PG P
En effet, l'expression ^^ se réduit d'abord à ^r» par suite de
198 GHAPITRJB TROISifiHE*
r invariabilité de G^ et comme Ql est aussi constant, elle ne varie qu'avec P; de même dans Texpression -|—î I est une constante, et M a pour valeurs extrêmes - A et h, dans toutes
les sections, d'où il résulte que -y— prend sa plus grande valeur pour m = ifc - A et PA=:X'. On devra donc, en appelant Ri la plus petite des limites R' et R'S poser les conditions de stabilité
Beuxièhb cas. Section constante, mais non symétrique relativement à l'axe de flexion, — En ce qui concerne l'effort tranchant, la condition de stabilité reste la même que dans le cas précédent; mais il en est différemment pour les conditions relatives aux tensions ou pressions longitudinales. Concevons que la fibre moyenne soit prise pour axe des x, qu'une perpendiculaire menée dans le plan des forces soit Taxe des/, et appelons :
X' le plus grand moment fléchissant positif, le sens positif étant (suivant la convention du n* 42) celui d'un moment qui tend à coucher Taxe des x positifs sur les 7 positifs;
X" la plus grande valeur absolue des moments négatifs;
u' la plus grande distance des divers éléments de la section à l'axe autour duquel se produit la flexion, ces éléments n'étant pris que du côté des y positifs ;
«' la distance maximum analogue du côté des jr négatifs.
Le moment X' produira une extension du côté des 7* négatifs et une compression de l'autre côté : il fait donc naître
X'a*' une tension maximum — j— par unité de surface,
X'a' une pression maximum — j— par unité de surface,
PROBLÈMES DITBES CONGBRlfAHT LSS POUTRES DROITES. igg
et ce seront là les plus grandes actions longitudinales dues aux moment^ fléchissants positifs. Pareillement les plus grandes actions dues aux moments négatifs seront
la tension., la pression.
Donc la plus grande tension par unité superficielle, dans toute
la pièce, sera la plus forte des deux valeurs — j— et — j— \ la
X'tt' plus grande pression sera la plus forte des deux valeurs -.=—
et —z — • Nommant -^ et — •— ces deux maximums, on aura donc les conditions
Dans le cas où R' égalerait R'^ il suffirait évidemment de vérifier que R' est supérieur à la plus grande des deux quantités
—^3 * > ou (ce qui revient au même) à la plus grande des
,. . X'a" X'tt' X'^m' X"a" quatre quantités —y— > ~f— > — f^' "'l —
Troisième cas. Section variable. — Quand la pièce a une section constante, on se guide nécessairement, pour en fixer les dimensions, sur les plus grands efforts tranchants et sur les plus grands moments de flexion qui ont lieu dans toute l'étendue de la pièce. Or, comme ces valeurs maxima ne se produisent que dans certaines sections déterminées, il en résulte que toutes les autres ont des dimensions plus que suffisantes pour résister convenablement aux forces qui s'exercent sur elles; par suite on aurait pu employer une moindre quantité de matière. C'est afin d'éviter cet inconvénient et de réaliser ainsi une économie plus ou moins notable, qu'on établit souvent des pièces dont la section change d'un point à l'autre de la fibre moyenne.
200 CHAPITRE TROISIÈHB.
Dans ce cas, suivant que la section a une forme symétrique ou non, il faut encore employer les conditions ( i ) ou (2); seulement les maxima P', X', X'^ ainsi que les hauteurs A, «', u" y ne doivent pas être déterminés pour la pièce considérée dans toute son étendue, mais bien pour la section dont on s'occupe , prise à l'exclusion de toutes les autres. La vérification des conditions (i) ou (2 ) doit d'ailleurs se répéter pour toutes les sections, ou du moins pour un certain nombre d'entre elles, assez peu distantes les unes des autres.
81. Calcul des dimensions nécessaires pour résister à des charges données. — Lorsqu'il s'agit, non pas de vérifier si une pièce donnée, avec des dimensions parfaitement définies, est en état de résister à un système de forces également connu, mais bien de calculer les dimensions de manière que la pièce supporte, sans altération, des charges fixées d'avance, alors le problème peut devenir beaucoup plus difficile. D'abord il est possible que les forces extérieures finalement appliquées à la poutre dépendent en partie des dimensions inconnues. Cela aurait lieu, par exemple, pour une poutre reposant sur plus de deux appuis en ligne droite, puisque la Statique ne donnerait qu© deux équations entre les réactions de ses appuis, et que les autres équations nécessaires à leur détermination devraient être posées en ayant égard à la flexibilité de la poutre. Si l'application de procédés rigoureux entraînait à des calculs inadmissibles en pratique, on éluderait cette première difficulté en cherchant les efforts tranchants P et moments de flexion X dans une section quelconque, comme si la poutre avait une section constante : c'est ce que nous avons fait dans la troisième partie du Cours. Nous regarderons donc encore comme connues les limites extrêmes de P et de X, soit dans la poutre entière, soit dans une section prise arbitrairement.
Les choses étant amenées à ce point, il est aisé de voir que le problème reste encore indéterminé. En effet, suivant que l'on se placera dans l'un ou l'autre des trois cas particuliers examinés.au numéro précédent, on devra poser, pour la poutre entière ou pour chaque section isolément, les inégalités de condition (i) et (2) du n° 80, dans lesquelles tout sera connu, sauf
PROBLÈMES DITSaS GONGSRNANT LES POUTRES DROITES. aOl
les quantités Q, I, h, u', u". On saura donc que les dimensions cherchées doivent vérifier certaines inégalités, susceptibles, si Ton veut, de se convertir en équations; mais il est visible que cela ne. suffirait pas pour définir tout à fait une aire plane, sur laquelle on ne connaîtrait rien d'avance. Par exemple, dans le cas d'une section constante et symétrique, les conditions (i) devant être observées, on saurait que Faire Q doit être supé-
rieure ou tout au plus égale à |r j et de même t aurait une
limite inférieure; mais on n'en saurait conclure toutes les dimensions de Taire û, sans ajouter d'autres conditions qu'on se donnerait arbitrairement.
- Les conditions de résistance se présentant sous forme d'inégalités, il est assez naturel de les convertir en égalités , pour ne pas augmenter inutilement les dimensions que Ton cherche ; en d'autres termes, il semble convenable de faire en sorte que la matière supporte les tensions les plus fortes que l'expérience permet dans chaque genre d'efforts moléculaires. Mais cela ne sera pas toujours possible. Soit en effet proposé d'établir une pièce en tôle, à section rectangulaire constante, pour laquelle les quantités P', X' et R» ( n*» 80) auraient les valeurs p
Fr=::I2000^S X'^rSoOOO^^S"^,
R, =r6oooooo^«;
nommons h la. hauteur de la section mesurée parallèlement à P', et b l'épaisseur dans le sens perpendiculaire. On auraic (n«6)
\ = -hh\
et, par suite, les inégalités (.i) prises comme égalités deviendraient
(3) — -^y — = 6000000, ou 6A = 0,002,
(4) ~~hh% — ==6000000, ou 6A2=o,o5o.
aoa CHAPITRE TROISIÈME.
En divisant ia seconde par la première, on trouverait
la première donnerait ensuite
Or il est évident pour toute personne ayant le moindre sentiment de l'art des constructions qu'un équarrissage de 25 mètres
de hauteur sur — de millimètre d'épaisseur ne saurait être
admis. Aussi faudrait-il, dans cet exemple» renoncer à Tune des équations (3) et (4); les efforts tranchants étant moins à craindre que les actions produites par la flexion, comme nous l'avons déjà dit plusieurs fois, on se préoccuperait d'abord de ces dernières, et on poserait
bh} := o,o5o,
équation à laquelle on pourrait satisfaire en prenant fr =o*°,025, A = i"*,4i4; comme d'ailleurs le produit bh serait ainsi supérieur à 0,002, on serait assuré de la stabilité.
Cet exemple et les explications qui le précèdent suffisent sans doute pour montrer ce qu'il y aurait à faire en général. On considérerait comme connues les dimensions cherchées , et on poserait les inégalités exprimant les conditions de résistance (n^ 80]. On tâtonnerait ensuite de manière à satisfaire à toutes ces inégalités, en s' écartant le moins possible de l'égalité; on disposerait pour cela des dimensions transversales, ou au moins d'une partie, si des considérations d'un autre ordre en avaient déjà fait arrêter quelques-unes. Enfin, tous les résultats fournis par le calcul devraient être contrôlés et examinés au point de vue de l'art de l'ingénieur, en se fondant sur des notions que nous n'avons point à exposer ici, mais qu'on puise dans les exemples de constructions analogues à celles qu'on projette, dans l'expérience acquise et le sentiment du praticien. En un mot, l'ingénieur ne doit considérer les formules que comme un guide à consulter et non à suivre aveuglément. La vérité de la théorie d'où elles découlent est toujours subordonnée à la
PROBLÈMES DITERS GONGBRNANT LES POUTRES DROITES. 2o3
réalisation plus ou moins complète de quelques hypotHèses primitives, et la pratique seule peut apprendre les cas où ces hypothèses se trouvent suffisamment d'accord avec les faits.
82« Influence de la forme attribuée à la section transverscUe d'une poutre. — Quand il s'agit de résister à un effort tranchant, la tension par unité de surface reste toujours la même, quelle que soit la forme de la section, si toutefois celle-ci est homogène et conserve une aire constante : la forme a donc une influence nulle sur la résistance. Il n'en est pas de même quand on considère la résistance aux moments fléchissants. Supposons , pour plus de simplicité , une section homogène symétrique relativement à Taxe de flexion; suivant les notations du n** 80, la tension longitudinale maximum, dans cette
section, serait proportionnelle au quotient y* L'inverse -r donnerait donc une mesure de la résistance de la section aux moments fléchissants, car plus 7 sera grand, moindre sera le
maximum de tension dû à un même moment. Or ^ > à égalité de Taire û, dépend de la forme de cette aire. Par exemple, si l'aire û était rectangulaire, on aurait (n*> 6)
I = — ÛAS
.et, par suite,
i = — ÛA, h 12
quantité proportionnelle à A, quand û conserve la même valeur. On en conclut ce fait bien connu qu'une pièce méplate résiste mieux aux poids qui tendent à la fléchir, lorsqu'elle est posée sur champ que lorsqu'elle est posée dans l'autre sens. Aussi donne-t-on aux poutres rectangulaires en bois ou en métal, destinées à supporter des poids, des équarrissages plus forts suivant la verticale que suivant l'horizontale. S'il s'agit du bois, en nommant b l'épaisseur horizontale de la section, on fait habituellement
pour les poutres métalliques le rapport t peut devenir beaucoup plus petit : il descend souvent à quelques millièmes. En le diminuant sans changer û, on augmenterait la hauteur A et, par suite, la résistance à la flexion ; mais à cet égard nous renvoyons le lecteur aux considérations qui terminent le numéro précédent.
Si Taire û est une ellipse, ayant pour axes b et h, l'un parallèle et Tautre perpendiculaire à Taxe de flexion , on a (n** 6)
d*où résulte
lO
h ib
Nous avons donc encore les mêmes choses à dire relativement aux variations de la résistance à la flexion avec A. De plus on voit que Tellipse est désavantageuse en comparaison du rectangle, à égalité d'aire et de hauteur, car le coefficient — relatif au rectangle est remplacé par-^-
Afin d'augmenter autant que possible le rapport t» on a imaginé les sections en forme de double ï {Jlg. 4o)« EHes sont composées de deux rectangles à côtés parallèles, réunis Fig. 4o. par un troisième rectangle perpendiculaire,
^ g comme Tindique la figure. La partie verticale
ZJ de la poutre, qui a pour section ce troisième rectangle, s'appelle souvent âme de la poutre. Les forces agissent perpendiculairement à la
--, ligne AB, et aussi, bien entendu, à la fibre
moyenne. Si Tâme a une section petite relativement à celle des branches horizontales.; si celles-ci sont très-minces , et en outre égales, on pourrait poser, sans trèsgrande erreur,
PROBLÈMES DIVERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. 2o5
ce qui montre Tavanlage de cette forme relativement au rectangle et à Tellipse, puisque le coefficient 7 a remplacé —
et -7.-
Au reste , quelque forme que Ton adopte, il est clair que rigoureusement on a toujours
I<7ÛA%
pourvu que la surface soit homogène. En effet, si Taxe de flexion divise la hauteur h en deux parties égales, on augmentera le moment d'inertie I en portant tous les éléments superficiels à la distance maximum - de Taxe ; il deviendrait alors
jûA* : donc il était primitivement plus petit. Il en est de
inéme, à plus forte raison, si Taxe de flexion ne passe pas au milieu de A; car puisque cet axe contient le centre de gravité de la section, en le déplaçant parallèlement à lui-même > pour le mettre au milieu de la hauteur, on augmenterait déjà le moment d'inertie (n** 2). Ainsi l'expression jSLh est pour t une
limite qu'on ne peut pas atteindre tout à fait ; mais on s'en rapproche avec la forme en double T à branches égales.
La quantité t étant, dans les trois exemples qu'on vient
d'indiquer, proportionnelle à A et à £2, on pourrait , quand même ù serait très-petit, la rendre aussi grande qu'on le voudrait, au moyen d'un choix convenable de A. On conçoit donc théoriquement des pièces dont la section transversale aurait une aire nulle, et qui cependant résisteraient bien à la flexion : mais ce n'est là qu'une conception non réalisable. Indépendamment des conditions pratiques non exprimées par la théorie, l'existence des efforts tranchants impose une limite inférieure à l'aire û, et l'on va voir au numéro suivant un autre genre de considérations qui conduisent également à ne diminuer indéfiniment aucune des épaisseurs de cette aire, dans le sens perpendiculaire à la hauteur À.
; A A' -II/h'
206 GHA.PITRS TROISlftHE.
83. Du glissement longitudinal des fibres les unes sur les autres. — Soit donnée d'abord une poutre à seclion rectangu- Fig. 41. laîre ABAtB, (fig. 4i), sou-
mise à une série de charges ^; parallèles au côté AB, par ^' l'action desquelles il se produit des mouvements de flexion autour d*axes paral- ' lèles à BB| . Nommons :
X le moment fléchissant et P l'effort tranchant dans la section AB;
dx = OQ la longueur d'un élément de la fibre moyenne, terminé à la section AB et à la section infiniment voisine CD;
b = BB, et A = AB les deux dimensions transversales ;
u la -distance comprise entre le centre d'élasticité 0 et une parallèle quelconque KKi à Taxe de flexion;
I le moment d'inertie de la surface AB^ supposée homogène, relativement au même axe.
La tension longitudinale par unité de surface sur la bande
infiniment mince KKiHHi sera-=- (n° 21); et, comme cette
bande a pour surface bdu^ elle supporte une tension totale
-rp udu. La somme de ces tensions , pour la partie AO de la
section AB, sera donc
