RAPPORTS A ^ ^9 DES FLÈCHES

des travées.

i,io5i

i,ooo5

La poutre à deux travées égales n'est pas comprise dans ce tableau; mais, ainsi qu'on Ta déjà fait observer (n° 77), chaque travée se comporte, sous la charge permanente, de la même manière qu'une pièce encastrée par un bout et simplement appuyée à l'autre. On calculera donc les déformations comme il est dit au n° 75.

En vertu d'une remarque déjà faite (n°77) à propos des

, réactions des appuis, le même tableau pourra servir quel que

soit le nombre des travées, quand même il dépasserait 12.

Dans les sept premières travées à partir d'une extrémité, on

prendrait les valeurs de/« relatives à l'hypothèse d'un nombre infini deiravées; dans celles qui seraient plus rapprochées du

centre, on pourrait supposer uniformément /m égal à^^^^^*

Le procédé indiqué au n« 77 s'applique de même pour avoir les nombres inscrits en regard de » = oo . On a dans ce cas

lim ^^ = '- r = M..1 - N«-i v/3,

valeurs à substituer dans les formules (12) et (i3).

Nous terminerons en rappelant expressément que tous les calculs des n*»* 77 et 78 supposent constante la section transversale de la poutre, tandis que, dans la pratique, on adopte le plus souvent une section variable. Cela jetterait quelque incertitude sur les résultats que nous avons obtenus; notamment, en ce qui concerne l'évaluation des flèches, on serait embarrassé pour sayoir le moment d'inflexibilité moyen qu'on devrait mettre à la place de er^ dans les formules.

79. Du rapport le plus convenable entre Vouverture des travées de la rive et celle de la travée centrale, dans une poutre reposant sur quatre appuis. — Considérons une poutre supportée par quatre appuis A^ , A, , Aj , A3 , symétriquement disposés par rapport à son milieu : nous aurons ainsi deux travées extrêmes avec une même ouverture b , et une travée centrale d'ouverture c, La poutre est soumise à la charge permanente et aux surcharges définies plus haut ( n"" 76) ; sa longueur totale %b-^c étant de plus supposée constante, il s'agit de déterminer la valeur la plus con-

venable du rapport t = ^.

Or on peut pour cela s'imposer diverses conditions à remplir. D'après ce qu'on a dit au n*" 21 sur le peu d'influence qu'ont en général les efforts tranchants, on peut d'abord demander que le maximum de tension ou pression dans le sens longitudinal soit le plus petit possible^ toutes choses égales d'ailleurs. Ce maximum est proportionnel à celui du moment fléchissant (n^'âl), et par conséquent c'est cette dernière quantité qu'il

faudrait diminuer autant que possible par le choix du rapport r ou d.

PROBLÈMES DIVERS GONCBRNÀirr LES POUTRES DROITES. 189

Déterminons donc le plus grand moment fléchissant produit par la charge permanente ou les surcharges, et voyons comment il varie avec 9.

Si l'on a seulement la charge uniforme de p kilogrammes par unité de longueur sur toute la poutre , le moment X en un point quelconque se calcule par les formules données dans la troisième partie (n^ 35 et 37,

in). On trouve, en faisant « = 3,^ = ->A=i,

et par suite.

Dans la première travée :

/XV V^ I /2L X i,3-i-6<î— ^* (2) X-X.^ -pj:(b X)- -pbx 3^^^ -

i-ZP^i

Dans la seconde travée :

(3^ X=X.--i»:(bS-x)=li>l>'i^àLL-LiJ,9x'

L'origine des abscisses est en A, dans la première travée, et en A, dans la seconde.

L'expression (2) a pour dérivée

quantité négative, nulle ou positivé, suivant que Ton prend x inférieur, égal ou supérieur à l'abscisse particulière

donc le moment X dans une travée de rive, nul d'abord sur la culée, commence par être décroissant algébriquement (c'est-à-dire qu'il est négatif et augmente en valeur absolue) jusqu'à or = Ç; il atteint alors une limite — f* , et l'on a

{<) ^^^i^^^^rr^ ^P^'^^Zif^y 3^4-2 }'

Au delà de ^ = S jusqu'à x= nlAe moment varie de — /a à zéro, puis il augmente de zéro à X^ ; ses valeurs extrêmes, abstraction faite du signe, sont doue X, et p. Quant à l'expression (3), on pourrait la représenter par les ordonnées d'une parabole à axe vertical ayant son sommet sur

igo CHAPITRE TROlSliOlB.

Tordonnée du milieu de la travée; ses valeurs extrêmes répondront donc à j: = o, qui donne X = Xj , et à ^ = - ^<J, qui donne un moment — pt' ayant pour grandeur absolue

Ce dernier moment — p' est négatif avec les valeurs habituelles de ^, et c'est pour cela que nous l'avons écrit en changeant son signe.

Le maximum absolu du moment fléchissant dû à la charge permanente, dans la demi-poutre (et par conséquent dans la poutre entière, puisqu'il y a symétrie), sera l'une des trois valeurs X^ , p, p', toujours prises avec le signe +. Afin d'exprimer ces quantités en fonction de la seule variable S^ soit 2L la longueur totale de la pièce; on aura

d'où résulte

aL:

Par la substitution de cette valeur, les formules (i), (4) et (5) deviendront

Voici le tableau des résultats que donnent diverses snbstitutUms de nombres à la place de S dans ces dernières formules.