L 2« ÉDIT

l46 CHAPITBE DEUXIÈME.

dO et une rotation 9 -{---T-ds. Il est clair d'abord que la rotation

relative ou flexion sera exprimée par -7- ds; reste à exprimer la

translation relative, ou plutôt ses composantes parallèlement hueiv, qui constituent respectivement l'extension et le glissement simples, entre les sections dont il s'agit. En projetant d'abord sur G m, la translation — m se projette en vraie grandeur, et il en est de même de m 4- -r- ds, aux infiniment pe-

dv lits du second ordre près; v -^--rds faisant avec Gw un angle

complémentaire de l'angle GOG' des deux sections ou de —

donne — en projection, sauf une erreur infiniment petite du

second ordre; enfin v QiQds sont perpendiculaires à l'axe de projection. Donc enfin la composante parallèle à Gm de la translation cherchée est

du , vds

-y-ds-^

ds p

On reconnaît de même que la composante suivant G (^ a pour expression

rff , « , uds

-rds -h- 9ds •

as p

Dans le calcul de la translation relative, nous avons négligé les variations de l'angle GOG' pendant le mouvement; eu égard à la petitesse des déformations, cela ne peut entraîner qu'une petite erreur. 11 y a encore une erreur du même ordre quand

on considère (77""^"")^*®^ (^"^^ )^* comme les

valeurs de l'extension et du glissement simple; on devrait en effet projeter le mouvement, non sur la position primitive de la tangente ou de la normale, mais sur ces lignes prises dans la position qu'elles occupent à l'instant considéré.

A l'exiension simple ^^{-j- -^ - J répond dans la section CD

FORMULES DE LÀ DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. l47

de rélément CDC'D', suivant le sens opposé à Gw, la force

Eiî ( 77- -^- •" ) î ^^ même, au glissement répondra la foree

/rEi2( ^ -f- 0 — - j^ dans le sens opposé à Gi»; enfin la flexion

-j-ds donnera lieu au couple EQ,r^--r-y estimé en sens conas ' as

traire des rotations 0. Dans la section CJ)^ il y aura des actions moléculaires analogues, qui seront égales aux précédentes augmentées de leurs différentielles par rapport à s, et agiront dans le sens des déplacements. On composera entre elles toutes ces forces moléculaires exercées dans CD et CD', comme nous avons composé tout à l'heure les mouvements de ces deux sections, et Ton trouvera Faction résultante supportée par la matière de CDC'D', savoir :

Force parallèle à Gw :

Force parallèle à G^ :

^[^ds\ds '^p)'^p\ds p/J'

Moment total par rapport au centre de gravité de Télément, évalué dans le sens de la rotation 6 :

Par suite, on trouvera pour les équations du mouvement de l'élément prismatique considéré :

to.

,^8 CHAPIIEE DBOXifeMK.

Quand on néglige le glissement transversal, il faut, dans les

(dv m\

comme l'expression de la force totale de glissement P dans la section CD , force qui peut ne pas être nulle , bien qu'on néglige ses effets. Les équations du mouvement deviennent alors

[ ■5F-""^nirp^ n d*W*. P/ (^) { IF-^'^m ds npW* p/

et il faudrait y joindre la relation dv . u

ce qui ferait quatre équations entre les inconnues m, c, 0, P.

Ces équations aux différences partielles simultanées détermineront les inconnues, en fonction de s et de /, lorsque l'intégration pourra être effectuée et que Ton aura déterminé les fonctions arbitraires introduites par cette opération.

Quand on voudra faire usage des équations (i) et (a), il faudra bien se rappeler que les quantités R, T, M représentent des forces et un couple directement appliqués à la pièce que l'on considère. Si ces forces ou ce couple provenaient de Tactîon des masses liées à la pièce et entraînées dans son mouvement, on devrait, bien entendu, tenir compte, en les évaluant, de Tinertie de ces masses. Par exemple, si un poids p appliqué en un point K de la pièce prend , par suite de sa liaison avec elle, des accélérations j suivant l'horizontale et/ suivant la verticale, il faudra supposer appliquées en K, outre

le poids/?, les forces — ^ et — ^> dirigées en sens con-

traire de / et de/.

Pour le moment, nous ne pousserons pas plus loin l'étude de la question ; dans les cas pratiques les plus simples, la so-

FORMULES DE LA. DÉFORMATION; CONSÉQUENCES. l4g

lution présentera généralement de grandes difficultés, comme on le verra ultérieurement par les exemples que nous indiquerons. Nous n'avons voulu, en donnant les calculs précédents, que compléter la théorie générale de la déformation des pièces élastiques, par l'exposé de la méthode à suivre pour mettre en équation le problème des mouvements vibratoires. Ici se termine la partie purement théorique du Cours. Nous allons maintenant faire une série d'applications à des cas pratiques choisis parmi ceux qui intéressent plus spécialement les ingénieurs.

l5o CHAPITRE TROISIÈME.

§ I. — Poutres droites, à section constante, reposant sur deoz appuis et chargées transversalement.

69. Conditions générales à remplir par les poutres considérées dans ce paragraphe; problèmes à résoudre. — Une poutre droite appuyée à ses deux extrémités doit porter des charges toutes perpendiculaires à sa fibre moyenne. Si Ton admet, pour fixer les idées, que la poutre est horizontale, ces charges (abstraction faite des forces provenant des appuis) consisteront, par exemple, en un poids uniformément réparti sur la longueur de la poutre et comprenant le poids propre de celle-ci, ou bien en un poids unique concentré en un certain point. Lorsque le poids de la pièce n'est pas négligeable devant ce poids unique, on se trouve dans un cas mixte où il y a tout à la fois une charge uniformément répartie et une charge isolée. On suppose remplie la condition pour que la déformation ait lieu dans le plan qui contient toutes les forces extérieures (n° 48); enfin on suppose constante la section de la poutre, sauf dans un seul cas où il sera fait mention expresse de la condition contraire.

Cela posé, on peut avoir besoin de calculer les réactions des appuis, la déformation produite par les charges, les valeurs du moment fléchissant X et de Teffort tranchant P dans une section quelconque. Ce sont là les problèmes que nous allons passer en revue, en faisant diverses hypothèses particulières sur la nature des appuis et sur la distribution des charges. Nous reviendrons plus loin, avec quelques détails, sur la vérification de la stabilité dont il a déjà été sommairement question au n^ 21, et sur le calcul des dimensions d'une poutre à construire.

PROBLÈMES DIVERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. l5l

70. Relation entre le moment de flexion et report tranchant. — Toutefois, avant de commencer cette série de problèmes» il ne sera peut-être pas inutile d'établir une relation fort simple qui lie nos deux inconnues X et P, et par laquelle on peut facilement passer de Tune à l'autre. Pour cela nommons :

Q Tune quelconque des charges qui agissent perpendiculairement à la fibre moyenne, en y comprenant les réactions des appuis fixes ; ^ l'abscisse de la force Q, relativement à une origine choisie

d'une manière arbitraire sur la fibre moyenne ; X l'abscisse, relativement à la même origine, d'une section (S) quelconque, à laquelle répondent le moment de flexion X et l'effort tranchant P.

En désignant par la caractéristique 2 une sommation étendue à toutes les forces Q qui se trouvent entre la section (S) et la fin de la poutre, on aura par la définition même des quantités X et P (no 20)

ftc-^iA^^^w^uv^^ X:=^±:2Q ($ — ^),

d'où résulte la relation

L'effort tranchant est donc égal, en valeur absolue, à la dérivée du moment de flexion par rapport à l'abscisse. Ces deux quan-

tités P et -T— ont d'ailleurs même signe ou des signes contraires, suivant le sens positif qu'on adopte dans le calcul de X et de P; les signes seront contraires lorsqu'une force Q comptée positivement dans la somme algébrique 2Q donnera lieu à un moment compté positivement dans l'autre somme algébrique 2Q [\ — x).

11 est visible, d'après la démonstration ci-dessus, que la relation (i) s'applique, non-seulement aux poutres d'une seule travée, mais aussi aux poutres supportées par des appuis en nombre quelconque ; il n'est même pas nécessaire que les

l52 GHÀPITaE TROISIÈME.

forces Q soient transversales, pourvu qu'elles se trouvent dans un même plan et que leurs points d'application soient sur la fibre moyenne ; car alors leurs composantes longitudinales n'influeraient en rien sur les valeurs de X et de P, et Ton pourrait repéter sur les composantes perpendiculaires un calcul identique à celui qui nous a fourni la relation (i).

On peut encore écarter la restriction concernant la forme rectiligne de la fibre moyenne, et étendre la relation (i) au cas où cette fibre serait une courbe quelconque contenue dans un même plan avec toutes les forces extérieures. Considérons en effet une section (S) où il y a un moment de flexion X et un effort tranchant P ; prenons ensuite une section (S') séparée de la première par une distance infiniment petite ds^ et dans laquelle il y aurait un moment X h- rfX. Si Ton imagine une pièce droite ayant pour fibre moyenne l'élément ds prolongé, et supportant les mêmes forces extérieures que la pièce courbe, la relation (i) appliquée à cette pièce droite donnera

rfX±:Prf5=:o,

Or les quantités rfX et P sont les mêmes dans la pièce droite et dans la pièce courbe, qui ont les sections communes (S), (S'), et qui sont sollicitées par les mêmes forces extérieures : l'équation précédente est donc également vraie pour la pièce courbe. Donc l'effort tranchant dans celle-ci est toujours égal

en valeur absolue à la dérivée ---? le signe étant contraire ou

identique suivant le sens positif adopté dans l'évaluation de P et de X, et devant être choisi comme on l'a dit tout à l'heure. Mais il est bien important de remarquer que le procédé employé plus haut pour démontrer la relation (i) dans le cas des pièces droites suppose les forces agissant transversalement, ou tout au moins appliquées sur la fibre moyenne même. L'extension qu'on vient de faire pour les pièces courbes dépend naturellement de la même hypothèse. Si celte condition essentielle n'était pas remplie, le théorème exprimé par la relation (i) se trouverait parfois en défaut. Si, par exemple, une force finie agissait dans une. section (S) sans passer au centre d'élasticité de la section, il est aisé de voir que le mo-

PROBLÈMES DIVERS CONCERNANT . LES POUTRES DROITES. l53

ment fléchissanl éprouverait un accroissement fini en passant de (S) à une autre section infiniment voisine, prise d'un cer-

tain côté de la première : ■^— deviendrait infini et par suite

ne serait pas égal à P. De même, s'il existait sur chaque élé-

^ment de la pièce, outre une charge analogue à Q, un couple

infiniment petit, l'ensemble de ces couples n'influerait pas

sur Teffort tranchant, mais altérerait tout à la fois X et -j— -,

la relation (i) ne pourrait donc encore subsister sans modification.

71. Poutre reposant sur deux appuis simples. — On admet que le support placé en A (Jig. 36) est tellement disposé, qu'il ne peut fournir qu'une réaction verticale passant parle point A; Fig. 36. le support B est également assu-

|R jelti à une condition analogue.

Jb Dans ce cas la Statique élé-

" mentaire fait immédiatement connaître les réactions exercées sur la pièce en A et B. Si , par exemple , on suspend un poids 2R au milieu de la pièce, ces réactions consisteront en une force égale à R pour chaque appui. Elles seront de même exprimées par pa, dans le cas d'une répartition uniforme de là charge, en appelant a la demi-longueur de la poutre et p le poids par mètre courant qu'elle supporte,y compris son poids propre.

Déterminons maintenant la figure de la fibre moyenne, après la déformation produite par les charges. A cet effet il faut prendre la formule (i) du n« 42. En supposant le cas de la charge unique aR appliquée au point C, et prenant les axes de coordonnées indiqués sur la Jig. 36, celte formule devient ici

dy R{a — x) dx^ er^

Le moment d'inflexibilité er^ étant constant, il est facile d'ef-

l54 GHIPITBB THOISIÈHB.

fectuer rinlégraUon, ei Ton trouve

dx er^ \ 2 /

sans constante dans le second membre, attendu que pour a? = G, -p est nul à cause de la symétrie. Intégrant une seconde fois et remarquant que y doit s'annuler pour x = a, on aura

R f ax^ x'\ Rfl* R , X, ,

•^ er^\ 1 6) 3er^ 6er'^ '^ '

équation qui est celle de la courbe ACB. La flèche CC =f s'obtient en faisant j? = o, ce qui donne

Quand la charge est uniformément répartie, on a, d'après la même formule (i) du n"* {^2 :

^ = .I^fa^xY-^P^(a^x) = P-(a^^x^);

dx^ ler'^ ' er'^ ^ ner^^ ^'

d'où Ton tirera de même

dx ier^\^ )

p /x* a^x^\ 5pa*

•^"""aer^yia 2 ) 2^er^

La courbe AC'B s'écarte alors assez peu de la parabole représentée par réquation

car la différence 7' ~ j a son maximum répondant bix^ = - a\

PROBLÈMBS DITERS GONCSENÀNT LES POUTRES DROITES. l55

qui donne

pa^ q , pa* 5

d'où résulte

La valeur de la flèche devient

f— ^P^ •'"~24tfr«*

Pour se rendre compte de la pression ou tension longitudinale en un point quelconque de la section répondant à Tabscisse X, on procédera comme il est dit au n® 21. Ici, le moment fléchissant X est donné par les équations