TT D
iCne dernière interpolation entre ces deux lignes donne définitivement :
pour — = 0,824, m = 0^480. . . 5 = o,3o44 — o,o3i4« -r = 0,286.
Ainsi la valeur cherchée est 0,286. On a obtenu, par des calculs tout à fait pareils, le coefficient de la partie principale de la poussée produite
26o CHAPITRE QUATRlItMB.
par chaque résultante partielle. Ces coefficients sont successivement
On en conclura la partie principale de la poussée due aux poids, en mul* tipliant chacun de ces nombres par la résultante à laquelle il correspond, additionnant et multipliant par 2, afin de tenir compte des poids égaux placés de Tautre côté de la verticale moyenne BG, qui produisent la même poussée que les premiers. On a donc, en désignant par Q^ cette partie principale,
0 = 2 fo>455. 31+0,421.31 4-0,361.89,2 \ ^ ^^y
Avant de faire subir à ce nombre la correction nécessaire, il faut encore lui ajouter la poussée produite par la dilatation linéaire indépendante
des charges. Ici nous avons -3 = 0,000269, car la section étant un rectangle homogène de 3 mètres de hauteur, r^ est égal à — •3'= 0,75, et
a = 52°, 91 5. D'un autre côté, Taire de la section est o'"*',i44, nombre qui, multiplié par le coefficient d'élasticité de la tôle, donne
c = o,i44'2'io**.
Quant au coefficient de dilatation r, supposons-le, par exemple, de o,ooo4y ce qui répondra, si l'on veut, à une augmentation de température de 25 degrés et à un calage ayant pour épaisseur 0,0001 de la longueur de Tare. Enfin, prenons dans la Table II, en interpolant, la valeur de F = 2,6 ; nous trouverons alors, pour la poussée dont il s*agit, abstraction faite de la correction,
FTe-,= 8o6''°.
Donc la partie principale de la poussée sera, dans les conditions où nous nous sommes placé,
Il ne reste plus qu*à effectuer la correction. L'effet de la dilatation étant ici peu important, nous affecterons l'ensemble des deux résultats du
même coefficient ^ ? bien que pour la dilatation nous dussions seu-
i + vl-
lement diviser par i + ).' -jj la Table IV nous fournit la valeur de' ce
POUSSftE BSS ARCS CIRCULAIRES. 261-
coefficient. Pour -2 compris entre 0,80 et 0,84, et — = o,ooo5, le coefficient serait 0,998; il devient 1,000 quand -5 s'annule : donc, pour
—2 = 0,000269, rinterpolation donnerait sensiblement 0,999. Il faut donc
diminuer la poussée obtenue .tout à Theure de 0,001 de sa valeur, et Ton obtient défioitivement le nombre
Q = 2I4S56 — o*,24^ ai4*,35,
résultat égal, sauf une différence relative <îe j-^> à celui dont nous
avons fait usage au n"^ 36, et que nous avions obtenu antérieurement à la construction de nos tables, par remploi du calcul intégral (n"" 94). La différence provient des décimales négligées et de la substitution des résultantes partielles aux poids répartis d'une manière continue ; il est même vraisemblable que les erreurs ont dû se compenser. Néanmoins cet exemple semble prouver que la substitution dont nous parlons est sans inconvénient pratique dans le problème actuel.
Le second exemple se rapporte au viaduc en fonte de Tarascon, établi sur le Rhône pour le chemin de fer de la Méditerranée. La section transversale d'un quelconque des huit arcs en fonte qui soutiennent une arche est représentée en détail par la ^g. 47. La fibre moyenne est d'ailleurs
Fîg. 47.
un arc de cercle de 4",95 de flèche et 69°, 99 de corde. On déduit de ces données
ç = 18° 4 4' 30", 6a, en degrés sexagésimaux, .ay i8°44'3o'',6â
Qo'*
et dans l'hypothèse de l'homogénéité de la fonte,
Nous voulons simplement ici trouver la poussée due à un poids de io5 tonneaux de 1000 kilogrammes uniformément réparti sur la longueur entière de l'arc, et à «m poids égal uniformément réparti^suivant la'lobgueur entière de la corde.
Cette poussée sera exprimée (n* 103) par
356a CHAnniS QUATOtlR.
soit, à cause de 2pp^ = %p'a = io5\
Q = ^,(r-hF'').io5».
La Table H donne F et F :
pour -? = o,ao, on a F'=i,562, ?"= 1,573;
pour -? = o,ai, on a F'= 1,484, F'^ 1,496;
donc, en interpolant par parties proportionnelles, lorsque — sera o,3toBa, on trouvera
r=: 1,562 •-o,8!i <i,5fa-. i,4«4) = 1,498, F*= 1,573 — o,«2 {i ,573 — 1,496) = i\6io.
QaSBt an eoeflideiit de correction ;i on i'oblàeiU au noyan de la
ar Table ÎV par une double interpolation. On trouve :
pour — i = 0,20 et -5 = o,ooo5. . . le coefficient = 0,964;
pour -^ = o,2i et -5 = o,ooo5. . . le coefficient = 0,967.
Donc, si -^ devient 0,0082 et si — reste égal à o,ooo5, le coefficient de correctioii deviendrait api»t>ximativement
en admettant Tinterpolation par parties proportionnelles. D'ailleurs, pour
une valeur quelconque de — ) si ^ est nul, le ooefficœnt diercfaé est tou* 7z a *
jours égal à i; donc une seconde inierpolatioa entro ^ ^ a,ooo5 et
-j= o, — i restant 0,2082, donnera pour la valeur demandée
^-r . i ^^^. o,ooo5 — o,ooo336 - 0,9665 -h (i-o,9665)-^ ^-^ =0,9775.
POUSSiB 9S0 àM€» CnCCLAIRES. 363
Donc définitivement la pousôée d*un are appartenant au viadue de Tarascon sera, dans les circonstances indiquées,
Q F <>»9775 (1,49^ + i,Sio) io?«r 3oy,7.
Ces deux exemples paraîtront sans doute suffisants pour bien faire comprendre la disposition et Tusage des tables de poussée.
264 GHàPITBB CINQUItn.
SOLUTION DE DIVERSES QUESTIONS CONCERNANT LES PIÈCES A FIBRE MOYENNE CIRCULAIRE ET A SECTION CONSTANTE.
§ ^^ — Calcul de la Tariatioii de flèche dans certaines circonstances.
107. Observations préliminaires. — Nous continuerons à faire au sujet des pièces courbes dont nous devons étudier la variation de flèche les hypothèses restrictives qui ont été exposées au n® 87. De plus, nous conservons dans le courant de ce chapitre les notations définies au n*" 88.
Cela posé, nous allons procéder au calcul de la variation de la flèche : i"" sous Taciion d'un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de l'arc; 2? sous l'action d'un poids uniformément réparti suivant la corde entière; S'^par l'effet d'une dilatation provenant de causes étrangères aux charges.
108. Variation de flèche produite par un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de l'arc. — La pièce étant symétrique et symétriquement chargée, on doit appliquer la dernière formule établie au n*» 51, en supposant r = o, parce qu'on ne s'occupe pas ici des effets de la dilatation résultant de causes étrangères aux charges; si d'ailleurs on néglige le glissement transversal (n^il), la formule en question devient
X*N rfr
n'aura pas d'influence sensible. En effet, d'après la théorie de
l'extension simple, la valeur absolue de — exprime l'allonge-
ment ou raccourcissement relatif subi par l'élément ds de la
DÉFORMATION ET RÉSIâTAlfGB BIS ABCS CIRCULAIRES. 265
fibre moyenne ; or» dans la pratique, ce nombre est toujours très-faible et ne dépasse pas ordinairement quelques dix-millièmes : on serait donc en droit d'admettre Tinégalité
± - <o,ooi,
et par suite
Fîg. 48.
-rir><*(''-ri-)'
ou bien encore, / -f- dx étant égal en valeur absolue à la flèche/,
Ainsi le terme dont il s'agit ne produira jamais dans la flèche un changement proportionnel atteignant 0,00 1. Donc on pourrait, comme nous l'avons dit, ne pas s'en préoccuper. Toutefois nous établirons d'abord des formules ' exactes , en tenant compte de ce terme.
Pour effectuer le calcul de — A/, on exprimera, comme on l'a fait précédemment, toutes les variables en fonction d'une seule, qui sera l'angle a de la verticale OB [Jig. 48) avec le plan OG d'une section normale quelconque. On aura
x = p sina, rfar=:pcosacîa,
j=rp(cosa-— COS9), rff=— psinarfa, a = CD = p sinç , ds=:pdix.
Projetant ensuite sur GO et sur la tangente en G toutes les forces extérieures qui agissent sur la partie GC de la pièce, on obtiendra l'effort tranchant P et la tension totale N dans la
const.
â66 CKAmmi cam^iftSE.
seOion faite suivant GO, savoir :
P =r j[ip ( <p — a) cosa — Tcosa H- Q sîna, N = /?p (<p — a) sina — Tsina — Q cosa,
ou, à cause de T = pp<f ,
P=— /ipacosa H-Qslna, N = — /?pasina — Qcosa.
La valeur de P xious est utile pour connatlre X, car on sait (n'^TO) qu'on a
rfX=:zt:PA = ±:PpJa;
donc, en intégrant cette relation,
==±( — /?p* lacosarfa + Op / sinarfa j -h const.
=:±[— />p' (a sin a -f- cosa) — Qp cosa] -4- const.
Afin de compléter la détermination de X, il faut remarquer : I*» que, si l'on calculait directement le moment X, la force Q y introduirait le terme — Qp (cosa — cos<p), car le moment de Q doit être jpris négativement^ comme tendant à faire tourner dans le sens de x vers j^ (n'^iSJ; a*» que X s'annule en C, puisque les forces^ appliquées à la dernière section se réduisent à Q et à T« La première remarque prouve que dans le double signe ±: c'est le signe -h qu'on doit ciioisir; la seconde détermine la constante; et il vient finalement
X=:— /ip»(cosa — coscp-hasina— 9>sin<p)— Qp(cosa— cos<p).
Quand on transporte ces diverses valeurs dans l'expression de — A/, on trouve
— Af=zi-±- I (sina— sm(p}(cosa— cos<p4-asina— (psin<p)rfa -" — 7 / (sina — sin<p) (cosa — coscpjrfa
Pi e
Jf asln»arfa4-^I sinacosarfa.
DÉFORMATION ET ItÉSISTllICB BIS ARCS CIRCULAIRES. 267
L'intégraUon s'effectue aisémem; on ne rencontre ici que des intégrales déjà connues, sauf / asm^ada. Or, en intégrant par parties, on obtient successivement
f asin'arfarir — asînaCosa-4- I cosa(2(asina)
= — «sînacosaH- j (^nucosa -^ occos^oc) da
= — asinacosa-l--sin'a-4- ia{i — sin'a)rf«
= asinacosa+ -7 sm'a -h t « •
On est donc en mesure d'écrire la valeur de — A/, qui est — A/^r-^ î — 7sin*ç-4- -«psînçcosç-f-i — cosç
— 9 sinç -f- ç*siiî*ç -hj(f^j — -^1 -smç — (psin<pcos9 h- cosç — i j
-h^(--i9Sin9COS<p -f-sin^çH-ç*) -f- ^sin'ç, soit encore
•^ er^ er^ e e
H, H', H"^, H'* étant des constantes connues maintenant en fonction de 9. La formule précédente suffirait donc pour calculer— A/, puisque d'ailleurs on peut, par un calcul préalable, connaître la poussée Q.
Lorsqu'il s'agit d'un arc surbaissé, c'est-à-dire dans l'hypothèse, assez généralement vraie en pratique, d'une petite valeur de 9, cette formule peut recevoir une forme beaucoup plus simple. Pour la trouver, nous remplacerons d'abord Q par sa valeur donnée au n^ 103 :
Q=3 2/ipç.F'
a68 CBAmu
et nous aurons de celle manière
Q sin'o
Or on connaît déjà le développement de F' en série (n* 103]^ ainsi que celai de X et 7/ (n"" 99 et 100 ), et il est facile, au moyen des séries connaes do sinus et du cosinus, d'avoir ceux de H, H', W, HT, Le calcul donne pour résultat :
2^^ \ i5o^ a8oo^ 756000^ ••-y»
et, par suite, «
sin*9 ^ i6\ 35o^ 176400^ /*
Ha'-2F'H'').9=|9'(i--^9'-t-...y
Donc, en ne prenant que le premier terme des trois séries précédentes, ce qui est légitime pour de petites valeurs de 9, on aura
pp' / p'9* 25 5r*9^\ 7 77r^ V726Ô7* "^ 16 *^ "80»"/
Cette valeur est encore susceptible de quelques simplifications. D'abord nous savons qu'on peut sans erreur relative notable
DfiFOHUÀTION ET AfiSISTANCE DES ABCS CIRCULAIRES. 26g
remplacer i-hV— par i ■+•-7777 (^** 100); en second lieu, puisque 9 est petit, on a sensiblement
p(p = a et 9 = 2tang-(p= -^5
enfin, à cause de la limite de 7 — ^ que -; ne dépasse pas (n^'QT),
le terme -5—7- se rons simplement
le terme ^ J sera petit relativement à -^« Donc nous écri-
ou bien
:i,56 . ^P' ,. (i-i-o,oo8i4^V
La formule (i) ci-dessus, d'après la manière dont elle a été .obtenue, semblerait ne devoir être appliquée que lorsque Tare est notablement surbaissé. Cependant on se convaincra aisément par des substitutions directes qu'elle ne donne pas une forte erreur, même dans le cas où la fibre moyenne se rapproche du demi-cercle, c'est-à-dire quand 9 est peu différent
de — Ainsi, quand on fait 9 = - dans les expressions non
développées en séries, on trouve
HV-2rH>?^ +H''H- 2F'H-9 = '>6o3o3, sm*9 ^
H''X'~2F'H'a9 = o,6i685, et, par suite,
370 CHAPITRE CIHQDlftlIE.
Or, le terme o,6i685 -j est négligeable devant i,6oSo3;
1 -f- ^' ~ peut être remplacé par 1 -h -^-t^j- avec une erreur
relative inférieure à — (n° 100); donc on aurait très-approximativement
PP\ (.,6o-f.o,o.35P-;\.
La formule (i), en remarquant que pour 9 = - on a/=a=::jp, donnerait
on voit donc qu'elle conduirait à peu près au résultat exact.
TT
La substitution de 9 = 7 nous fournirait encore une cônclu-
sion dans le même sens; car en laissant de côté le facteur . ^^ — pr- ? sur lequel on fait une très-petite erreur quand
on le remplace par —, — ^^^ ^ ? la formule (i) donnerait
pour le second facteur
1,56 + 0,0127 ^v au lieu de la valeur véritable
Terreur relative à craindre serait donc limitée à -^5 dans le cas défavorable oïl -^ — serait très-grand ; et généralement elle serait plus petite, car il est rare que le terme i,56 ne l'emporte
f * pas de beaucoup sur celui qui contient le facteur -7— j- ^
BéFOBMÀTION ET BfiSISTUTCE DIS ABCS CIRCULAIRES. 27 1
109, Fariation de flèche produite par un poids uniforme^ ment réparti suivant la longueur entière de la corde. — Nous admettons identiquement les mêmes données qu'au n® 108, à part cette différence que la charge sera répartie uniformément, non plus suivant la longueur de Tare, mais suivant une parallèle à sa corde, c'est-à-dire qu'une partie de Tare, occupant en projection sur cette corde une longueur /, supportera une charge p'L Celle charge agit d'ailleurs perpendiculairement à la corde. On demande de déterminer rabaissement -— A/ du sommet de l'arc.
On remarquera d'abord que la pièce a un poids propre dont on ne pourrait pas toujours faire abstraction; mais si l'on en tenait compte, cela aurait simplement pour effet d'introduire
dans l'expression de — A/ les termes H ^et H*^ que nous,
avons calculés au numéro précédent. En outre, les termes
H' -^ et H'" — doivent rester les mêmes que tout à l'heure, er^ ' e ^
car il est clair que la réaction Q entrera de la même manière dans X et N; seulement Q ne conservera pas la même valeur numérique, et dans les applications il faudrait avoir soin de prendre celle qui répond au cas actuel. Tout considéré, nous n'avons donc à chercher que les termes provenant de l'introduction de/?' dans X et N.
Or on trouve sans difficulté
X=: /j'p'fsinç— - sina)'-4-Tp(sincp — sina)-h.. .,
N — p'p(sin<p — sina)sina — Tsina — . . .,
et comme T est ici égal à /?' p sin 9 ,
X = - /?' p» ( sin*ç — sin'a ) -f- . . . , N^i: — p'psin'a — . . .;
d*ûù l'on conclut que les termes analogues à H^ et H''^
372 GHàPITBE CniQUIÈliE.
sont, dans le cas actuel,
£-^ / (sinç — sina) (sin*(p--sin»tx)(/a et O- 1 sin^arfa.
Ces intégrales se décomposent facilement en intégrales connues, et, tout calcul effectué, on trouve pour les coefficients Hi
et H", qui multiplient respectivement ^-2- et ^-£- :
H, =:-9sin'(p çsinç sin'ç
