapport aux lettres qui expriment l'intensité des forces extérieures : elles contiennent en outre comme facteurs les cosinus des angles que chaque force fait avec les axes coordonnés, et aussi les coordonnées des points d'application, sans parler de ce qui est nécessaire pour définir la section à laquelle se rapportent N, P, V, X. Au reste il est facile de s'arranger pour que tout ce qui concerne les forces ne figure plus qu'au premier degré dans les huit expressions. Prenant une force F, par exemple, on la transportera parallèlement à elle-même au centre d'élasticité de la section transversale qui contient son point d'application (il ne s'agit pas ici.de la section Q), en lui adjoignant simultanément un couple convenablement choisi ; puis on décomposera la force dans sa position nouvelle, en trois forces parallèles aux axes coordonnés, et le couple en trois couples perpendiculaires à ces axes. Il est clair qu'on n'aura ainsi rien changé à N, P, V, X pour une section quelconque, et que par conséquent la déformation et les tensions moléculaires seront restées les mêmes, puisque la force F est remplacée par un système équivalent et appliqué à la même section. Or, après celte transformation, il reste seulement des forces de directions constantes, appliquées sur la fibre moyenne, et des couples dont les plans ont toujours les mêmes orientations. La somme des projections sur un axe et la somme des moments relativement à un axe ne contiendront donc plus, comme éléments destinés à définir les forces, que les intensités des forces et couples qu'on leur a substitués : le surplus proviendra de l'axe ou des dimensions de la pièce. Enfin ces forces et couples substitués n'entreront qu'au premier degré, en vertu même de la proposition démontrée plus haut : on aura donc bien atteint le but qu'on s'était proposé.

61. Expression, en fonction des forces et du coefficient t, des six constantes àx^, Ajo, Azo, m^, n^, p^y qui déterminent le mouvement de la section initiale. — Les six constantes qui déterminent le mouvement de la section initiale pourraient être données d'une manière absolument indépendante des forces; mais dans les applications pratiques il n'en sera

P0BIIULB8 m tk JïtÊOVÊktlOm GONStQUKNGBS. l33

presque jamais ainsi. Les conditions qui ont servi précédemr ment à en trouver la valeur (n"" 51) reviennent toutes à égaler à zéro les variations* de coordonnées d'un point» ou la rotation d'une section : nous admettrons, comme un fait, qu'il en est toujours de même; toutefois, comme le contraire peut avoir lieuy ce sera une restriction apportée à l'entière généralité de nos déductions, et il conviendra de ne pas l'oublier. On conclut facilement de notre hypothèse que les six constantes sont des fonctions linéaires, sans terme indépendant, des forces extérieures et du coefficient de dilatation t, c'est-à-direqu'en appelant K, Ki, Ks,..., K,- des coefficients qui dépendent seulement des dimensions de la pièce et de la situation des forces extérieures, on aura, pour exprimer une quelconque de ces constantes, des valeurs de la forme

(i) KF -h K.F, -f- K,F, -h . . . K,T.

En effet, après qu'on aura remplacé dans ikXiy A^„ ikZi, mi, Tii, Pi (n*** 45 et 46) les huit quantités ci-dessus considérées (n"* 60) par leurs valeurs en fonction des forces, on aura des fonctions linéaires, *sans terme indépendant, des quantités AXi, A/t, Az«, mo, Wo, p., T, F, F„ F„. . . . Donc les six équations d'où l'on devra tirer les inconnues Aoto, A/o» Az«, m«, n., pt seront du premier degré, et les termes indépendants des inconnues (qui sont les seuls dans lesquels entrent t, F, F„ Fa,...) auront la forme (i) : donc enfin ces inconnues auront aussi des valeurs de la forme (i), car pour calculer chacune d'elles il faudrait multiplier les termes indépendants par divers coefficients des inconnues, et faire des sommes de produits pareils.

62. Expression en fonction de$ forces et du coef^cient r des six quantités Aiti, Aj„ Az„ m,, /i„ pi, qui déterminent le mouvement d'une section quelconque. — En reprenant les formules des n** 45 et 46, et remplaçant N, P, V, X, ainsi que A^o» Ajo» Azo, m«, no, p., par leurs valeurs qui sont de la forme (i) avec ou sans le dernier terme, on trouve encore des valeurs qui ont la forme (i). Donc on peut énoncer. ce théorème, dont la vérité subit toujours la restriction du n"" 61 :

i34 CBÀPiTiB ramuliiE.

Les six quantités àxif A^i, Azi, miy Utypi, qui caractérisent la déformation en un point quelconque de la fibre moyenne» sont des fonctions linéaires, sans terme indépendant, des forces extérieures et du coefficient de dilatation x .provenant de causes étrangères à ces forces»

Ou bien encore, on peut remarquer que si, dans une fonction de la forme (i), on suppose successivetnenl que chacune des quantités F, F„ F„. . ., t subsiste seule, les autres s'annulant toutes, on reproduira, l'un après l'autre, tous les termes de la fonction. Donc le théorème précédent ï)eut encore s'énoncer en disant :

Les six éléments de la déformation en un point quelconque de la fibre moyenne s'obtiennent en faisant y pour chacun d'eux y la somme des valeurs qu'il prendrait, si l'on faisait agir successivement, d'abord les diverses forces extérieures, puis la dilatation provenant de causes étrangères à ces forces.

Ainsi l'effet spécial dû à chaque force n'est pas altéré par la présence des autres : les déformations se superposent pour donner l'effet total. Celle conséquence n'aurait pas pu être établie, si les déformations n'avaient pas été supposées trèspetites, et si l'on avait eu pour déterminer les six constantes des conditions d'une autre espèce que celle admise plus haut 5 elle serait également infirmée, si le coefficient de dilatation t n'était pas indépendant des charges ; par exemple, si la chaleur ne dilatait pas également une barre tendue et une barre comprimée, ce que, à notre connaissance, les physiciens n'ont pas vérifié.

63. Expression des forces inconnues en fonction des forces données. Conséquence relative aux éléments de la déforma-tion. — Distinguons les forces extérieures qui agissent sur chacune des pièces composant le système considéré, en deux groupes : le premier comprendra celles qui sont des données immédiates ; le second, celles qui sont inconnues à priori et que l'on doit déterminer d'après les conditions du problème, suivant les procédés qui ont été indiqués dans le § II. Gomme on l'a vu, les équations que l'on doit poser à cet effet sont de deux espèces différentes. La première espèce d'équations est

FORHtll» DE Lk DÉrOtMATlOH; CONSÉQUBNGBS. l35

foumie par la Statique des systèmes invariables t on égale à zéro soit la somme des moments des forces par rapport k un axe, soit la somme de leurs projections sur une droite dé« terminée. Il est clair que par ce moyen on obtient toujours des équations dans lesquelles toutes les forces» données ou non» entrent au premier degré» sans terme indépendant. Les équations de la seconde espèce sont celles que l'on trouve en exprimant que tout point qui glisse sur une courbe fixe se meut suivant la tangente à cette courbe» en égalant à zéro les déplacements absolus de certains points Immobiles» ou les variations angulaires des encastrements fixes» ou les différences de ces quantités pour certains points» avec les quan-* tités analogues évaluées pour les mêmes points, considérés comme appartenant à une autre pièce (n"" 59). De toute ma«* nière» si Ton a pris pour inconnues les composantes des forces cherchées suivant trois directions rectangulaires et leurs moments par rapport à trois axes déterminés ( n"^ 60 )» on pose toujours (n"" 62) une série d'équations dans lesquelles toutes les forces et le coefficient t entrent au premier degré» et où il n'y a pas de terme indépendant de ces quantités.

Toutes les équations qui serviront à déterminer les forces inconnues seront donc des équations du premier degré» dans lesquelles le terme indépendant des inconnues sera une fonction linéaire» sans terme constant» des forces données et du coefficient de dilatation. Donc» d'après ce que nous avons déjà dit (n® 61) sur les valeurs des inconnues dans un système d'équations du premier degré» on arrive à cette conclusion :

i<* JLes composantes des forces inconnues suivant trois di^ rections rectangulaires et leurs moments par rapport à trois axes déterminés sont des fonctions linéaires des forces données et du coefficient de dilatation r, sans terme constant*

2" Les mêmes composantes et moments peuifent se déter^ miner en faisant la somme des valeurs qu'on obtiendrait, si l'on conservait une seule des causes qui les produisent^ toutes les autres étant supprimées.

Les causes sont ici les forces données et le coefficient de dilatation*

l36 CHAFmtB BBUXiÈMB.

Nous avons vu au n"* 62 que les éléments de la déformation en un point quelconque de la fibre moyenne, c'est-à-dire les six quantités A:r„ A/i, Az„ m„ ni, ;?,, sont des fonctions linéaires des forces extérieures et du coefficient de dilatation r, sans terme constant. Si Ton imagine que dans leurs expressions on remplace les forces extérieures inconnues par leurs valeurs en fonction des forces données, d'après le théorème précédent il est clair que Ton aura toujours une somme de termes consistant dans le produit d'un coefficient par Tune des forces données ou par r. Donc le théorème du n"" 62 et la conséquence que nous en avons tirée peuvent être modifiés en ce sens qu'au lieu de toutes les forces extérieures, on est en droit d'y faire entrer seulement les forces extérieures données : seulement, quand on fera le calcul pour l'une des forces séparées ou pour la dilatation, on devra tenir compte des forces extérieures qui s'exerceraient dans les liaisons de chaque pièce, sous la seule action de cette force ou dilatation.

11 est bien nécessaire de remarquer ici, pour ne pas faire d'application inexacte des théorèmes précédents, qu'ils sont sujets à une restriction tout à fait analogue à celle qu'on a exprimée (n^6i) lorsqu'il s'agissait des six constantes. On a vu qu'il y a deux espèces d'équations servant à déterminer les réactions inconnues, et nous avons admis, comme fait ordinairement réalisé, que celles de la seconde espèce s'obtiennent en égalant à zéro les déplacements de certains points ou certaines rotations, etc. Or, le contraire peut encore arriver ici, de même qu'au n^ 61, et en voici un exemple bien simple. Supposons une poutre droite horizontale, chargée de poids et supportée par trois appuis inférieurs tels, que celui du milieu ne touche pas la pièce dans son état naturel ou primitif, mais qu'il en soit séparé par une petite distance /. Tant que les charges produiront, au point correspondant de la fibre moyenne, un abaissement Aj, moindre que /, l'appui central n'interviendra pas et la réaction sera nulle; quand Aji tendrait à dépasser/, l'appui fournira la réaction nécessaire pour le ramener à cette limite. Véquation à poser dans ce cas ne serait donc pas A^i = o, mais A ji =/; par conséquent, notre point de départ étant inexact, les conséquences le seraient aussi.

F0EMULE8 M LA BfiPOBIIJlTIOll ; GOMStQUBNCBS. l37

La réaction de l'appui, sous Taction d'un système de charges capables d'abaisser la pièce jusqu'à son niveau, se compose«rait d'une constante, plus d'une suite de termes contenant chaque force au premier degré. On ne pourrait plus dire que sa valeur est la somme de celles qui se produiraient sous chaque charge prise isolément ; car d'abord ces charges isolées donneraient peut-être chacune une réaction nulle» parce que Aji resterait au-dessous de/, et quand le contraire aurait lieu, la constante serait comptée autant de fois qu'il y a de charges, tandis qu'elle devrait l'être une seule fois.

En résumé, les théorèmes des n"" 62 et 63 ne devront être appliqués que dans les cas où la nature des conditions propres à déterminer les six constantes et les forces inconnues serait bien celle que nous avons admise, sans quoi l'on pourrait se tromper gravement. .

64. Autre énoncé des propriétés établies au n* 63. — Les théorèmes que nous venons d'établir s'énoncent encore d'une autre manière. Puisque la variation de Tabscisse Ao^t est la somme des variations qOe x, éprouverait si chaque force connue et la dilatation T agissaient successivement à l'exclusion de toutes les autres causes, et puisque l'axe des x est arbitraire, on peut immédiatement conclure l'énoncé suivant :

Quand les théorèmes du w° 63 sont applicables^ le déplacement de l'un des points, par suite de la déformation, est la résultante ( c* est-à-dire la ligne qui ferme le contour polygonal) des déplacements qui se produiraient^ si l'on faisait agir isolément y et l'une après l'autre y toutes les forces exté^ rieures connues et la cause des dilatations linéaires indépen* dantes des charges.

Le même théorème est vrai pour la rotation d'une section normale; il se démontrerait d'une manière toute semblable. Il s'applique encore et se démontre de même quand il s'agit de trouver l'une ou l'autre des six quantités ( trois sommes de projections et trois sommes de moments) nécessaires pour définir un système de réactions inconnues qui s'exercent dans une section donnée. Dans ce dernier cas, il n'est pas nécessaire qu'on, cherche isolément chacune des six quantités en

l38 CHAPmB MUXUUB.

question : on peut dire que le système des réactions i trouver est équivalent à Fensemble des systèmes dont chacun comprendrait les réactions partielles dues à l'une des forces connues prise toute seule.

66. Forces équivalentes. — Dans la Statique, on appelle système de forces équivalentes ceux qui ont une même résultante de translation et un même moment résultant pour un point quelconque : l'un des deux systèmes appliqué à un corps invariable en équilibre peut être remplacé par l'autre, sans que l'équilibre soit troublé. Mais ce qui peut changer beaucoup en pareil cas, ce sont les pressions et tensions des diverses parties du corps, et ses déformations, s'il n'est pas rigoureusement invariable. Par exemple, un système de deux forces égales et contraires appliquées aux deux extrémités d'une droite ne troublera pas l'équilibre, mais il est visible qu'il modifiera les actions intérieures et produira une variation de longueur.

On devra donc procéder avec circonspection, dans tous les problèmes relatifs à la déformation et à la résistance des matériaux, toutes les fois qu'il s'agira de remplacer une résultante par ses composantes, ou inversement, ou plus généralement toutes les fois qu'on voudra substituer un groupe de forces à un autre groupe équivalent. La condition pour que deux groupes de forces soient réellement équivalents, au point de vue qui nous occupe, c'est que les valeurs fournies par les deux groupes pour les quatre quantités N, P, V, X soient constamment les mêmes dans toutes les sections; car on a vu par toutes les formules établies jusqu'à présent, que les deux groupes entraîneraient alors Içs mêmes déformations et les mêmes tensions intérieures. Ainsi l'on pourra, par exemple, remplacer une résultante par ses composantes; mais il faudra que les points d'application des unes et des autres restent dans la même section : c'est là une condition indispensable. En effet, supposons une force R appliquée au point H de la section normale CD (fig, 34); nous pouvons parfaitement, sans changer N, P, V et X en aucun point de la pièce^ remplacer R par deux composantes S, Q concourantes en H. Mais nous

FOMCLKS DB tk DtPOUiTIOH; COmtOOKVCBB. iSg

n'avons pas la liberté de transporter R, S ou Q en une autre Fig.3{. section que CD. En effet, si Ton

^ doit considérer les forces qui agis-

^ sent depuis une certaine section

î^^^^ jusqu'à l'extrémité B, il faut cesser

gv \^^^^ de compter R ou ses deux compo- ^ santés dès l'instant qu'on a dépassé

la section CD. Or c'est ce qui n'aurait pas lieu si l'on appliquait R en K ou bien S en I, par exemple. Il est clair que de cette manière on introduirait dans les expressions de N, P, V^ X, entre L et K ou entre L et I^ une force qui ne devrait pas y figurer.

66. Propriété des arcs symétriques, mais non symétrique^ ment chargés. — Lorsqu'un système de pièces est symétrique par rapport à un plan, sans que les forces extérieures soient distribuées symétriquement, et qu'on suppose applicables les théorèmes des n"^ 62 et 63, il existe entre les circonstances de la déformation pour les points symétriques une relation dont on pourra quelquefois tirer parti.

Prenons pour axe des x une perpendiculaire au plan de symétrie, et supposons les axes des y et des z situés dans ce plan; soient x,Xy ^9 ^'> X'9 ^' ^®s coordonnées de deux points symétriques; Aor, Aj, Ai?, m, n,/?, Aar', Ar', A«', m', n',// les six quantités qui caractérisent la déformation en chacun de ces points. Imaginons qu'on rende symétrique le système des forces données (F) en doublant par des forces symétriques celles qui en seraient dépourvues ; alors on aura pour le point (a;, j, z) les six éléments de la déformation Aar„ Aj„ Az„ /n„ n,, /?!, et pour le point symétrique on aura — - A^i, Aji, Azi, /n„ — Wi, — /?!. De même s\; au lieu de doubler toute force non symétrique, on la supprime complètement, on aura pour le point [x,fy z) les éléments de la déformation A.r„ Aja, A-îj, m^y n^y Pi. En désignant par (F,) et (F2) les systèmes de forces symétriques auxquels répondent ùiXx et A^r,, on voit qu'en passant de (F2) à (F), il y a, dans les éléments de la déformation pour le point {Xy 7, 2), des variations représentées par

(2^) ùkX-^UXiy Aj — Aj^îj Az — A-Za, m— mj, n — /ij, p— /?j,

l4o CHAPITRE DBUXllmB.

et ces variations seraient les éléments de déformation qui se produiraient au point dont il s'agit par la seule action des forces du système (F) dépourvues de symétriques (n®* 62 et 63), car ce sont ces forces qu'il a fallu ajouter pour passer de (Fs) à (F).

De même on reconnaît que, dans le passage de (F) à (F.), il y a dans les éléments de la déformation pour le point (x', y\ z' ) des changements représentés par

| — A^, — A^', Aj, — A/', A-î, --Ay, I mi — rnf, —rix — n'/ —p,—p'\

et ces quantités seraient les éléments de déformation dus à la seule action des forces par lesquelles diffèrent les systèmes ( F ) et (F,), lesquelles sont symétriques de celles qui constituent la différence de (F) et (F,).

Cette dernière remarque montre que les quantités (2) doivent être symétriques des quantités (3), et, par suite, on aura

A^ — Ao;, 1= A^Ti H- Ao?', ^y^ — AjTa = A j, — A/', A^~ Az2 = Az, — A^^

m ^ rrii =: nit — m', n — /ij = rii H- n\

P- P7 = Pi +P'\

relations trèç-simples dont on pourra souvent tirer parti, car la condition de symétrie dans les forces est de nature à faciliter les calculs, en sorte qu'on aurait plus commodément A^, et Aojj, par exemple, que A^ et A^'.

Nous aurons encore la même chose à dire au sujet des forces inconnues, et la démonstration serait absolument identique. Les axes des coordonnées [Xy y, z) étant toujours définis comme nous venons de le faire, appelons R, S, T les trois composantes parallèlement à ces axes, du système de forces inconnues qui provient d'une des liaisons; soient aussi K, L, M la somme des moments de ce système par rapport aux mêmes axes; R', S', T, K', L', M' les quantités analogues pour

FORMULES DE LA BÉFOBM ATIOU ; CONSÉQDUfCES. ff4l

le point symétrique; R„ S„ T„ K„ L„ M„ R„ S„ T„ K^, L„ M, ce que deviennent R, S, T, K, L, M quand on remplace le système des forces données (F) successivement par (F,) et par (Fa). On aura

T — T, rur T, — r ,

A. lis ^^^ -i*-! li- 9

L~ L,= L. -hL',

En résumé, lorsqu'un système de pièces est symétrique par rapport à un plan, mais non symétriquement chargé, si on le ramène à la symétrie de deux manières : i° en ajoutant pour chaque force extérieure privée de sa symétrique une force égale en intensité et située symétriquement; ^^ en supprimant les forces dont les symétriques manqueraient; que dans ces deux hypothèses on détermine Tun des six éléments de la déformation en un point de la fibre moyenne, la somme des deux quantités ainsi déterminées sera égale à la somme ou à la différence des quantités analogues, calculées pour le point considéré et pour son symétrique, avec le système primitif de forces. La même propriété est vraie pour les composantes d'une réaction inconnue, parallèlement aux trois axes coordonnés, et pour ses moments par rapport aux mêmes axes. On doit, dans l'application de ce théorème, prendre deux des axes coordonnés dans le plan de symétrie et le troisième perpendiculaire à ce plan. On doit de plus prendre la différence des quantités analogues pour deux points symétriques, lorsque la symétrie leur donne des directions opposées. C'est ce qui arrive, par exemple, pour les déplacements ou forces en projection sur la perpendiculaire au plan de symétrie ; c'est ce qui arrive aussi pour les rotations et moments autour de lignes contenues dans ce plan.

67. Application du théorème général démontré au n® 66. — Nous allons montrer, par un exemple très-simple, l'usage qu'on peut faire du théorème qui vient d'être démontré. Sup-

l4d GBAPintB HBmatME.

posons une pièce symétrique par rapporta nne yerticale et reposant sur deux appuis de niveau : cette pièce étant cliargée de forces d'une manière ciuelconque, on demande de détermi* ner les poussées horizontales qu'elle exerce contre ses deux appuis. Soient F l'une des forces données qui agissent sur la pièce, et K son angle avec une horizontale prise pour axe des x ; Q, Q' les poussées demandées estimées suivant les x positifs avec un signe convenable; Qi et — Q, ce que deviendraient ces forces, en complétant la symétrie du système proposé par l'addition de nouvelles forces comme il est ditaun"66;Qj, — Q, les valeurs qu'elles prendraient en supprimant les forces ajoutées et leurs symétriques en même temps. On aura (n^ 66)

De plus, en vertu de l'équilibre des forces extérieures, il faut que l'on ait

Q-4-Q' + 2FcosÇ=:o.

Si l'on savait calculer la poussée dans le cas de forces symétf iques, on pourrait avoir celle qui correspond au cas où la symétrie n'existe plus, au moyen de deux équations du pre* mier degré extrêmement simples»

Lorsque 2 F cos^ est égal à zéro, comme par exemple lorsque l'arc ne supporte que des poids, ou des forces symétriques en intensité et en direction, sans l'être nécessairement en position, on a

les deux poussées sont égales et de sens contraire^ et la pre^ mière relation devient

c*est-à-dire que la poussée est la moyenne arithmétique entre les poussées Qi et Qa«

FORMOLBS DB UL DJUTOUATIO!! ; G0N8ÉQUENr4ES. l^d

§ IV. — Des mouvements vibratoires dans les pièces élastiques.

68. Principes généraux servant à la mise en équation des mouvements vibratoires. — Les formules données au § I de ce chapitre, qui font connaître les diverses circonstances de la déformation d'une pièce élastique, ont été établies en exprimant qu'il se produisait, entre deux sections consécutives de la pièce, un déplacement relatif développant des actions moléculaires capables de faire équilibre à un certain système de forces extérieures. Lorsque la pièce vibre, naturellement cet équilibre n'existe plus; mais, en vertu du principe de d'Alembert, on sait que les équations qui sont la conséquence de l'équilibre d'un système matériel doivent être encore satisfaites dans l'état de mouvement, pourvu qu'aux forces réelles on joigne les forces d'inertie des diverses molécules. Pour avoir les équations du mouvement vibratoire, tout se réduirait donc à introduire dans les formules du § I lesdites forces d'inertie, qu'on devrait y faire figurer en évaluant les quatre fonctions des forces désignées par N, P, V, X. Ces forces d'inertie seraient d'ailleurs ' exprimées au moyen des déplacements des divers points, considérés comme fonctions du temps.

Un autre procédé, qu'il sera ordinairement plus commode d'employer, consisterait à faire l'application du principe de d'Alembert, non plus à la portion de pièce comprise entre une section normale et l'extrémité, mais à l'élément prismatique, infiniment petit compris entre deux sections normales infiniment voisines. Nous allons faire usage de cette méthode pour mettre en équation le mouvement vibratoire d'une pièce homo* gène, à fibre moyenne plane, à section constante et symétrique par rapport au plan de la fibre moyenne. Les forces extérieures agissantsurla pièce entre deux sections normales quelconques sont réductibles à des forces contenues dans ce plan, parallè^ lement auquel sont dirigées les vitesses des mouvements que les sections possèdent à l'instant pris pour origine du temps* D'après ces conditions, il est clair qu'on se trouvera dans le cas de la déformation plane, c'est-à-dire qu'à une époque quelconque du mouvement tous les points auront des vitesses parellèles au plan de la fibre moyenne^

l44 CHAPITRE DBUXtfiMB.

Cela posé, soit AB la pièce donnée (^g*35); CD, CD\ deux sections normales infiniment voisines, dont G et G' sojit les centres d'élasticité et de gravité. Appelons :

Fîg. 35. Q Taire constante de la sec-

tion transversale ; rie rayon de gyration de cette surface relativement à Taxe autour duquel s'opère la flexion ; s la longueur, comptée dans // rétat primitif de la pièce,

/ entre le point G et un

autre point A de la fibre moyenne, pris pour origine; p le rayon de courbure primitif de la fibre moyenne en G; M, </, les déplacements du point G à un instant quelconque, parallèlement à la direction Gu de la tangente et à la direction GC de la normale; 0 la variation de Tangle que fait GC avec une ligne fixe, celle rotation 0 étant comptée positivement dans le sens des aiguilles d'une montre, pour fixer les idées. R, T, les sommes algébriques des projections des forces directement appliquées à rélément CD CD', les projections étant respectivement faites sur les lignes G m et GC, et les forces étant divisées par la masse de l'élément en question; M la somme des moments desdites forces rapportées à l'unité de masse, relativement au centre de gravité de CD CD', le sens positif étant le même que pour 6 ; g l'accélération des corps pesants dans le vide ; n le poids par mètre cube de la matière qui constitue la

pièce; E son coefficient d'élasticité longitudinale; A-E son coefficient d'élasticité transversale.

La forme de la fibre moyenne dans son état primitif étant donnée, la position primitive d'une section sera suffisamment définie par la valeur de s qui lui correspond. A l'instant pris

FORMULES DE LA. DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. l45

pour origine du temps, cette section ayant reçu des déplacements et des vitesses connues, et les choses étant de même pour les autres sections, il s'agit de déterminer le mouvement de la pièce. 11 est clair qu'on y parviendra si Ton peut exprimer en fonction des et du temps / les trois quantités m, v, Q, C'est ce que nous ferons à Taide du principe de d'Alembert; maïs auparavant, il faut chercher comment on exprime les forces d'inertie de la masse comprise dans l'élément CDC'D', ainsi que les actions moléculaires exercées sur cette masse par la matière voisine, au moyen des déplacements m, (/, 6 ou de leurs dérivées en s et /.

La masse totale du prisme CDC'D' est -- Qds; l'accélération

de son centre de gravite a pour composantes -^ ^^ "^î *^ ^®"

sultante de translation des forces d'inertie de cette masse aura donc pour composantes, parallèlement à w et à c, les forces

^RQds^, ~ -Qds^' D'un autre côté, CDC'D' tourne g dP g dt^

, . de autour de son centre de gravite avec une vitesse angulaire -7-

et une accélération angulaire -tt^ 5 d'où résulte un couple

d'inerti^e ayant pour intensité le produit du moment d'inertie

par--^,cest-a-dire ~ -û^^-'^'-^-

Quant aux actions moléculaires exercées dans CD, par exemple, on observera en premier lieu qu'elles dépendent uniquement du mouvement relatif des deux sections CD, CD'. Le mouvement absolu de CD consiste en une translation ( m, c), et une rotation 6 autour de G qu'on peut remplacer par une rotation égale autour de G', jointe à une translation — 9 . GG' ou — Ods, parallèle et de sens contraire avec Gc; pour avoir le mouvement relatif, on prendra ces mouvements m, c, —9d$ et 9 en sens contraire, et on les composera avec le mouvement de CD', lequel consiste en une translation

/ du , di^ j\