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en 43^ ^«>

— indiqu égative, c' leur plus ur exacte.

une e tite qi

DÉFORMATION ET RtSISTANGE DES ARCS CIRCULAIRES. 289

Il résulte de ces tableaux :

i"" Que la formule (3) pourra toujours être substituée à la formule exacte, sauf une erreur ne dépassant pas 8^9 pour 100, et qui serait même Inférieure à 3,4 pour 100 pour des valeurs de (f moindres que la moitié de l'angle droit;

2*» Que la formule (4) entraînera une erreur maximum de

7,1 pour 100 au plus, quand on aura simultanément — >• 0,20

TT

et — <;o,ooi, ce qui aura lieu généralement dans la pratique.

Pour les arcs peu surbaissés la formule (4) sera même plus exacte que la formule (3).

113. Jutre démonstration de la formule (3). — Les formules (i) et (2) ayant été démontrées ( n" 110) d'une manière relativement simple, en les cherchant sans passer par le calcul de la valeur exacte, il convient de faire maintenant une chose analogue pour la formule (3) qui exprime la variation de flèche due à la dilatation dont le coefficient est t. Cette variation se compose, comme on Ta déjà dit, du terme xf et de l'effet produit par la poussée Q, lequel a pour expression (n*» 110)

er\

^ / (a sin© -i- cosa — i) -7— aa,

OU, en mettant pour -r- sa valeur Qp sina,

^ / (a sin<p -i- cosa — i) sina rfa; ainsi donc

A/=T/-t-5^ / (asin<p4-cosa — i) sinarfa.

L'intégrale se calcule par approximation, dans le cas de petits angles a et <p, en faisant

a' sina = a, sm<p = (p, cosa=i— ~;

L a* ÉDiT. 19

290 GHà?1TKX CINQUdBU.

il vient alors

(asinf -+-cosa— i)sinarfa

et, par suite.

On peut, dans ce Eésultat, remplacer Q par sa valeur approximative (n*» 102)

on peut faire aussi

par ces substitutions, la valeur de A/ devient

ce qui s'accorde exactement avec la formule (3).

Mais cette démonstration, plus rapide que la première, a l'inconvénient de n'être exacte que pour les arcs surbaissés; de plus, elle ne permettrait pas de constater le degré d'exactitude des formules simplifiées.

114. applications numériques de la formule (4). — On trouve dans les Annales des Ponts et Chaussées (i854, i" semestre) deux Mémoires, Fun de M. Jules Poirée, l'autre de MM. Desplaces et Collet-Meygret, où sont consignés des faits propres à vérifier la formule ( 4) du n° 112. D'après les nombres fournis par ces Ingénieurs, le pont du Carrousel à Paris se relèverait de o",ooii pour une augmentation de i degré centigrade; ce relèvement deviendrait respectivement o^jOcoSB et o"", 001 35 dans le pont de la gare de Charenton et dans celui de Tarascon. Les trois ponts étant supportés par des arcs en* fonte, il faut dans les formules (3) ou (4) Taire T = 0,0000111, nombre donné par M, Péclet et autres auteurs, d'après

DÉFORMATION ET AÉSISTANGK DBS AAGS CIRCULAIRES. 94)1

. le major général anglais Boy. On a d'ailleurs :

au pont du Carrousel tio = 47",67, /= 4* ,90, d'où p = 6o"*,4 ;

de Charenton ... na^ 35" ,00, /= 4",oo, d'où p = 40" ,3 ; deTarascon ^«=59-99, /=4-95, d'où p = 93",4.

Par suite la formule (4) donnera :

pour le pont du Carrousel A/= oi",ooio5;

de Charenton ... . A/= o",ooo7o; de Tarascon '. A/= o"',ooiGa.

On voit que le calcul donne un résultat à peu près conforme à l'expérience, en ce qui concerne le pont du Carrousel ; mais que pour les deux autres il y a des erreurs relatives, en plus ou en moins, de i5 à 20 pour 100. Une telle différence, quand il s'agit de calculs de cette espèce, ne saurait avoir de bien graves inconvénients dans la pratique. Il faut d'ailleurs se raj^er combien les qualités physiques de la fonte sont susceptibles de varier d'après sa provenance et les circonstances particulières de la fabrication ou du moulage, ce qui laisse quelque incertitude sur la valeur du coefficient t. En outre, la mesure directe des relèvements A/ ne paraît pas susceptible d'une grande précision, et le peu de concordance des résultats d'observations (dont nous avons seulement donné les moyennes) en est une preuve suffisante. Ainsi, au pont de Charenton, le relèvement par degré centigrade a varié depuis o",ooo36 jusqu'à o",ooï33, c'est-àdire presque du simple au ipiadruple. Cela tient sans doute au jeu des assemblages, qui n'est pas toujours le même; à la difficulté de faire des observations sur un pont livré à la circulation, et aussi à la difficulté de connaître exactement la température d'un arc, laquelle n'est ni égale à celle de l'air ambiant, ni peut-être constante dans toutes les parties de la pièce.

§ n. -— Pression maximum produite par un poids uniformément réparti suivant la corde entière , et par les dilatations linéaires indépendantes des charges.

il5. Préliminaires. — Le lecteur qui aura suivi avec attention les considérations que nous avons développées dans les chapitres P' et U*" sera en mesure de résoudre tous les pro* blêmes auxquels peut donner lieu l'étude de la stabilité et de la déformation des pièces prismatiques» quand la fibre moyenne est une courbe plane avant oomn^e après la déformation et que les forces extérieures agissent dans son plan. Dans le cas où,

ag2 CHAPITRE GINQUlfeMB.

indépendamment de ces conditions, la section serait constante, la fibre moyenne circulaire, et où les obstacles opposés au mouvement de Tare seraient simplement deux appuis au même niveau, soutenant les deux points extrêmes ainsi rendus invariables en position, on saura de plus calculer, au moyen des tables, la poussée provenant de poids quelconques et des dilatations linéaires dues à d'autres causes, telles que la température. Ainsi donc, en admettant ces dernières conditions que Ton rencontre souvent dans l'établissement des ponts en métal, les forces inconnues seront promptement déterminées, et, par suite, Tétude de la stabilité sera facile ; elle se fera par l'application directe des méthodes exposées au § VI du chapitre I", qui permettront de se rendre un compte détaillé de l'effet des charges permanentes, d'épreuve ou accidentelles. Parmi tous les problèmes qui se présenteront, dans de telles circonstances, à Tingénieur s'occupant de la rédaction d'un projet de pont, il en est un qui nous a paru mériter une mention spéciale, à raison des applications fréquentés qui pourront en être faites : nous voulons parler de la détermination de la pression maximum à laquelle se trouve soumise la matière de l'arc sous l'action de la charge d'épreuve. Nous allons nous en occuper maintenant ; mais, pour simplifier, nous admettrons encore quelques hypothèses qui ôteront peu de généralité à la solution, car elles sont en général satisfaites, au moins approximativement. Voici ces hypothèses : i** la section de l'arc a la même hauteur en dessus et en dessous de l'horizontale qui passe par son centre de gravité; nP chaque portion de la fibre moyenne supporte un poids proportionnel à sa projection sur la ligné des appuis, y compris le poids propre de la pièce, c'est-à-dire que la charge est uniformément répartie suivant l'horizontale ; 3® la section sera supposée homogène ; à défaut de l'homogénéité, le coefficient d'élasticité maximum appartiendra aux fibres les plus éloignées de l'horizontale du centre de gravité; 4** on regardera la tempérajture comme étant celle de la pose, et l'on négligera l'effet peu sensible du calage, ou, en d'autres termes, on laissera de côté pour le moment la pression produite par la dilatation dont le coefficient est t, sauf à y revenir. spécialement un peu plus tard.