N NE
relatif — ? et ayant pour valeur en chaque point — -, e e
. 2r Des tensions et pressions longitudinales dues à la flexion
que produit X, et exprimées généralement par- — p-
D'un autre côté, quand on adopte pour N le sens positif indiqué au n^ft3, et pour le moment X celui qu'on a constamment supposé à partir du chapitre IV«, on trouve
N = — Qcosûc—- pp sin'a,
X = -pp^(sin'cp — sin^à) — Qp(cosa--cos<p).
2g4 . GHAPniE GIRQUliSE.
NE
N est donc toujours négatif, ce qui signifie que — représente
partout en réalité une pression* Quant à X, nous verrons tout à l'heure qu'il peut changer de signe ; mais il est certain à
prion que • — p représente une tension ou une pression suivant qu'on prend des points situés d'un côlé ou de l'autre de Taxe de flexion; les points pressés seraient du côlé de l'extrados ou de l'intrados de l'arc, suivant que X serait positif ou négatif.
Comme les effets de la force N et du couple X doivent être superposés, on voit que, pour les points où X tendrait à produire une pression^ il y aura nécessairement une pression exprimée en valeur absolue par
NE . XEm
e er*
le signe du seeond terme étant choisi de manière a le rendre
positif, c'est-à-dire de manière à additionner les valeurs'absolues
NE XEa
des deux termes et± — r-* Au contraire, pour les
points où Xy agissant seul, produirait une tension, il faudrait prendre la différence de ces mêmes valeurs absolues, et il n'y aurait en réalité. tension que si la seconde l'emportait sur la première.
Dans les données de la question, nous avons admis que le coefficients atteignait son maximum Ei en même temps que u
atteint sa plus grande valeur absolue, qui est - des deux côtés
de l'axe de flexion. Le maximum de pression dans une section
NE donnée sera donc la somme des valeurs absolues de — - et
XE h de — ~t le maximum de tension,, s'il y a tension dans cerner' ' *
tains points, sera la différence des mêmes quantités. Ainsi la tension maximum, quand elle existera, sera nécessairement inférieure à la pression maximum, et assez ordinairement petite relativement à cette pression. D'un autre côté, quand il s'agit
DÉFORHATION ET itSISTÂIlGB BC8 JIIC!S GIRGDLAIRES. HgS
de corps résistam à des forces qui les ftéehissent, il arrive souvent qu'on s'impose la même limite pour les pressions et les tensions compatibles avec la stabilité. C'est pourquoi nous nous bornerons à chercher le maximum maximorum des pressions par unité de surface, ou le maximum, relativement à fa
NE X A fj
variables, de la somme des valeurs- absolues ■' et±: -\
e ner^
ou bien de
e \ nr^J
quantité que nous désignerons dorénavant par la lettre q.
117. Signes que prend le moment X. — Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de faire cesser l'ambiguïté de signe et de chercher celui des deux qu'on devra prendre suivant la posirtion de la section à laquelle se rapporte l'expression précédente. Or on a
X=:— Qp(cosa— cos<p)+Tp(sin9-— sina) — pp^(sin9— sina)%
ou bien, si l'on se rappelle que T = ppsinif=pa, et si Ton pose Q = n.^pay n étant ua. nombre qu'on sait calculer,
X=: -/?p*(sin'xp — sin^a) — anpp* sincp (cosât— - co&ç);
sîn*9 — sin'a est égal à cos^^a — cos'y ; donc
X = - pp* (cosa — cosç) (cosa-h coscp — 4'*sin<p).
Cette expression devient nulle pour a = ç, comme on devait s'y attendre, puisque nous avons supposé (n**53) les réactions dés appuis appliquées aux centimes d'élasticité des sections extrêmes; elle s'annulera encore quand on aura
cosa = 4 '* sihcp — cosç = cosai ;
mais.cette solution ne répondra véritablement à un point de la fibre moyenne que si Tangleai, déterminé par l'équation ci^
2g6 CHAPITRE CINQUIÈME.
dessus, est réel et plus petit que 9. Il faut donc poser les deux conditions
4'*sin<p— cos9< I,
4'*sin9 — cos9>cos9.
De la première on déduit
4/isin9<;i -+-COS9,
^i-i-cos9 ^ *
71 < —r—. i ou 71 <
4sin9 "^4to'^gï?'
n doit donc être au-dessous de 7 r-> ce qui a toujours
4tangi9
lieu, car nous avons fait voir (n*» 105) qu'on a
et, par suite,
< 7->5 ou bien /i-<
2/?a 4/ ^4iang^9
Il n'y a donc à s'occuper que de la seconde condition, qui peut s'écrire
« > - cot9.
En supposant n supérieur à - cot9, le moment X de-
viendra nul en un point tel que H (Jig. 49), qui correspond à Fig.49. un angle a, compris entre o et 9, c'est-
à-dire que la courbe BIF, lieu géométrique des centres de pression dans les sections successives, aura deux points, B et H, communs avec la fibre moyenne CAB. S'il ,^B en est ainsi, on reconnaît en outre que X sera positif entre a=o et a = a,, tandis qu'il sera négatif depuis (x.^=ai jusqu'àa=:9; |/ / en effet le facteur cosa + COS9 — ^n sin9,
<) qui donne son signe à X, décroît quand a
est au contraire croissant; donc, puisque ce facteur est nul pour a = ^1, il est positif pour les valeurs plus petites de a et
DÉFORMATION ET RfiSISTANGB DIS ARCS CIRCULAIRES. 297
négatif pour celles qui sont au-dessus. En vertu de ce qui a été dit au n« 116, on devra donc prendre pour ]a formule donnant la pression maximum dans une section déterminée :
depuis az=o Jusqu'à «==«,... g=z~( — Nh ; J >
depuis (x = ai jusqu'à a^cp.... ç'=r— if — N ^ | •
Si l'on avait au contraire /K^-cotcp, cela voudrait dire que,
même en faisant a = 9, X serait encore positif, et, par suite, qu'il le serait dans toute l'étendue de l'arc. On n'aurait lionc à étudier que l'expression
Il est facile de se rendre compte, dans ces deux cas, de la position occupée par la courbe des pressions. En effet X n'est autre chose que le moment de la force N appliquée au centre de pression, par rapport au centre d'élasticité dans la même section. Donc, d'après le sens connu de N et le sens positif adopté pour X, on peut conclure que si X est positif, la courbe des pressions passe au-dessus de la fibre moyenne, et audessous si X est négatif.
Nous sommes maintenant en mesure de traiter la question qui fait l'objet principal de ce paragraphe. Il y aura deux cas
principaux à distinguer, celui où l'on a w^- col 9 et celui
où l'on a /i<;-cot(p : car nous venons de reconnaître que la
plus grande pression dans une section déterminée est parfois exprimée d'une manière différente quand on passe de l'un de ces cas à l'autre
118. Pression maximum dans toute l'étendue de la pièce quand le rapport n est plus grand que - cotç. — La plus forte pression dans une section donnée se représente alors par
sg8 chàprhr aKQUdons.
les formules suiTanles ( vf" 117 ) :
dans la porUcm CH de 1» pièce (fig. 49)- q = ~l — Nh \y
dan^ la portion HB ?' = -^ (—N A •
En remplaçant N et X par leurs valeurs en fonction de a, et ordonnant par rapport à cosa, après avoir mis i — cos'a et
I — cos'9 au lieu de sin'a et sin'ç, on aura
-t-n- j-jcosç (4»sin9 — cos<p) U
^'^^[■"('■^|7»)^^^'^"^(''*"fc) ^'*sin?cosa
H-i — |-^cosç(4»siD9 —cosy) •
II s'agit d'avoir le maximum maximorum de ces deux expresrsions quand a varie dans les limites entre lesquelles elles s'appliquent} savoir entre o et «i (n^'il?) pour la première, et entre ai et 9 pour la seconde.
A cet e£fety nous remarquerons d'abord que si l'on représente q et q' par les ordonnées de deux courbes dont les valeurs de eosoc serai^it les abscisses, toutes les ordonnées seroat positives dans les limites ci-dessus fixées. En autre,, ces courbes seront des paraboles: celle qui représente q tournera sa concavité vers le haut, et la seconde la tournera vers le bas. On le voit
facilement en se rappelanê que r» est plus petit que -7- ( n* 97 ) ;
d'où résulte Finégalité ^> j* Comme, d'un autre côté,
A ne peut être qu'une assez petite fraction dep, il s'ensuit
que ï — i> et à fortiori -^—^ — i, sont des quantités positives.
Donc le coefficient de cos^a est positif dans la première équation, tandis qu'il est négatif dans la seconde ; donc les deux parabdles ont bien la situation qui vient d'ê^e définie*
DÉFOBHATIOlf ET itftlSTANCB BI8 JAGS CIRCULAIRES. Sgg
De cette situfttioii nous pouvons immédiatement conclure que la plus grande valeur de q doit répondre à l'une des limites a=:o ou a = ai. La première donnera le résultat
qt=^Ei\ a/isînç -4- t— ^ sincp [sinç— ^n{i — COS9)] j»
ou bien, à cause de p sin© =r a et de — ; = tang - <p,
(5) j^ = Çe.[2ih-^ ^1-4/1 langi(pjj.
Quant à la valeur correspondante à a = ai ou au point H {Jig, 49)> nous pouvons ne pas nous en occuper ici, car nous la retrouverons parmi les valeurs de q'; \e point H appartient aussi bien à la portion BH qu'à la portion CH de la fibre moyenne.
La parabole représentative de q' tournant sa concavité vers l'axe des a:, et ayant ses ordonnées positives, il est clair que la tangente horizontale donnera le maximum, si elle correspond à une valeur de cosa comprise entre les limites cosai et cosç: sinonie maximum devra répondre à une de ces limites. Cherchons d'abord la condition pour que la première hypothèse se réalise. Pour cela, soit as l'angle a qui répond à la tangente horizontale dont il s'agit : cet angle devra satisfaire à l'équation
dcosa jce qui donne, en effectuant la dérivation,
ou bien
ph
cosaa = wsin<p j--
Cette valeur sera admissible quand on aura
cosûcz <C cos.<Xr et cosai >• cosf>.
3oO CBAPITRB CIHQUIfiXB.
c*est-à-dire, en remplaçant cosas et cosa, par leurs expressions/
nsincf r- <l4'*sin9 — COS9,
nsmf T->coscp. ♦
Réunissons tous les termes de la première inégalité qui contiennent le facteur n; alors elle devient
nsmcp -r > coscp,
et ainsi écrite elle est une conséquence évidente de la seconde. Celle-ci donne
ii>icot(p 1
soit
n > - coif 1
/ 2 sin (p
' "•" . ah
l 2Sin<p4--j:3-
Le premier cas principal est caractérisé par la relation /i>-cot9; mais cette inégalité n'entraîne pas forcément
Tinégalité (6), parce que -cot9 s'y trouve multiplié par un
facteur plus grand que i. Il y a donc lieu de subdiviser en deux cas secondaires le cas dont nous nous occupons ici.
1* La condition exprimée par r inégalité (6) est satisfaite. Le maximum de pression dans l'étendue HB répond alors à a = «2. On le trouve par la substitution de cosa^ dans l'expression générale de q'; mais pour éviter un calcul compliqué.
DÉFORMATION ET RÉSISTANCE DBS ARCS CIRCULAIRES. 3oi
de ces ai,
on remarquera que ^ étant un nombre assez grand, la valeur
ph ph
cosaa = /isin9
diffère peu de 2/isin(p, car il n'y a pas d'erreur bien notable à supprimer le terme i au numérateur et au dénominateur de la fraction. D'ailleurs, quand on se trouve aux environs d'un maximum, on peut, sans l'altérer sensiblement, prendre la valeur de la fonction qui correspond à une valeur de la variable peu éloignée de celle qui donne le maximum. Substituant en conséquence a/isin^ à la place de cosa dans l'expression de q'y et faisant dans le résultat p= -: — j on trouvera *^ ^ ^ sinç
pour la valeur q\ du maximum en question
2® Linégalité (6) n est pas vérifiée. Dans cette hypothèse, la parabole représentative de q' n'a pas, dans la partie que nous devons considérer, de tangente horizontale. Le maximum, dans cette partie, répond donc à Tune des deux limites a = ai ou a = 9. On sait que le cosinus de «i est donné par la relation (n° 117)
cosai = 4'^sin(p — cosç.
Substituant successivement cette valeur et cosf dans q', qui
NE se réduit ici à î > parce que X s'annule aux limites dont
il s'agit, on trouvera les deux résultats : .
g'j = ^E, [Snsincpcosç — (Su' — i)sin*9] e
= ^ E, [6/1 cos 9 — ( 8 w' — I ) sin 9 ] , (8) çf',=3^E, (2/icos9-T-sin9).
3«B <aumu cuiQuitaE.
Il est aisé de voir que ((i^ valeur qui répond à cosa = cos^, est supérieure à ([^ , car on trouve par la soustraction
q\ — g', = 4'» — El ( 2 '^ sin <p — COS9 ).
Or, dans le cas actuel, on a /i^-cotç, et, par suite,
ansin7>>cosf , ce qui prouve le fait énoncé. Dans la seconde subdivision du premier cas principal, la pression maximum, pour la portion HB de la pièce, se trouvera donc à la naissance, et sera donnée par la formule (8).
Quelle que soit celle des deux subdivisions dans laquelle on se trouve, il faudra toujours, pour avoir le maximum maximorum que nous cherchons, prendre le maximum dans la partie CH, puis dans la parte HB, et choisir le plus grand des deux. La discussion à laquelle nous venons de nous livrer sur le premier cas principal se résume donc ainsi :
Longue n (rapport de la poussée au poids total de la travée) sera plus grand que la limite indiquée par l'inégalité (6), la pression maximum sera la plus grande des deux valeurs données par les formules (5) ef (7), dont la première répond à l'extrados et au sommet, et la seconde à l'intrados, en un point pris sur (es reins de l'arc.
Lorsque n est compris entre la limite ci-dessus et - cotç, on
doit dans l'énoncé précédent substituer à la formule {'j) la formule (8), qui donne la pression maximum sur le joint des naissances.
