NOMBRE

RAPPORT AU POIDS pb d'DNE TRAVÉE, DE LA RÉACTION SUR LES

des

travées.

culée.

l'«pile.

2« pile.

3« pile.

4« pile.

5' pile.

6« pile.

7«pUe.

"ïô

ti '

IIO

5ii

Ce tableau peut servir, quel que soil le nombre des travées. On remarque en effet que les résultats pour /i= 12 diffèrent déjà très-peu de leurs limites relatives à /i = oo ; on pourra donc admettre à fortiori que ces limites sont atteintes pour les poutres ayant treize travées ou un plus grand nombre. Le rapport à pb^ de la réaction sur une culée et les six piles qui viennent à la suite, sera pris égal respectivement à chacun des nombres inscrits en regard de /n=: oo ; pour le surplus des piles, dans la partie centrale de la poutre, ce rapport serait à très-peu près l'unité.

PROBLÈMES DIVERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. l83

Lorsqu'on veut calculer les nombres du tableau, relatifs au cas de n infini, on a besoin de voir ce que deviennent, dans

celle hypothèse, les rapports -^-z — ? et — |p On y parvient

sans peine en observant, comme on Ta fait ailleurs (n" 36, III), qu'on a, pour un indice k infini positif,

il en résulte immédiatement

Donc enfin

\\mT,^^{i^s[l)pb,

limT„^ri-i(~2 + s/3)"Jj!>6.

78. Déformation d'une poutre à section constante chargée uniformément. —-ConsiAévons une travée de rang quelconque limitée aux appuis Am-i, A«, et chargée uniformément à raison d'un poids p sur chaque unité de longueur; si l'on nomme a la longueur de la travée et qu'on place l'origine des abscisses x en Aot,, on sait (n*» 1, III) que le moment fléchissant X en un point quelconque de la travée s'exprime par la formule

Xz= X«-.t H- (X« — X«-,) px{a— x).

Ainsi réqualion fondamentale (i) du n** 42 devient ici

er^ -r^ =: \m-i -4- (X;„ — X;;^-, ) px{a — x),

l'axe des y étant pris parallèle aux charges et dans le même sens. Une double intégration de l'équation précédente donne

l84 CHAPITRE TROISIÈME.

successivement, en désignant par K et K' deux constantes.

On détermine les constantes par la condition d'avoir y = o pour 07 r= o et pour x:=za\ donc

et, par suite,

— — ^«.1 1 ce* — u^ j — ^ —

er>j = -ix«-,(«:c-a:*)-^(X„-X«^0(«'^-^)

•4- -^ pia^x — aor'-f-arM.

L'équation -^ = 0, qu'on aurait à résoudre pour trouver les

maxima ou minima de 7, étant du troisième degré en x, il n'est pas possible d'exprimer algébriquement ces maxima et minima d'une manière satisfaisante. Dans la pratique, on suivrait les variations de x ^^ substituant à la place de x, dans l'équation (8), une série de valeurs suffisamment rapprochées. Voici les résultats qui répondent aux abscisses des points de division de la travée en dix parties égales :

x=:Oy xz=za J=o;

^==0,1 a. . . 24er^j^— «^(ojOgBipa' — o,684X««,-— o,396X«),

;r=D,2a. .. 24er^j=flr'(o,i856/?a'— i,i52X«i — o,768Xm),

xz=zOyZa, . . 24^r^7=«'(o,254i/?û'— ï,4^8X«, — ijOgaXm),

a; = o,4«. . . 24er'7:=:a*(o,2976pa'— i,536Xm i— i,344X«),

;r=o,5a. . . 24er*j=a»(o,3f25/?a^— i,5ooXm-i — i,5ooX«),

j;r=:o,6fl. . . 24er*7 = a^(o,2976pa»— 1,344 X«, — 1,536 X«),

^=ro,7a. .. 24^r*7= a' (0,2541 /?a' — i,o92Xn,i — i,4a8X«),

;r=io,8a... 24er'j=ia'(o,i856pa^— o,768X»-,-— ijiSaXm),

x-=io,i^a. . . 24er*j=ra*(o,o98i/?a»— o,396X„., — o,684X«).

PHOBLftSBS BITERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. l85

On remarque, dans ces équations, que les coefficients de p pour deux points placés à égale distance du milieu sont identiques, et que les coefficients de X«i et de X« se permutent l'un avec l'autre. Cela pouvait se prévoir sans calcul, car lors-

que, dans l'expression -v^ qui nous a servi de point de départ,

op remplace x par a — ^, le terme en p ne change pas, tandis que \m-t se substitue à X^, et réciproquement. Une autre raison équivalente, c'est que les abscisses pourraient être comptées aussi bien à partir de A* que. de Ai»„ ce qui, dans les calculs, n'aurait d'autre effet que de permuter X« avec X.,-».

L'ordre de grandeur des diverses ordonnées que nous venons de calculer dépend des valeurs que prennent les moments X„-.„ X«, et Ton ne peut pas le fixer sans y avoir égard. Toutefois, comme nous ne croyons pas devoir entrer dans des détails trop minutieux sur une question dont l'intérêt pratique est au fond assez médiocre, nous nous bornerons à étudier la flèche qui se produit au milieu de la travée. Si nous la désignons par/», son équation sera

fm= -7 — -(Oy3ii5pa^— i,5ooX«-., — i,5ooX„,)

ou bien encore

Dans la première travée .A. Ai, on doit faire m = i, « = 6, Xi„«, = X. = o, et (n» 35, III), si le nombre n des travées dépasse 2,

il vient alors

^'^^ •^•=^384^' 3ÔH-2A

Dans toutes les autres travées, il faut supposer l'ouverture a = bS=:c,eide plus (n*» 37, III) on peut faire ( n étant tou-

l86 GHàPITIUS TROISlftMl.

jours censé supérieur à 2 )

pc' "~6 6ô»N,(3â4-2A) ' par ces changements, la formule (9) devient

(II) >-384«r»L' â»N,(3ô-f-aA) J'

Si l'on prend le cas particulier d'une poutre à travées égales, on a ô = I, et les formules (10) et (i i) deviennent

/. pf>' 9-<-4^ pf>' /, 3^ \

•^' "" 384 er'" 3 -+- 2/j ~ 384e/» \, 3 + 2/1^ '

•'■ "3846^1.' IM,(3-f-2A)J*

Or A représente, par définition, le quotient t^t (n» 76), et l'on a trouvé (n** 77) Tégalilé

donc aussi

Les deux dernières formules, aussi bien que celles dont on

les a déduites, s'appliquent seulement aux poutres qui ont

plus de deux travées; pour en faciliter le calcul numérique,

nous donnons ci-dessous un tableau des multiplicateurs de la

pb* quantité -^^ — 5» laquelle exprime (n° 73) la flèche prise par

la travée quand on la suppose encastrée aux deux bouts.

PROBLÈMES DIYXHS GONCXANÀlTr LES POUTRES DROITES. 187

Tableau pour le oaloul des llèohes au milieu des travées d^une poutre à section constante et à travées égaies ^ sous l'action de la charge per-