I, 2* ÉDIT. I I
l62 CHAPITRE TROISIÈME.
delà des sections faites en A et B, où continueraient à $e dé- Fig.37» " velopper des forces verticales
4^^^^ AR^pa ascendantes. Si donc nous trans-
portons au point B toutes les pressions exercées vers J*extrémité de droite , il faudra joindre •' un couple à ces forces transpor-
▼or
tées» et la même chose aura lieu pour Tappui de gauche. Ainsi donc les réactions de chaque appui seront remplacées par une force verticale Y appliquée en A ou B, et par un couple dont nous appellerons \j, le moment. Pour déterminer Y, nous remarquerons que si la charge consiste en un poids ^.pa uniformément réparti sur la longueur 2a de la pièce et en un poids 2R concentré au milieu, chaque appui doit fournir une réaction verticale égale à R 4- pa. La réaction horizontale doit d*ailleurs être nulle, car sans cela la longueur de la pièce aurait dû varier entre A et B; ce qui n'est pas, puisque la différence AC'B — ACB n'est en quelque sorte qu'un infiniment petit du second ordre (*). Il reste seulement à chercher la grandeur du couple \l. Pour cela nous prendrons encore, comme dans le problème
du vp 71, l'expression de la seconde dérivée -t~> en fonction
des forces qui agissent depuis le point correspondant jusqu'à l'extrémité de la pièce. Nous aurons ainsi
:=: R (a -. ^) ip (a» - 07») H- |rx;
d'où l'on tire, par l'intégration depuis la limite .r = 0,
{*) On a, en appelant et l'angle de l'un des élémenls de la courbe AC'B avec raxe AB* y- = cosa; par conséquent, si Ton regarde « comme un angle infini*
ment petite le rapport ^ ne dilfére de i que d'an infiniment petit du second ordre.
PROBLÈMES DITERS GONCERNATYT tfiS POUTRES DROITES. l63
Or -j- doit s'annuler pour op=za comme pour 37 = 0; donc
on a
ou bien
0 = Ra' — ^p«^ + [f-dy
^ = l^a-\-^pa\
Le couple /x étant maintenant déterminé, on peut* facilement avoir la courbe affectée par la pièce, ainsi que la tension eo un point quelconque. Ainsi Ton substituera /x dans l'expression de -p-ï et Ton aura dx
er
dy ^ I x^ ax\ i / , ^* ^ , \
= Vi[ax — x^)— ■^p{a?x -- x^)i
intégrant ensuite et déterminant la constante par la condition que j^ soit nul pour ^ = a, on trouvera
i„/ ax^ x^ a^\ I / a'^' x^ a^\ .erY = -R(--+y+6)+gA>(- — +-j+^),
et par conséquent l'expression de la flèche CC sera
I2er' \ 2 y
Ici Ton voit que^ pour la production de la flèche , la charge uniforme équivaut à sa moitié que Ton concentrerait au milieu. On voit aussi, en supposant successivement /?= o, R = o, que la substitution, en A et B, des encastrements aux appuis simples diminue la flèche dans les rapports respectifs de 4 et de 5 à I.
Il fautmaintenant étudier comment varient, pourunesectlon quelconque, le moment fléchissant X et l'effort tranchant P*
' rfv
Le moment X, qui a été égalé ci-dessus à ^r^-j^ > a pour
dx^ il i
l64 CHAPITRE TROISIÈME.
expression, dans la section définie par Tabscisse Xy
X = - R(a -.r) - i/?(a' - ^^ ) 4- fz ; ou, en subsliluanl la valeur de fx,
Cette quantité, d'abord négative pour ^ = o, est croissante, e' est-à-dire qu'elle diminue en valeur absolue et devient nulle ■ pour une valeur :r' de x facile à déterminer. Ou aurait à résoudre l'équation du second degré
d'où Ton tirerait une seule racine positive, comprise entre
fi ft *
- et -p ou entre o,5oo a et 0,577 ^> valeurs qui correspondent
à /? = o et R = o. Pour l'abscisse ^', le moment X serait nul
ainsi que -r-^*, par suite, la courbe présenterait une inflexion.
Au delà, X change de signe, mais reste toujours croissant. Ainsi ses plus grandes valeurs absolues, intéressantes à connaître pour calculer les pressions et tensions maximum ( n"* 21 }, répondront à ^ = o et ^ = a : elles seront
Rû I , . R« I ,
Le premier de ces moments est d'ailleurs négatif, c'est-à-dire qu'il agit pour faire tourner de Cj vers C^; le second agit en sens contraire. Donc (n° 21) le premier comprimera les fibres du haut de la section faite en C, et étendra celles du bas; vers les appuis, c'est l'inverse qui aura lieu.
L'effort tranchant P ne donne lieu à aucune remarque particulière ; sa détermination serait la même qu'au n** 71, puisque rien n'est changé aux forces extérieures, sauf l'introduction du couple fx, qui n'influe pas sur la valeur de P.
2JR
PROBLEMES DIVERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. l65
74. Poutre droite encastrée à une extrémité et appuyée à P autre. Recherche de la réaction des appuis, — - Soit AB (fig, 38) la fibre moyenne de la pièce^ laquelle est supportée en A et B par deux appuis qui rendent f Ig 33^ invariable la position de ces points, et
dont Tun, Fappui A par exemple, main- T tient la section faite en A dans sa direction première. Supposons en premier lieu que la pièce ne soit soumise V qu'à une charge aR, devant laquelle
on néglige son poids propre. Appelons 2^ la longueur AB, na Tabscisse du point C où est appliquée la force aR.- Il s'agit d'abord de déterminer les réactions des appuis, lesquelles consistent en deux forces verticales, Y, Y' appliquées en A et B, et en un couple fA à joindre à la force Y pour tenir compte de l'encastrement, comme on Ta vu dans le problème précédent.
On aura les équations suivantes fournies par la Statique des corps solides :
(I) Y-hY'4-aR = o,
(a) 2flY'+2R«fl-f-f* = 0.
L'équation qui manque encore pour trouver les trois inconnues doit exprimer que le point B de la fibre moyenne est resté immobile. Pour la trouver de la manière la plus commode, il convient de supposer un instant que l'appui B n'existe pas, et de chercher quel serait alors l'abaissement X ^^ ^^^^ point de la pièce AB encastrée en A et soumise à la charge 2R en C. A cet effet l'on appliquera l'équation (i) du n"" 42, qui donne :
Entre A et C ,
Entre CetB,
L'intégration de l'équation (3) donne, en tenant compte de ce que x ^t
dr
-f- s'annulent en A , pour ^ = o ,
dx
(5) «•'g = aR^««x^),
|66 GHA|»ITRE TftQlSlÈllE,
De même, si l'on intègre l'équation (4) applicable dans la partie CB, et qu'on nomme D, ly deux conatante$, il viendra
<?H/ = Do? 4- D'.
Ces deux équations s'appliquent, aussi bien que (5) et (6), au point C répondant à la valeur particulière x=^ na\ et comme il ne peut y avoir en ce
dr point qu'une seule inclinaison 4- et une seule ordonnée y^ il faudra qu'on
ait
D/îfl-f-D'= aR(-^ g") ^3
De là résultent les expressions des constantes D et D'^ D = R/i'a», D'=-1r/i»«»;
en les portant dans les équations de la partie GB, celles-ci deviennent
(7) i?rVg=R/iV,
(8) er'^y = Y^n^a^x - iR/i»«» = R/î'û' {x -\n^^
Il est facile maintenant de déterminer la réaction Y'. En effet, la force aR agissant seule sur la pièce AB, encastrée en A et libre en B, produirait en ce dernier point vn abaissement^', qu'on obtiendrait en faisant dans l'équation (8) j? = aa ; on aurait ainsi
^/'^j'=2R«*a=»-.iR«V = iRrtV(6-/i).
Si la force aR est supprimée et qu'on la remplace par une force Y' appliquée en B, ce point éprouvera un abaissement f qu'on pourra calculer en faisant dans la dernière formule 2R = Y', /z = 2, d'où résulte
Or quand 2R et Y' agirofat simultanément, l'ordonnée y du point B sera
PROBLÈMES DIVERS GQKGBElfANT tES POUTRES DROITES. {69
(n^ 63) y-^x'y donc si le point B est rendu fixe par un appui dont Y' représente la réaction, on doit avoir /'+j"= o; donc enfin Taddition des deux équations précédentes, membre à membre, fournit la relation
et par suite (9)
iR/iV(6-«)4-|YV=o, ^ ~ 8
Y' étant connue, on tirera des équations (i) et (d). Y=-2R--Y',
H= — i/iRfl(8 — 6«4-/ïM = — 7wR«(a — w)(4 — «). 4 - 4
Lorsqu*il y a seulement une charge uniformément répartie 2pa, on pourrait trouver ces réactions en exprimant, au moyen de l'équation (i) du n° 42 intégrée deux fois, que l'ordonnée/ s'annule au point B; les
calculs seraient même assez simples, parce que -^ se représenterait par
une seule fonction de x dans toute l'étendue de la pièce. Mais on peut, plus simplement encore, faire usage du théorème établi au n^ 63. Â cet effet, la charge ^pa sera décomposée en une infinité de charges élémentaires padn, n étant une variable comprise entre o et a; chaque charge padn produirait dans les appuis des réactions infiniment petites exprimées par
dY'='-'^pan'(6-^n)dn,
dY=-padn-dV,
dii = — i;?«*n(8 — 6/i4-n')fi&î,
ainsi qu'il résulte des formules qu'on vient d'établir. En vertu du théorème cité , pour avoir les valeurs de Y, Y', f* qui répondent à la charge ^pa , il faudrait faire la somme des valeurs que prennent ces expressions quand n varie par degrés insensibles de o à a. On aura donc
T=-^paJ\'{6-n)dn=^-^^pa,
l68 CHAPITRE TROISIEME.
Il est clair qu'une méthode analogue serait applicable si les charges étaient distribuées sur la pièce suivant une loi quelconque , continue ou non,
75. Sidte du problème de la poutre encastrée à Vune de ses ejctrémi* tes et appuyée à l'autre. Figure de la fibre moyenne déformée. Moments de flexion et efforts tranchants, — Supposons d'abord que la force îiR existe seule, concurremment avec les réactions qu'elle engendre au-dessus des appuis. En vertu du théorème général sur la superposition des effets des forces (n"* 63), Tordonnée y en un point quelconque est la sommé algébrique de celles qui se produiraient si les forces 2R et T' agissaient Tune après Tautre sur la poutre, celle-ci étant encastrée au point A pendant que B serait censé libre, et la force Y' ayant la valeur (9) ci-dessus trouvée. Or l'effet de la force 2R est déjà connu; il s'exprime par les équations (6) et (8), dont la première s'applique entre l'encastrement et le point où agit la forcef, la seconde s'appliquant au reste de la poutre. Si nous prenons, au lieu de 2R, une force Y' agissant en B, il est clair que son effet s'exprimera par l'équation (6), en y mettant Y' au lieu de a R et faisant /t = a. On aurait donc sous l'action isolée de Y'
.^r»j = Y'(«^^~^)=:-iR/i»(6-/i)^^^^-.^).
Superposant enfin les effets, nous trouverons : Dans la partie AC,
.,.^'=2R(^-^~~j--(6-/.)R(^«x^-^j (10) < =~[6/ia.r=(/i'-.6« + 8)-.a:^(/i^-6«^+i6)]
Dans la partie GB,
( er\Y = «»fl*R U-\ nc^ - y (6 - «)ft U^' - Ç)
Pour avoir la flèche maximum , on doit chercher le point où l'inclinai-
dy son ^ s'annule. Or on a , en prenant les dérivées des deux équations
PROBLfiMES DIVERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. 169
précédentes,
expressions respectivement applicables aux parties AC et GB de la fibre moyenne. L'expression (la) devient nulle pour a: = o et pour
X = ^ . y — -i : cette valeur fera réellement connaître la situation du 8 + 4 ^ — 'î
point où la tangente à la courbe est horizontale si l'on a
car autrement la valeur de or se rapporterait à un point auquel ne s'applique pas Texpression (12). Or l'inégalité précédente donne
ou bien
ou encore
inégalité qui ne saurait être satisfaite par des valeurs positives de n comprises entre o et a , à moins de poser
4 — « < ]/S, ou bien n > 1,172.
Ainsi la plus grande flèche produite par la charge isolée 2R se trouvera ou ne se trouvera pas entre l'encastrement et le point d'application de cette charge, suivant qu'on aura n plus grand ou plus petit que 1,172. Si w est > 1,172, la flèche maximum s'obtiendra en faisant dans l'équation (10)
Lorsque n sera au-dessous de 1,172, ce sera dans la partie CB qu'on . devra chercher la flèche maximum. On fera donc -f = o dans l'équation (i3), et on aura pour déterminer l'abscisse correspondante à ce
maximum
d'où l'on tire
170 CHAPITRS TROISIÈME.
Dans le cas particulier où la charge agirait à égale distance des points d'appui , il faudrait faire /i = i ; l'abscisse déterminée par cette relation serait
^ = 2a^i-^y/ij = i,io6«;
la flèche correspondante donnée par Téquation (u) serait
^^ Rg*
Le coefficient Sy/S est compris entre ceux qu'on a trouvés (n°* li et 73) pour le cas de deux appuis simples et pour le cas de deux encastrements. Considérons maintenant le cas de la répartition uniforme de la charge, dont nous désignerons la valeur totale par ^pa^ p étant toujours sa valeur par unité de longueur. Alors on a pour Texpression du moment fléchissant, dans une section quelconque,
ou , en substituant la valeur de Y',
On en conclut par l'intégration
er'
dr Pour avoir le point où 7 est le plus grand , il faut faire ~- = o, ce qui,
à part la solution étrangère ^ = o, donne l'équation d'où
x = flfi — 8")'^ i,i56a;
le signe + du radical doit être rejeté, parce qu'il donnerait ^> 2^. La
dr ék *
flèche maximum se calculera en intégrant -^y et substituant cettç valeur
dx'
er
de X dans TexpressioD de y. On aura ainsi
La valeur de / est comprise aussi entre celles qu'on a obtenues précédemment (n°* 71 et 73) quand on avait deux appuis simples ou deux encastrements aux points extrêmes.
Afin de compléter Tétude du problème actuel, il ne nous reste plus qu'à chercher comment varient le moment fléchissant et l'effort tranchant pour chaque section de la poutre , lesquels sont nécessaires dans le calcul des pressions et tensions. Le moment X est facile à obtenir, car on connaît complètement, dans chaque cas, les forces qui agissent sur la poutre. On voit que si la charge isolée 2R existe seule, ce moment sera représenté par deux fonctions du premier degré en .r, applicables, Tune entre  et C, l'autre entre C et B ; de telle sorte que ses trois valeurs limites répondront àx = o,x = /wi,a7=aa, et seront exprimées respectivement par
aR/ï«4-artY' ou 7/1(4 — /t)(2 — /î)R«, pour le point A ,
Y'/i(a — «) ou — -«'{a — n){6 — 7i)Ra, pour le point G,
zéro, pour le point B.
Ainsi ce serait en A ou C que se trouveraient les plus grandes pressions ou tensions longitudinales.
Lorsqu'au contraire on suppose R = o et que p subsiste seul, on a déjà trouvé la valeur du moment fléchissant, qui n*est autre que le second membre de l'équation (i4)* H peut se mettre sous la forme
-5/^(4«-aar)(ax-.a),
sous laquelle on reconnaît qu'il s'annule pour x = - et pour x = aa, et
que ses limites de grandeur absolue répondent àx = oouàx = — -,
cette dernière valeur de x étant celle qui rend égaux les deux facteurs 4«r — 2x et ax — a , dont la somme est constante. Les limites du moment fléchissant S(ttit donc
- ;?«', répondant à x = o ,
^ — 57/?^', répondant à x = - a.
il (l^ Y
Ce moment est d'ailleurs positif entre ^ = o et x = - ; par suite -^^ l'est
aussi, et la courbe tourne sa concavité vers le bas. Dans le reste de la
pièce, le fait contraire se produit. Entre jc = o et ^ = -> ce sont donc
les fibres du dessus qui sont tendues et celles du dessous comprimées,
tandis que Finverse a lieu entre a; = - et j: = 2«.
Dans le cas mixte où/? et R existent tous les deux, le moment fléchissant est exprimé par deux fonctions du second degré en x , aisées à trouver d'après ce qui précède. Nous laissons au lecteur le soin de les discuter. Nous donnerons seulement les expressions de l'effort tranchant, qui sont :
Entre A et C>
Entre C et B,
P est donc toujours une fonction du premier degré en x, dont les valeurs limites répondent par conséquent aux limites de x. On les obtient en faisant x = o el x = na dans la première expression, x := na et x = o^a dans la seconde ; on trouve ainsi les valeurs
3R(— 164-6/?- — «') — 7/^«, pour l'effort tranchant en A;
P varie uniformément dans chacune des deux parties AC el CB; mais il éprouve en C un changement brusque, par suite de la force 2 R qu'il faut cesser d'y faire entrer quand on a dépassé ce point.
§ II. — Pontres droites reposant sur pins de deux âppnis et chargées perpendiculairement à la fibre moyenne.
76. Généralités ; position de la question. — Les poutres droites reposant sur plus de deux appuis ont été asses; fré-
en C;
id.
en B.
quemment employées, dans ces dernières années, pour supporter des ponts à plusieurs travées construits sous des voies de chemin de fer. L'un des premiers exemples de cette espèce de travaux d'art a été, en France, le pont sur lequel le chemin de fer de l'Ouest traverse la Seine à Asnières ; puis sont venus les ponts de Langon sur la Garonne, de la Quarantaine sur la Saône à Lyon, et beaucoup d'autres qu'il serait inutile d'énumérer ici. Les calculs préliminaires qu'exige la vérification de la stabilité ou la détermination à priori des dimensions d'une telle poutre consistent, comme dans le cas d'une seule travée, à rechercher : i" les limites extrêmes entre lesquelles varie le moment fléchissant d'une section quelconque, pris soit algébriquement, soit en valeur absolue, quand on fait toutes les hypothèses possibles sur la distribution des charges ; 2° la limite supérieure qu'atteint l'effort tranchant pris en valeur absolue. L'utilité pratique de ces résultats ressortira du § III, où l'on verra l'usage qu'on doit en faire.
Indiquons en premier lieu les hypothèses particulières qui servent de base au calcul. La poutre est soutenue à ses deux extrémités par les culées, et, dans l'intervalle, par les piles ; les appuis ont donc une certaine longueur, dans la direction parallèle à la fibre moyenne, et on ne peut pas rigoureusement regarder chacun d'eux comme équivalent à la fixité d'un seul point de cette fibre. Néanmoins on admet celte hypothèse, qu'il faut considérer comme défavorable à la résistance ; car les supports constituent en réalité un encastrement partiel dont on néglige l'effet, et l'on a déjà vu par deux exemples (n*»» 73 et 75) les bons résultàts produits par les encastrements.
Les moments fléchissants X et efTorts tranchants P qui se produisent âans les diverses sections transversales sont ordinairement déterminés en supposant la poutre prismatique, c'est-à-dire établie avec une section constante, bien qu'en fait les constructeurs aient cru devoir renforcer certaines sections plus exposées que d'autres à la rupture. Voici ce qu'on peut dire pour faire comprendre l'origine de ce procédé. Il est rationnel de fixer les dimensions de chaque section de manière que la tension maximum par unité de
surface y soit égale à une limite supérieure déterminée ; car si la matière de la poutre résiste convenablement à une tension ayant cette valeur, il n'y a pas de raison pour descendre au-dessous dans une section quelconque ; et, en ratleignant toujours, on économisera le volume total de matière à mettre en œuvre. Dans le but d'y arriver, on conçoit qu'on emploie la méthode dite de fausse position ou des approximations successives : d'abord on suppose constante la section variable qu'on se propose de chercher, et on calcule en conséquence les X et P ; admettant ensuite ces valeurs de X et P comme étant celles qui se produiraient réellement dans la poutre à construire, on calcule les dimensions en travers de manière à obtenir la tension limite dans toutes les sections. Les résultats de cette opération devraient être considérés conSme simplement approximatifs, et pour en avoir de plus exacts on devrait faire de nouveau la recherche des X et P, en attribuant à chaque section les dimensions qu'on aurait ainsi trouvées; puis déduire de ces nouvelles valeurs de X et P des dimensions plus ou moins différentes des premières, au moyen desquelles on recommencerait encore un essai analogue, jusqu'à ce que deux essais consécutifs donnassent à peu près le même résultat. Mais on s'est toujours borné jusqu'à présent au premier essai : au point de vue théorique, c'est une hardiesse difficile à justifier complètement, et cependant la pratique Ta consacrée, puisque beaucoup de ponts construits sur les données qu'on en a déduites ont convenablement résisté à toutes les épreuves.
Enfin, la poutre sera soumise à des forces toutes perpen- . diculaires à la fibre moyenne et réductibles, sur une portion quelconque de sa longueur, à des forces situées dans un plan déterminé qui contient aussi cette fibre t pour fiiter les idéeSi on peut supposer la fibre moyenne horizontale et les forces verticales* La condition nécessaire de la déformation dans Un plan sera supposée remplie (n^ 48 }. Les Charges se compose^ ront ordinairement *. l° d'un poids permanent reparti d'une manière uniforme sur la longueur entière de la poutre ; A" d'une surcharge accidentelle ayant également une répartition uniforme sur les travées qu'elle embrasse, mais ne cou-
PROBLfiMBS DITER9 GONGERNAMT LES POUTRES DROITES. I7S
vrant pas toute la poutre, et pouvant s'étendre sur un nombre quelconque de travées arbitrairement choisies. On y joindra parfois des poids concentrés en certains points, dans Tinlervalle des appuis.
Après avoir ainsi fait connaître les données el hypothèses du problème, il faudrait naturellement en exposer la solution : mais cette solution, pour être complète, exige de tels développements, et d'ailleurs elle a dans la pratique une importance telle, que nous avons cru devoir en faire Tobjçt d'un ouvrage à part, constituant la troisième partie de notre Cours de Mécanique appliquée (*). On ne dira donc rien ici ni de la recherche des moments de flexion, ni de celle des efforts tranchants, qui, au fond, n'est pas distincte de la première (n<* 70); on traitera seulement quelques problèmes accessoires, et l'on renverra le lecteur, pour le surplus, au traité spécial dont il vient d'être question. Il sera parfois utile d'y prendre diverses formules; alors nous indiquerons le renvoi en mettant le chiffre romain III (qui signifiera troisième partie) à la suite du numéro désignant le passage où se trouve la formule citée ; l'annotation n'' 1, III, par exemple, devra se lire : n'' 1 de la troisième partie.
Nous admettrons d'ailleurs parmi les données de ces problèmes deux conditions nouvelles, qui viennent encore restreindre la généralité des hypothèses ci-dessus énoncées : 1" tous les appuis, en nombre /i-f-i, et désignés par les lettres
Ao, A|j Aj, . . . , A/n— 3, Am— I) Ani) A/if+i,i.., Ah-'I^ An»
devront être touchés naturellement par la poutre, quand celleci étant prise dans son état primitif, sans déformation ni tension intérieure, on la pose de manière à lui en faire toucher deux quelconques, A» el A« si l'on veut ; 2° les travées extrê* mes A. A, et A„-.|A„ auront une même longueur 6, tandis que toutes les travées intermédiaires auront une même longueur c
(*) Cet oiivrapc a été public entre la première et la «ecdnde édition de la première partie. Au fond ce devrait en être simplement un chapitre, et nous le supposerons^ en conséquence, connu de nos lecteurs;
176 CHAPITRE TROISIËME.
différente en général de b, ce qui aura pour effet de constituer la symétrie de la poutre relativement à sa section^ centrale. Enfin voici des notations qu'il semble bon de définir une fois pour toutes; nous appelons:
à le rapport r entre les longueurs des travées intermédiaires
et de rive ; X« moment de flexion sur Tappui Am ; Tm réaction de cet appui ; M*, N* deux nombres tels, que si a/r désigne un nombre
entier on ait les égalités
q un nombre dont le double est égal au nombre n des travées diminué de deux ;
h le quotient :j^(*);
p le poids de la charge permanente sur chaque unité de longueur.
Il est à peine besoin de remarquer que les moments extrêmes Xo, Xn sont toujours nuls : en effet, si Ton se place dans la dernière travée infiniment près de A„, la seule force produisant un moment de flexion sera la réaction T„de cet appui; or ce moment tend v^rs zéro en même temps que le bras de levier^ et devient par conséquent nul au-dessus du point An lui-même. Le même raisonnement s'applique évidemment'à , Tautre bout de la poutre.
77. Réactions des appuis d'une poutre à section constante, chargée uniformément. — On a démontré (n*» 7, III) que si.
(*) Lorsque l'indice A varie, les valeurs de M^ et de N,^ cotistituent deux séries numériques dont chaque terme est défini par son indice. On a étudié (n^* 32, III) le mode de formation de ces séries et leurs propriétés; on a étudié
aussi (no 33, III) les quotients — i ou //.
PROBLfeHES DITERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. I77
deux travées consécutives de longueurs a et ^ supportent des poids uniformément répartis, la réaction de leur appui commun surpasse algébriquement la demi-somme de ces poids, d'une quantité exprimée par
en nommant Xi, X,, X, les moments au-dessus des points d'appui qui limitent les deux travées. Cette formule ne peut s'appliquer qu'aux appuis placés entre deux travées consécutivesy et Fon a omis, dans le passage cité, de considérer le cas d'un appui extrême : mais un raisonnement tout à fait analogue établit que la réaction d'une culée comprend le
demi-poids de la travée adjacente, diminué de — > en nommant Xi le moment de flexion sur la première pile et a la longueur de la travée de rive. D'un autre côté, le moment X» sur un appui quelconque A«, lorsque la charge permanente agit seule et que la poutre n'a pas moins de trois travées, s'exprime par la formule générale (n'' 35, III)
sauf l'exception X« = X«^=o. On a ainsi tous les éléments nécessaires pour procéder aux calculs des réactions, sous l'action d'une charge uniforme.
Pour les deux premiers ou les deux derniers appuis, on posera
