I» 3* ÉDIT

178 GHA.PIT1US TBOISlteE.

En discutant (n*» 36, III) la valeur de X„ on a reconnu qu'on avait identiquement

eu égard à cette relation et à des réductions qui se présentent naturellement, les valeurs de T» et de T, deviennent

Pour tous les appuis suivants, jusqu'au milieu de la poutre (et il est inutile d'aller plus loin, en raison de la symétrie), les travées adjacentes ont une même longueur 6â: la réaction T;„ ou Tn^m serait donc, d'après la formule (i) ci-dessus,

ou bien, en remplaçant les trois moments par leurs valeurs tirées de la formule ( 2 ), *

Or on a généralement, k étant un indice quelconque (n'^SS, III),

MA + 4M*4.,-f-M*+, = o, d'où résulte

donc aussi

formule applicable à un indice m variable de 2 à n — 2 inclusivement.

En raison de la restriction faite à propos de la formule (2),

PROBLÈMES DIVERS CONCERKAifT LES POUTRES DROITES. 17g

le cas de la poutre à deux travées égales n'est pas compris dans ce qui précède, mais il peut se traiter bien simplement au moyen d'un théorème du n" 71. Supposons pour un instant Tappui central Ai supprimé, de manière à n'avoir qu'une travée de longueur tib, chargée uniformément du poids total

^pb : alors il se produit au milieu Ai une certaine flèche, et

nous savons qu'un poids ^•^pb concentré au même point A,

donnerait lieu à une flèche identique. Donc une force égale, mais prise dans le sens ascendant, la détruirait. t3r Tappui supprimé avait aussi pour effet d'anéantir la flèche en A,; donc, en le rétablissant, il devra exercer une force ascendante

égale à g-2/?ft, car autrement le point Ai de la fibre moyenne

s'élèverait ou s'abaisserait, suivant que la réaction serait plus

grande ou plus petite. Ainsi les -^ de Ja charge complète portent

sur l'appui central, et les g restants se partagent également

entre les deux culées; chacune porte -^•2/>6 ou -^pb.

Ce résultat rentre encore dans la théorie faite au n° 74., La fibre moyenne devant en effet, pour cause de symétrie, conserver une direction invariable en son milieu, chaque travée peut être considérée comme une poutre appuyée par un bout et encastrée par l'autre.

Quoique les formules (3), (4; et (5) présentent déjà une assez grande simplicité, on les transforme avantageusement dans le cas des travées égales. Il faut alors faire 5 = 1, ce qui donne

■=•'"= ''hî!^^T^)]-

D'abord, il est aisé de constater que, dans l'hypothèse m := r ,

i8o cbàpitrs troisième.

la dernière de ces trois relations donne le résultat de la se-

conde, puisque h désigne le quotient ~^; la seconde formule

devient donc superflue, et il suffit d'en avoir deux, savoir : une pour les culées et l'autre pour les diverses piles. Afin de es écrire le plus simplement possible > nous remarquerons qu'on a (n» 32, III)

par suite, si l'on nomme / le radical imaginaire i/ 9 on

posera identiquement

N,(3 + ih) = 3Ny + 2M, = - (3N,N, -+- M^M.), N,(5 + 3 A) = 5N, + 3M,= ~ I (N.Ma. + M-N^ V

et, en vertu des formules qui font connaître VLt+i et Nt^ (n«32, III),

N,(3h-2A) = -M^., N,(5 + 3A) = -JN,+|.

Ces derniers résultats portés dans les valeurs de T, et de T« donnent définitivement

(6) T.=T. =j^pb.

formules applicables aux poutres à travées égales, la première devant être employée pour les culées et l'autre pour les piles. Afin de pouvoir appliquer les formules (3), (4), (5), (6) et ( 7 ), H est nécessaire d'avoir à sa disposition les nombres M, N, h qui répondent à une valeur déterminée de l'indice. Ces nombres sont donnés au commencement du chapitre deuxième

PBOBLÈHBS BlYERS CONCBANÀlTT LB9 POUTRES DR01TB8. l8t

(troisième partie du Cours); en voici quelques-uns :

2A- =1, 3, 5, 7, 9, II, i3,...,

jM* = i, —5, 19, —71, 265, —989, 3691,...,

--N|z=:i, —3, II, —-4'» '53, —571, 2i3i,....

n = 3, 4> 5, 6, 7, 8, 9, 10, II, 12,.... , r 2 5 7 19 26 71 97 265 362 I I 3 4 'I i5 4^ ^^ '^^ ^^9

La lettre i représente, comme on i'a dit plus haut, le radical imaginaire i/ : cela n'introduit pas, du reste, d'imaginaires dans les formules, car ce radical disparaît toujours, soit qu'il existe comme facteur commun au numérateur et au dénominateur d'une fraction, soit que, se trouvant élevé au carré.

il doive se remplacer par le nombre réel «Le nombre k

étant déterminé, d'après sa définition par le nombre q, l'est aussi par le nombre n des travées, égal à 2g h- 2: c'est pour cela que le tableau précédent donne les valeurs de h pour chaque nombre n.

Voici maintenant un tableau déduit des formules (6) et (7), qui fera connaître de suite les réactions dues à la charge permanente, dans les poutres à travées égales. On y a fait figurer la poutre à deux travées, bien que les mêmes formules ne s'appliquent pas; d'ailleurs on n'y a indiqué les réactions que jusqu'au milieu de la poutre, les mêmes résultats devant se reproduire symétriquement sur la seconde moitié.

CBAPITBS TBOISIÈME.

Tableau indiquant les réactions det appuif d'une poutre à travées égales, chargée uniformément.