MAXIMUM
VALEURS DE f.
pu
absolu
-^o,oii33
— o,oo3oi
On voit par ce tobleaa : i"" que ft' est toujours inférieur en valeur ab> solue à l'un des autres moments /a et X, , tant que ê varie de 0,7 à i,3 ; a** que p est supérieur à X, seulement pour * < 0,8 ; 3** que X, , décroissant encore au delà de ^ = 0,8 , la valeur de 1^ à laquelle répondra le plus petit maximum absolu du moment fléchissant sera celle qui rendra X^ minimum.
Pour la trouver, on posera l'équation
ou bien
ou encore, en supprimant le facteur 2 + ^ et réduisant,
Cette équation se résout par tâtonnement; elle n'a qu'une racine positive
5 = 0,859, qui est le nombre cherché.
Ainsi donc, si la poutre ne devait jamais être soumise qu'à une charge uniforme sur toute sa longueur, et si l'on avait seulement en vue de diminuer autant que possible la plus grande tension ou pression longitudinale de la matière, il faudrait donner moins d'ouverture à la travée centrale qu'aux travées de rive et prendre pour le rapport $ la valeur 0,859. Comparativement à ce qui a lieu pour 5 = i , l'avantage ne serait pas d'ailleurs bien grand , car le maximum absolu du moment X, égal à o,o4444/?L' pour $ = i, s'abaisserait seulement à o,o4367/?L' pour 5 = 0,859; on aurait donc une diminution relative de 1,75 pour 100 environ.
La considération des surcharges peut conduire à modifier ce rapport de 0,859. Supposons une surchai^e p' par unité dé longueur, agissant, abstraction faite de la charge permanente, sur une, deux ou trois travées choisies comme on le voudra. Il se produit alors, dans chaque section de la poutre, divers moments fléchissants, dont le plus grand en valeur absolue peut se représenter par l'ordonnée d'une courbe. Nous avons dessiné ces courbes pour une moitié de<la poutre (ce qui suffit, à eaiise de la symétrie) en attribuant à 9 les huit valeurs inscrites dans le tableau précédent : ce sont les polygones nûxtiligiiea tracés au-dessus de l'àxe 01 des abeciaseSy dans les figures numérotées de 11 à 18 et composant les planches h U, III de l'Atlas joint à la troisième pairtie du Cours. Llnspeotion de ces figures montre que le plus gnmd moment se produit toujours au-dessus de la pile^ et l'on sait (n*" 26, III) qu'il répond à la surdiarge
igiA CHiLPITRE TROISIÈME.
des deux travées adjacentes à cette pile. Son expression algébrique peut s'obtenir par l'application du théorème des trois moments (n"* 6, m) ou plus simplement par la formule donnée spécialement (n"" 50 , m ) ; c'est la formule ( 40) où il faudra supposer d'ailleurs A = i. On trouvera, en appelant p" le moment dont il s'agit,
ou bien
Voici le tableau des valeurs que prend p" pour les huit valeurs de 9
déjà essayées :
Valeurs de ^. Rapport -tj-i* *
Ce tableau montre que p" passe par un minimum aux environs de ^ = 0,9, et ce minimum donnera la plus grande réduction possible du maximum de X. Pour trouver la valeur correspondante de ^ on posera l'équation
du."
qui, toutes réductions et simplifications faites, devient
On en tire ^ = 0,913, valeur qui, portée dans l'expression (9), fournit le minimum de.p", égal à o,o5i59/?'L*. Pour ^ = i, p) est égal à OyùSiBSp'V'y la diminution relative obtenue en posant ^=0,913 est donc de o,5o pour 100 environ.
U résulte <fo cette discussion que si l'on déterminait les dimensions transversales de la poutre uniquement d'après le maximum de tension longitudinale, il y aurait avantege à faire en sorlë que l'ouverture d'une fravée de riteJBItt à celle de la travée centrale dans un rapport peu difiérent deoiyg.^l convint d'ajouter que^ comparativement avec ce qui se
PROBLÈMES BIYERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. ig3
passerait dans le cas d'un égal espacement des appuis, l'avantage obtenu serait très-faible; il consisterait dans une réduction du maximum absolu de tension ou pression longitudinale, variable entre i jS et o,5o pour loo, suivant Timportance comparative de la charge permanente et des surcharges.
Mais, ainsi qu'on l'a déjà dit au n° 76, les constructeurs ont habituellement égard aux valeurs du moment. fléchissant X dans toutes les sections, et non pas seulement au maximum. En se plaçant à ce point de vue, il convient de chercher. à réduire autant que possible, non le maximum, mais bien la moyenne des valeurs absolues du moment fléchissant. C'est ce que nous allons faire, dans l'hypothèse où il n'y a qu'une charge uniforme, dont le poids est p par unité de longueur.
Soit d'abord ^ = i ; le moment X est alors représenté par les ordonnées de la courbe A^KESFT [fig. 89) , qu'on peut facilement construire,
Fig. 39.
puisque nous avons les expressions (a) et (3) de X dans une travée de rive et dans la travée centrale. Le sens positif des ordonnées est censé descendant.
Pour avoir l'ordonnée moyenne en grandeur absolue, il faut calculer la somme des aires A,RE h- ESF + FTH et la diviser par Â^. Or on a '
aire A,RE = ^ A,E.(jIl = 0,04267/?^';
aire SA,E = \kfi (a.S + GR) +|gE.GR — A.G.GR = o,oo^^^pb^\
aire SA,F = ^A,H (A,SH-HT) -f-|HF.HT - A.H.HT = 0,01207 pb';
aire FTH = ~ HF. HT = o,oo373/?^^
