DO
'^^^ <p-f-2 9C0s'9 — 3sin<pcos9
a° Dans le cas d'un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de la corde,
— T H- -^sin*©-i- -7 coscp -7-^^ 9 sin9C0S9
4 12 4 sin9 2 ^ ^ ^
^ 9 + 29 cos'9 — 3sm9 COS9
Ces deux expressions sont, l'une et l'autre, le produit de la charge entière (2/?p9 ou ipa) par une certaine fonction de 9, c'est-à-dire qu'elles sont de la forme F'.2/?p9, Y",7.pa. Le calcul en sera donc très -simple avec la table des coefficients F' et F'' que nous avons jointe à celles dont il a déjà été question. Afin de pouvoir se passeï* de la table, et aussi pour >certains . problèmes dont le but final n'est pas la connaissance de la poussée, il n'est point sans utilité d'avoir les développements en série de F' et F'' et les expressions simplifiées de ces coefficients. Le calcul des séries de F' et F '^ se conçoit sans peine;
POUSSfiS DBS ARCS CUCULAIRES. 25S
en voici le résultat :
lj,„ j^ / 5 ^ 23 4___4j__ , 17023 , \
On peut remarquer encore que les quantités 9,/et a sont liées parla relation
lang-ç = ^,
d'où Ton déduit, par une formule connue,
-fflz^ arctang^ = -— oT"*- i-r —, -♦-•••; 2^ '^ a a 3a* 5a* 7a'
substituant cette valeur dans F' et F'% on trouvera
f Lorsque Tare est surbaissé, c'est-à-dire quand ^ est petit,
on peut se borner à prendre les deux premiers termes de cha-
que série; si de plus on néglige la correction 1 —X — et qu'on
templace i -h V -- par i -f- -^-rrr (n*»* 99 et 100), on aura, pour a' o/'
exprimer la poussée :
i^ Dans le cas de la charge uniformément répartie sur la
longueur entière de la fibre moyenne,
2** Dans le cas de la charge uniformément répartie sur la
256 CBAPITIIB QUATElfeVI.
longueur 2 a de la corde,
i04. Comparaison de la poussée produite par un poids uniformément réparti sur la longueur entière de la fibre moyenne avec celle que produirait le même poids total uniformément réparti suivant la corde, — Les poussées produites dans ces deux cas ne diffèrent que par les coeffî-
cients F' et F; leur rapport sera donc =55 soit, en développant ^ en série,
-Ti'--
Le tableau suivant fait connaître les valeurs du rapport ^ correspondant à divers angles (p.
yALKUBS de
RAPPORT
VALEURS
de
RAPPORT
OBSERVATIONS
o,ia
Oy20
Les trois dernières valeurs de
ment, sans employer la série.
On voit que tant qu'il s'agit d'arcs dont le demi-angle au centre, désigné pa.r 7, est inférieur à la moitié d'un angle droit, la poussée produite par un poids donné reste sensiblement la même quand on le suppose réparti uniformément, soit suivant la longueur de la fibre moyenne, soit suivant la corde. C'est donc avec raison qu'on regarde habituellement le poids propre de l'arc comme devant s'ajouter au poids du tablier, au poids d'épreuve, etc., pour donner un poids total par mètre courant de corde sur lequel on base le calcul de la poussée. Il n'y aurait d'intérêt à faire la distinction que dans certains problèmes où beaucoup de précision serait nécessaire, et où le poids propre de l'arc serait comparable à ceux qu'il supporte.
105. Comparaison de la poussée avec la tension horizontale d'un câble de pont suspendu, -i- Supposons un pont supporté par des arcs rigides et un pont suspendu ayant même flèche, même ouverture, et chargé de la même manière. La charge (y compris le poids propre des arcs ou des câbles de suspension) consiste en un poids uniformément réparti suivant Thorizontale. Soit/? ce poids rapporté au mètre courant, 2 à Touverture, /la
flèche. La tension horizontale Q', dans l'ensemble des câbles de suspension,
aura pour valeur ^-^j et la poussée Q des arcs sera donnée par les calculs du n"^ 103. On aura donc
ikloC
Cette formule montre d*une manière évidente que Faction horizontale sera toujours plus petite dans les arcs rigides que dans le systèime flexible des ponts suspendus ; car on a le produit de deux facteurs plus petits que Tunité, à diviser par un facteur qui est au contraire plus grand que i. Le
rapport ^variera d'ailleurs avec —, et avec Tangle y qui détermine r > > et >'. Le tableau suivant en donne une idée.
VALEURS de
{=tangjç».
VALEURS
de X,
VALEURS
de V.
VALEURS DU RAPPORT jr,
P0URp=:
106. Exemples de la détermination d'une poussée au moyen des tables, — Vous prendrons pour premier exemple le projet du pont de Brest pr^ sente p&r M. Tritscher, dont nous nous sommes déjà occupé au n"" 36. Le
258 CHAPITRE QUATMftHB.
lecleur voudra bien s'y répéter pour aroîr la déOnition ô» Isr forme de Tare et des poids qu'il supporte. La poussée ou réaction horizontale des appuis était supposée connue au n*" 36 ; il s^agit ici de montrer comment le calcul a pu en être fait. Pour cela, nous partagerons chaque moitié de Parc, d'un côté de la verticale BG du sommet Ifig. a6), en six parties, les points de division étant à des distances de BG (mesurées horizontalement) qui ont pour valeurs successirea
lo", 20", 28™, 36™, 44°*, 52?, 915 ;
à égale distance des verticales extrêmes de' chaque partie, se trouve la résultante des poids qui chargent cette partie : ces résultantes ont pour valeur en tonneaux de 1000 kilogrammes
3iS 3iS 89\2,- 89*,i, 89*,2. ^\i.
Nous allons déterminer la poussée comme si ces résultantes pouvaient être substituées aux forces élémentaires , ce qui ne doit produire qu'une faible altération (n°94). Cherchons à cet effet les arguments nécessaires.
D*abord TangTe <p est de 74** io''24^3; par suite — ,= 0,824. Les angles
ô', ô", G'", ô'^, ô', G^' correspondant aux points d'application, sur la fibre moyenne, des résultantes partielles, s'obtiennent aisément; car ces points sont aux distances suivantes de la verticale BG :
d'où l'on tire, le rayon du cercle étant 55 mètres,
siBG' =^, ô^ =5-12' 57^3,
SÎnG''=i|/ 6-=: i5*»49'35",8,
6inG"^=î|, G'" = 25*» 52' 19^6,
! sittG^'=||^ ô'^'=35°34'4A7r
sinG'=g, G' = 46^ 39' 29", I,
8inG"=^i^Z^, G^'=62°53'25^4- ..
TT
poussftK IIB& ABCS aRCOLàiRES. aSg
Par Sttite^ on oblieat les rapport» désignés par m dans la Table I,
»r = ^ = o,o7ï>, wt^:= — = Oy4Bo,
mî*— — =0,212, /72^ = =0,629,
/«"'= — --= 0,349, rrC'= — = 0,848.
Ces données suffisent poyr calculer la partie principale de la poussée due à l'ensemble des poids ; pour cela, il faut multiplier chaque résultante
partielle par un coefficient ^ que la Table I fait aisément connaître, au
moyen d'une triple interpolation. Prenons, par exemple, le coefficient qui
s'applique à la seconde résultante de89\S) située à 3i mètres de la Ter-
ticale du sommet, fl s'agit de trouver la valeur d'une fonction de — et
de w, quand on y fait
Or la Table I donne : ' *
pour -— î- = o,8o, /7ï = 0,45. .. ô= o, 323,
^^ a, ftr ^
pour —^=0,84, /w = 0,45. ..•= = 0,292,
pour — î- = o,8o^ /w = o,5o. . .■= = 0,291,
pour — = 0,84, /w = o,5o. . .-= = 0,261.
Interpolant par parties proportionnelles entre la première et la deuxième ligne d'une part, la troisième et la quatrième d'autre part, on conclut :
2 9 El 24
pour —^ = 0,824, m = 0,45. .. "5 = 0,323 — o,o3i • -— = o,3o44»
pour —^ = 0,824, m = o,5o. .. ^ = o>^9ï — o,o3o«— -= 0,2730,
