VALEURS DE S

pc''

pU

o,oi883

On voit par ce tableau que la valeur ^ = i,25 est celle qui rend minimum la moyenne y" ; en comparant entre elles les moyennes y" relatives à ^ = 1,25 et ^ = I , on reconnaît qu'elles sont dans le rapport de 93,7 à 100. La diminution obtenue quand on .passe de ^ = i à ^ = 1,26 est donc à peu près de 6,3 pour 100.

On peut encore se demander si la valeur ^ = i,25 produit aussi une certaine réduction dans Taire du polygone mixtiligne dont nous s^ons

PROBLÈMES BITERS GONGRRKANT LES POUTRES DROITES. igS

parlé un peu plus haut à propos du maximum p', et qui représente , en chaque point de la poutre, le plus grand moment dû à la surcharge seule (fig, II à i8 de PAtlas, troisième partie). Comme nous avons donné dans un Formulaire , à la fin de la troisième partie, les équations des courbes qui composent ce polygone, il n'y a pas de difficulté à calculer numériquement son aire. Nous avons fait ce calcul seulement pour deux valeurs particulières de ^, et nous avons trouvé

dans le cas de ^ = 1 ,00 o^oSigapL',

dans le cas de ^ = I ,a5 o,o3o8o/7L';

le rapport des ordonnées moyennes k pV devient donc respectivement o,o3ig2 et o,o3o8o; par suite, la diminution en faveur de ^ = i,a5 est de 3,5 pour 100.

L'aire de courbe qui représente les moments dus à la charge permanente seule étant exprimée, comme on Ta vu, par L^", c'est-à-dire par o^oioo^pV quand ^ = i et par 0,01 883/? L' quand ^ = i,a5, s'il y a tout à la fois charge permanente et surcharge , la moyenne des limites absolues des moments dans les diverses sections sera

pour ^ = 1,00 (0,02009/? + o, 03192 /?')U,

pour ^= 1,25 (o,oi883/>4-o,o3o8o/?')L*;

la diminution relative, quand on passe du premier cas au second, deviendrait P^^'^ P ^^^^ ' P , rapport variable avec ^, ? mais différant 0,02009/? -+-0,03192/? '^'^ p'

peu de o,o35 ( 1 4- ^ — r-^-i) ^ il serait de 0,046 si Ton avait — , = i . \ 5p-hSpJ ' p

Nous avons aussi cherché (n'^ôS, III) à rendre maximum le moment fléchissant moyen produit par la charge permanente seule , en supposant qu'on fît varier tout à la fois la distance mutuelle des appuis et leurs ordonnées relativement à la fibre moyenne primitive. Nous avons reconnu que la moyenne minimum, pour trois travées, a une valeur égale à 0,01 849/? L^ tandis que si les appuis sont pris sur la fibre moyenne primitive [ce que la discussion précédente suppose implicitement (n**76)], la moyenne s'élève à 0,02009 /?U ou à o,oi383/?L*, suivant qu'on a ^= i ou ^ = 1,25. La diminution correspondante qu'il est possible d*obtenir avec la meilleure disposition possible des appuis est , en conséquence , Respectivement de 8,0 et de 1,8 pour 100.

En résumé, à quelque point de vue qu'on se place, on doit reconnaître qu'il n'y a pas de raison bien péremptoîre pour s'écarter de la valeur ^ = i, c'est-à-dire pour ne pas donner la môme ouverture aux trois travées. Sous certains rapports, nous avons en effet trouvé avantage à prendre S un

peu supérieur à i , tandis que d'autres considérations conduiraient à le réduire, au contraire, un peu au-dessous de ce nombre. Dans tous les cas le bénéfice est représenté par une diminution de quelques centièmes sur un moment fléchissant maximum ou moyen. Or les moments fléchissants ne sont pas connus très-rigoureusement, puisque nous les avons calculés comme si la section était constante, tandis qu'en pratique on la fait généralement variable. D'ailleurs les calculs de ce genre sont toujours afiectés par l'incertitude des hypothèses fondamentales de la théorie : on ne peut donc pas raisonnablement attacher beaucoup d'importance à une diminution aussi faible , peut-être notablement inférieure aux erreurs commises dans les évaluations des moments. Ajoutons encore qu'on pourrait la contre-balancer en pratique sans augmenter les frais d'établissement de la poutre, soit par un léger accroissement des coefficients numériques admis dans les calculs de résistance (coefficients que l'expérience ne saurait indiquer avec précision), soit par un accroissement plus faible encore dans la hauteur des sections transversales. (Voir le paragraphe suivant.) Cette discussion ayant exigé d'assez longs calculs, nous n'avons pas cm devoir la répéter dans l'hypothèse où le nombre des travées excèc(erait trois, d'autant plus que le résultat final obtenu ci-dessus paraît en montrer le peu d'utilité pratique.

§ III. — Observations sur la vérification de la stabilité et sur le calcul des dimenidons d'une poutre chargée transversalement.

80. Vérification de la stabilité. — On a vu au n** 21 que lorsqu'une poutre supporté des charges perpendiculaires à la fibre moyenne et toutes contenues dans le même plan, il se développe trois genres d'actions moléculaires, savoir : 1° des tensions transversales produites par l'effort tranchant et qui, suivant l'expression technique, metlenl enjeu la résistance au cisaillement; 2° des tensions ou pressions parallèles aux fibres, qui sont produites par le moment de flexion, et mettent en jeu la résistance longitudinale. En chaque point il y a généralement une action du premier genre et une action du second, cette dernière étant ou une tension ou une pression, ce qui fait bien, comme pous l'avons dit, trois genres distincts. On a également vu (n* 21) comment il était possible de calculer les intensités de ces forces moléculaires rapportées à l'unité de surface.

D'un autre côté, Texpérience indique certaines limites que

ne doivent pas dépasser les tensions tjansversaîes ou longitudinales par unité de surface, dans toute construction présentant des garanties suffisantes de conservation indéfinie. La détermination de ces limites et l'élude desïaîts qui s'y rapportent seront, dans une autre partie du Cours, l'objet d'un chapitre spécial. Quanta présent, nous les supposerons connues et nous les nommerons :

R pour les tensions transversales ;

R' pour les tensions longitudinales positives ou tensions

proprement dites; R" pour les tensions longitudinales négatives ou pressions»

Il conviendra donc de s'assurer que les maximums des trois g^enres d'actions moléculaires^ dans la pièce considérée, sont respectivement inférieurs, ou tout au plus égaux à R, R', R". Or dans celte vériûcalion nous distinguerons trois cas : en outre, pour plus de simplicité, nous supposerons la poutre homogène et la déformation plane ( n° 48 ).

• Premier cas. Section constante et symétrique relativement à l'axe de flexion. — Suivant les procédés employés au § I de ce chapitre et dans la troisième partie du Cours, ou par d'autres moyens plus ou moins analogues, on cherchera d'abord comment varient les efforts tranchants P et moments fléchissants X, d'une section à l'autre, et avec tous les systèmes de charges que la pièce peut avoir à supporter. On obtiendra les plus grandes valeurs absolues X' et P' de ces quantités, dans toute l'étendue de la pièce, sous l'action des charges les plus défavorables. Alors, si l'on nomme û l'aire constante de la section transversale, et A sa hauteur mesurée perpendiculairement à l'axe de flexion, les maximums des trois genres de tension par unité de' surface seront, d'après les formules du n'21, • , , ' . . ' F X'A X'A