II

H- — sm*(pcoscp-f-^ — ^^ COS9,

-nu ^' I .

H, = 5 — COS(p H- ^ COS*(p.

Ainsi Ton aurait en définitive, pour Peffet produit sur la. flèche /par le poids 2/1' a,

•^ er* er^*' ^ e e

La substitution de la valeur de Q et le développement en série donnent ici, comme au n» 108, un résultat simple et remarquable. On a d'abord (n^ 103)

et, par suite,

2r ^A^^, +2F''H'''sin(p SUl <p ^

-^L'(H';X'- 2F''H''Xsin?)l.

Maintenant si Ton développe en série les quantités Ht et H'^ ,

BfiFORMATIOIV ST RÉSISTANCE DBS ARCS CIRCULAIRES. 2']i

on trouvera

* 24 \ i5o • i3oo^ 108000^ ' /

au moyen de ces valeurs el des valeurs déjà connues de H', H'", F", X, Vy on obtiendra les développements ci-après :

-T-1 : l-H'^-f-2F'''H'"sin9

sm'9 sinç ' ^

25 / loi , 2473 , \

ib Y lODo ^ 176400 ^ /

H';V-2F''H"'>sin9 = |9^(i-i^9'-f-...], doncy f étant d'abord supposé petit, on pourra écrire

soit plus simplement, en procédant comme au n° 108, •'"'16' / i5r»\ r"^ 2625a» r'j'

ou enfin

Pour savoir si la formule (2) s'écarte beaucoup de la vérité dans le cas où 9 ne serait plus petit, nous avons encore cher-

ché les vraies valeurs de —A/ pour 9 = - et 9 = 7? et nous

les avons comparées avec les résultats qu'on aurait trouvés par Tapplication de la formule (2). En laissant toujours de côté les

L 2« ÉDIT. i8

2^4 GHAPITAE aNQUIÈME.

facteurs , ^ ^\ ,. el , ^ ^ .. » qu'on sait être 1res-

sensiblement égaux, voici le résultat de cette comparaison. La formule (a) donne :

pour 9= 1,56 + 0,0190-»

pour 9 — 7 ••• i>56 H- 0,0190^^5

respectivement, au lieu de

i,32 + o,oi38^ et 1,50-^-0,0178^,.

On voit par conséquent que la formule (2) serait encore assez exacte pour 9 = 7? mais qu'elle donnerait une valeur notable-

ment trop forte dans les environs de 9 = -- Toutefois cette

erreur n'irait jamais jusqu'à augmenter de 4© pour 'oo ^^ résultat véritable, et par conséquent elle n'en changerait pas l'ordre de grandeur.

110. Autre démonstration des formules précédentes y pour le cas des arcs très-surbaissés. — Le procédé par lequel nous sommes arrivé aux formules (i) et (2) des n°» 108 et 109 a l'avantage de ne laisser dans l'esprit aucun doute sur la vérité du calcul, et de faire connaître en même temps jusqu'à quel point ces formules- sont applicables à des arcs ne remplissant plus la condition d'être fortement surbaissés. Mais nous avons dû subir l'inconvénient d'une suite de transformations longues et pénibles, et il est possible de les éviter, ou tout au moins de les diminuer considérablement, quand on admet comme point de départ : i*» que l'angle 9 est assez petit pour qu'op puisse, sans erreur sensible, le traiter en infiniment petit dans le calcul ; 2° que, conformément à une remarque du n° 108^ l'expression de l'abaissement — A/ puisse être approximatif

DÉFORMATION ET RÉSISTANGB DES AftCS CIRCULAIRES. 27$

vemenl réduite à

er^ dx

Ces hypothèses admises, voici comment on procédera au calcul de A/, D*abord on écrira, en prenant l'angle a pour variable,

— ^r'A/== / Xp*(sin9 — sina)rfa

z=zp^ I Xrf(asin9 -f- cosa— i).

Si Ton intègre par parties le second membre, on aura

1 X (sinç — sina) rfa = X (a sinç -4- cosa — i)

— /(asinç-f-cosa — i)-^aa; par suite, quand les limites de l'intégration seront o et 9,

JX{sin(p — sina)rfa=— / (asinç

H-cosa— ï)-r- aa, ace

attendu que X s'annule pour a = 9, et que asincp •+- cosa— i s'annule pour a = o, de sorte que le produit de ces facteurs est nul aux deux limites. La question est donc ramenée à trouver l'intégrale qui forme le second membre de la dernière équation. Maintenant il faut distinguer deux cas.

Premier cas. Poids uniformément réparti suivant la fibre moyenne. — On a (n^l08)

dX

— =:Pp=::— ;?p2acosa-f-Qpsina= — /?pM acosa ^sinaj-

Le rapport — est donné (n® 103} par la relation

37^ GHABITRE CINQUIÈME.

qui, dans l'hypothèse de 9 très-petit, peut se réduire à

On a d'ailleurs^ aux quantités du quatrième ordre près.

a' cosa=: I 5

sina ==:«——•

En vertu des trois dernières égalités, on transforme -r ainsi qu'il suit :

rfX doc

i5r' Le facteur entre crochets, multiplié par i h ^-^j devient

mais si nous prenons pour règle de ne conserver dans -chaque groupe que les termes de Tordre le moins élevé, il faudra réduire ce produit à •

Icomme nous savons en outre (n° 100) que ^ rem-

place ^-7 dans le cas ou 9 est très-petit, nous trouve-

DfiFOMIATION BT HÉSISTÀRCB DBS ARCS CIBCOLAIHBS. 277

rons, par des substitutions faciles & voir.

rfX pf

doc ~

i5r' ^21^ 3 29'aV

Avec le même système d'approximation, le facteur

oLSUï(f -hcosa — I

a' s'exprime par «9 ? en sorte qu'on peut écrire

— er*A/= — p* I (asm9-4-cosa — i)-T- «a

= -^/'(«»-ï)(A»-T%lS)-<'«-

L'intégration s'effectue sans peine, puisqu'il s'agit d'une fonction entière et rationnelle : on a

'^ \63 ~ 4a ~ 75 ■*■ 36/ "*■ ~T^ \i Ej

On en conclut

^"^ ^-^ i5r' Ua6o^ i6a' j

soit, en divisant tout par er%

^•'~i6 / i5r'\ Va' 35 laGor»;

278 GHÀFlTftl CIHQUiftHE»

Pour obtenir la formule (i), il faut, comme au n"* 108, rem-* placer p<p par a, et p*ç« par a' ( — ) » ^^^^ ^^ formule précédente; puis on réduit les fractions ordinaires en fractions décimales.

Deuxième cas. Poids uniformément réparti suivant la corde. — La marche du calcul reste la même que dans le premier

cas; «>ais il faut employer d'autres valeurs de Q .t de g- On a ici

-j- = Pp r= p'p»(sin9 — sina) cosa — /?'p*sin(p cos«-hQp sîn a = — //p* sina cosaH-Qpsina =:~/^'p»sina^cosa-^j,

-^ = 2F''sin9 ^.

à* La dernière égalité devient, dans le cas de <p très-petit,

Sr^ Sr^

ponant cette expression dans --r^j en même temps que a et

I j au lieu de sina et de cosa, on trouve

dX ^-di=P

ou plus simplement rfX

DÉFORMATION Et HÉSISTANGE OTS AKC9 CIRCULAIRES. ^79

Par suite, il vient

-er

(as!n<p + cosa— O-p rfa

Le calcul se continue ensuite d'un^ manière identique à celle du premier cas, à part cette différence que Fîntégrale

doit être remplacée par Cette dernière a pour valeur

^ yTî 28 10 a4/ 840*

Il y aura tout simplement substitution du dénominateur 84^ à la place du dénominateur 1260, ce qui aura pour effet d'augmenter de moitié te terme de la formule (i) contenant le fae-

teur ^^* On retombera bien ainsi sur la formule (aj,

m. Applicatmn numérique des formules (i) et (a). — Nous allons appliquer les formules (i) et (2) des n*** 108 et 109 au viaduc de Tarascon, déjà cité aux n°" 97 et 106. On a

/'=4",95, afl=59",99, r'= 0,3009.

Des valeurs de / et de a, on conclut d'abord celle de y et de p, car

' tang-9 = ^, et P = -^î

CQAPITRE GINQUI&ME.

donc

Qoant à e, c*est le produit de la section o. de Tare par le coefficient d'élasticité longitudinale, que les constructeurs du viaduc, MM. Desplaces et CoUet-Meygret (*) ont évalué, d'après leurs expériences, à 6.10'; comme a est égal à 0,1428 [voir \dijig, 47)} on a donc

e = o,8568.io'.

Au moyen de ces données, si ripn fait par exemple %p^ = %p'a=io5ooQ kilogrammes, on tirera des formules (i) et (2) :

pour l'effet du poids 2/?p<p. . . — A/ = ©",027, pour l'effet du poids 2/?'^ ... — • A/= o",o28.

MM. Desplaces et Coilet-Meygret ont constaté directement que l'effet total des deux poids de io5 tonneaux dont il s'agit était environ 0*^,06, tandis que nous le trouvons seulement de 0^,027 4- 0^,028, soit o"*,o55. Nos formules donneraient donc une erreur relative en moins dont la valeur

est à peu près — • Cette erreur, assez faible dans une question de ce genre,

s'explique par le jeu des assemblages et aussi par l'incertitude qui affecte la valeur du coefficient d'élasticité; le nombre 6. 10" est une moyenne de plusieurs expériences assez divergentes dans leurs résultats, et on ne saurait guère compter sur son exactitude absolue.

Lorsqu'on essaye des applications numériques semblables à

celle qui vient d'être faite, on remarque fréquemment que le

f* terme en «y-, influe peu sur le résultat des formules (i) et (2),

et qu'il en est de même pour le diviseur i-^-qt^* Ainsi,

dans Texemple ci-dessus, on avait r (4,95)^

les coefficients i -+-0,0081 -4—: et i -+-0,0122 -îf--> divisés

(*) Le Mémoire de ces Ingénieurs a été inséré dans les Annales des Ponts et /^haussées, i854, i*' semestre.

déformation et afisistakcb des ab€8 circulaires. 28 1

par I -^-Tw^j étaient donc respectivement 0,996 et 1,004. On

voit qu'il n'y aurait presque pas eu d'erreur à les négliger et à prendre simplement

'' ib e

au lieu des formules (i) et (2).

Ce résultat se retrouve à peu près par le raisonnement approximatif que voici. Dans les arcs à surbaissement moyen

(de — à — I î pour peu que le rapport — ne dépasse pas une

limite de 0,0004 à o,ooo5, comme cela se fait habituellement, on ne commet qu'une, faible erreur sur la poussée (quelques centièmes au plus) en négligeant les corrections représentées

pi I

par les coefficients i — l — j (n«* 99 et iOO). On aura

donc une valeur passablement exacte de celte force en calculant les expressions (n? 103)

2/?p(p.F', ap'psinç.F'',

lesquelles, pour de petites valeurs de 9, deviennent simplement/>p el/)'p. Or, cela représente aussi, avec une faible erreur, la composante N qui comprime chaque élément ds de la fibre moyenne, parce que : 1° dans un arc surbaissé la poussée l'emporte notablement sur la charge verticale; 2® cette charge étant presque perpendiculaire à cfe a une projection très-petite sur la direction de N. Donc, tous les éléments vont éprouver

un raccourcissement proportionnel — ou £-^> suivant le cas;

et la diminution totale sur la longueur pf du demi-arc sera

Maintenant, à quelle diminution de flèche répond une diminution donnée de longueur dans un arc circulaire surbaissé

oSs CHAFITIK GIKQUitaB.

dont la corde reste invariable? Pour résoudre cette question subsidiaire, soit / la longueur du demi-arc : on aura la formule connue

qui donne, par la différentiation,

.4/A/ 3a c'est-à-dire

ou enBn, en remplaçant —t. par -9

Af=

Cela posé, il suffit de mettre au lieu de A/ les augmentations négatives trouvées ci-dessus, savoir — ^^ 5 — £-Lx,

(*) Cette formule est celle qui sert à trouver la lon^eur d'un arc parabo- Uque à petite llôehe; l'arc circulaire surbaissé peut être oonfondu avec la parabole de même flèche et de même ouverture. Au reste, il est facile de démontrer la formule sans cette assimilation : on a

y = aarctang /= 5|!r^, ^ -t- . . .^ ,

relations d'où résulte

ou bien

en négligeant la quatrième puissance eC les puissances supériettres de —

DÉFORMATION ET EtSIflTAHCB DVS ABCS CIRCULAIRES. sSS

et Ton obtiendra les résultats correspondants

Ce sont les mêmes que ceux auxquels nous étions parvenu

d'une autre manière, sauf la légère différence entre les coeffi-

25 3 cients -g et -» différence qui s'explique assez par la nature

même de l'analyse précédente. Toutefois, on peut conclure assez rationnellement de cette analyse que la diminution de flèche, dans un arc surbaissé supportant une charge uniforme, est due presque entièrement à la diminution de longueur, de sorte que la flèche varierait très-peu si la fibre moyenne devenait incompressible, tout en laissant à ses divers éléments la liberté de tourner les uns par rapport aux autres.

Ii2. Jccroissement de flèche produit par une dilatation linéaire indépendante des charges. — Lorsque, par une cause quelconque, telle que le changement de température, il se produit une dilatation ou contraction delà matière qui compose la pièce, toutes les dimensions tendent à augmenter ou à diminuer dans un rapport constant. Cela entraînerait déjà une variation de flèche représentée par t/; mais la flèche varie surtout parce que, les deux points d'appui faisant obstacle au changement de la corde 2 a, il naît de là deux forces horizontales Q, égales et contraires, appliquées aux deux extrémités de l'arc, qui l'obligent à se courber davantage et à augmenter sa flèche s'il y a dilatation, ou produisent l'effet inverse s'il y a contraction.

Il n'est pas besoin de nouveaux calculs pour trouver l'expression de la variation de flèche dont il s'agit. On l'obtiendrait en effet au moyen de la formule générale rappelée tout à l'heure (n® 108 ), dans laquelle on mettrait pour X et N le mo* ment ou la projection de la force Q produite par la fixité des appuis, en ayant soin d'ailleurs d'y rétablir le terme t/. On retrouverait donc pour l'intégrale qui entre dans la formule

a84 chàpitbb ginquiKiie.

les deux termes

Qp" /3 . , \ \ Qp . ,

-^ ( - sin'9 — 9 sincp coscp -h cos<p — i ) — -^ sin'©,

faisant partie de l'expression de A/» calculée au n"* 108 dans le cas d'un poids uniformément réparti suivant la longueur entière de l'arc. Donc on aurait, pour représenter le changement de flèche dû à la dilatation dont le coefficient est t,

A/= T/-f- ^ ( -sin'cp — <p sincp cosç -H cos<p — i ) — — sin'9 ;

dans cette formule, Q exprime la poussée correspondante à la même dilatation, poussée dont la valeur nous est connue (n<» 102).

Afin d'arriver à un résultat plus commode pour les applications pratiques, remplaçons encore Q par son expression en fonction de t et des dimensions de l'arc (n® 92) : nous aurons ainsi