X := — R(a — 4?) dans le cas de la charge unique aR
X=: p{a' — x^) dans le cas de la charge uniformément répartie ;
la quantité désignée par PA au n"* 21 n'est autre chose que la valeur absolue du moment X; sind est d'ailleurs égal à i puisque la flexion est supposée plane (n*» 48). Il sera donc facile de calculer la tension demandée. Si l'on veut avoir seulement son maximum, on voit que, d'une section à l'autre, les pressions et tensions ne varient qu'avec PA, et que par suite ce maximum a lieu dans la section faite en C, car les deux expressions ci-dessus prennent leur plus grande valeur pour x = o.
La tension transversale dans une section déterminée dépend de la force totale de glissement P, somme algébrique des forces verticales qui agissent depuis cette section jusqu'à une extrémité. Dans le cas actuel, on trouve facilement
P p: R, si la charge est concentrée au milieu de la pièce ; P izrrpaf, si la charge est uniformément répartie.
La première expression est constante; la seconde varie uni-
l56 GHIPITRB THOISlftHB.
formément avec x; elle est nulle en C et atteint son maximum
pa pour x = a.
Quand on compare entre eux les effets des poids 2/?a et aR,
on voit que pour avoir la même flèche il faudrait assujettir ces
poids à la relation ^ pa = R, c'est-à-dire que : au point de vue
de la flèche produite, un poids uniformément réparti sur la longueur entière de la poutre est l'équivalent des cinq huitièmes de ce poids condensés au milieu. Si Ton voulait au contraire que la tension ou pression maximum fût la même, il faudrait poser le maximum de R(a — a;) égal au maximum de
- /? ( a* — jc^ ), c'est-à-dire
R a = - pa^y ou bien R = - pa.
Donc, du point de vue de la tension ou pression maximum produite suivant la longueur des fibres, le poids uniformément réparti sur la longueur entière de la pièce équivaut à la moitié de ce poids condensée au milieu.
Dans le cas mixte où l'on aurait à la fois une charge ipa et un poids isolé 2R, on trouvera facilement ce qui se passe, en se reportant aux considérations exposées dans le § III du chapitre précédent. Il suffira d'ajouter algébriquement les effets dus à ces deux charges agissant isolément.
72. Même problèmCy dans le cas d'un solide d'égale résistance, — Il peut arriver que la section transversale de la poutre ci-dessus considérée (n®71), au lieu d'être constante, varie d'un point à l'autre de la fibre moyenne, sous la condition d'engendrer un solide d'égale résistance fn" 22), c'est-à-dire une poutre telle, que la tension maximum reste la même dans toutes les sections. Cela ne changera rien aux moments de flexion et aux efforts tranchants que Ton vient dé calculer, car les réactions des points d'appui étant déterminées uniquement par lés équations générales de l'équilibre ne subiront elles-mêmes aucun changement : mais ce qui pourra être plus ou moins altéré , c'est l'ordonnée j et notamment la flèche prise par la pièce en son milieu. Le moment d'inflexibilité er*
PROBLÈMES DIYBHS CONGBRNAHT LES POUTRES DROITES. 167
n'est plus constant, et Tintégration de Téquation différentielle entre / et ^ ne peut plus s'effectuer de la même manière. Nous allons voir comment on y parviendra dans quelques cas simples.
Supposons d'abord une section rectangulaire homogène de hauteur variable c et d'épaisseur constante 6, la première dimension c étant mesurée parallèlement aux charges. Si la charge concentrée 2R agit seule, le moment de flexion sera proportionne] à a — ^, et la condition d'une égale résistance (n^ 22) s'exprimera ici par
— -— =r const.,
ou, en désignant par Tindice o les valeurs des variables pour xz=o,
ou bien encore
. [a-^xY
La section étant un rectangle homogène de largeur con-'
stante, le moment d'inflexibilité varie proportionnellement
à c' : donc
L'équation différentielle de la fibre moyenne déformée devient donc
ou bien
On intégrera deux fois cette équation, en ayant soin de déterminer les constantes de manière à avoir -j- =0 pour :r = o,
l58 GBAPITBE TROISifiHE.
yz=zo pour iF == a, et Ton trouvera successivement
^or;j= 2Ra* I — -(a — a:)* ~ xa^ -f- a^ j-
Pour avoir la flèche /= CC [Jig. 36), il suffit de faire x=zo dans la dernière équation, ce qui donne
c'est-à-dire le double de la flèche qui se produirait si la section restait partout la même qu'au milieu de la poutre.
Si nous répétons le même calcul en substituant à la charge aR une charge uniforme 2/?«, sans rien changer d'ailleurs, le moment de flexion deviendra proportionnel k a^^ x^ au lieu de fl — X, ce qui conduit, pour exprimer l'égalité de résistance, à la relation
Par suite l'équation différentielle sera
Il en résulte par l'intégration
, dy 1 X
e^rl -r- = pa^arcsin — >
* ax 2 '^ a
La flèche CC répondant à :r = o sera comparée à la valeur f ^ qu'elle aurait si la poutre conser-
vait partout sa section du milieu, on voit que cette flèche a été
augmentée dans le rapport de - ( i ) à --^ ou de 1,870 à i.
Dans les exemples qui précèdent, nous avons obtenu Tinvariabilité du maximum de tension pour toute section transversale, en faisant varier seulement la hauteur quand on passe de Tune à l'autre : mais on peut tout aussi bien (et cela se fait souvent) laisser la hauteur constante en faisant varier d'autres dimensions. Si nous supposons en outre que les sections restent symétriques relativement aux axes de flexion^ il faut alors, pour remplir la condition d'égale résistance, que le moment fléchissant soit dans un rapport constant avec le moment d'inflexibilité de la section correspondante; car, en nommant toujours c la hauteur, le maximum de tension s'exprimerait,
Vhc Vh.Ec avec les notations du n** 22, par — p ou par p» et puis
que cette quantité est constante, par hypothèse, ainsi que £c,
PA
il en résulte bien que le rapport — ^ ne change pas. Sa valeur
serait toujours la même que dans le section centrale, c'est-àdire 5 s'il y a la charge unique 2R concentrée en C, et
£ — dans le cas de la charge uniforme; désîgnons-la généralement par D.
Ce même rapport, d'après l'équation fondamentale (i) du*
n** 42, doit être égal à ^-^ • Donc on a
et, par conséquent, la fibre moyenne affecte la forme d'une parabole du second degré à axe vertical (*). L'intégration
C^) Il serait plus rigoureux de dire que la fibre moyenne se courbe en àrc de
cercle; car — j exprime l'angle de flexion rapporté à l'unité de longueur (n® 17),
ce qui, pour une pièce primitivement droite, ne diffère pas de la courbure produite par la déformation : la courbure est donc constante, propriété qui carac-
1 6b G^APITEE TROISIÈME.
donne successivement
La flèche ce? =/ s'exprimera donc par Da» : elle serait >
avec la charge concentrée .... /= avec la charge uniforme /=
2^0 rj
En la comparant avec celle qui se produirait si la section restait
partout égale à celle du milieu, on trouve des rapports res-
. 3 6 pettivement égaux a - et ^ •
Les flèches d'un solide d'égale résistance posé sur deux appuis étant toujours évaluées au-dessous de leur grandeur réelle, quand on les calcule comme si toutes les sections avaient les mêmes dimensions que celle du milieu, on peut se demander quelle est la position occupée dans le solide par la section qui donnerait Heu à la même flèche, en supposant qu'elle fût prise pour section invariable dans toute l'étendue de la pièce. Cette question se résout facilement. Nommons, en effet, Xi l'abscisse de la section dont il s'agit et e,rj son mo-
ment d'inflexibilité : la flèche étant -5 r ou -r^- — r> suivant
3tf,rJ 24e, r}
qu'on fait agir la charge concentrée ou la charge uniforme, il faudra que le rapport -î-4 prenne , dans les quatre cas cidessus analysés, les valeurs respectives
térise le cercle. Le changement du cercle en parabole proyient de8>pproximations employées pour démontrer Téquation (i) du n® 42; il est d'ailleurs insensible, par suite de la petitesse que nous attribuons à la variation de forme, un arc de cercle h flèche très-petite pouvant être confondu avec un arc parabolique. , *
PROBLËUES DIVERS GONGBRMAMT LES POUTRES DROITES. l6l
inverses des rapports trouvés précédemment. Or on connaît, dans chaque cas, l'expression du rapport — j en fonction de
- : on pourra donc trouver — ' • Voici les équations à poser
pour cela :
i"* Cas de la charge concentrée agissant sur le solide à profil en long parabolique,
^-j =-, dou -='-(-; =0,370;
2° Cas de la charge uniforme agissant sur le même solide,
6{:t-2)' d'où
3° Cas de la charge concentrée agissant sur le solide à hauteur constante,
— = -, dou — — i—~ = 0,333;
4° Cas de la charge uniforme agissant sur le solide à hauteur constante.
5 Xi / 5
:g, d'oil ~z=:y/l--z:zO,4o8.
73. Poutre droite encastrée à ses deux extrémités, — Rien n'est modifié dans les données de la question traitée au n^ 71, si ce n'est que les appuis placés en A et B (Jig. 37), au lieu d'être de simples points fixes, sont des encastrements qui maintiennent la pièce horizontale en ces points. On peut imaginer que cet effet se produit au moyen de pressions verticales descendantes exercées sur les prolongements de la pièce au
