E. / ^ XA

dont il faut chercher le maximum en faisant varier a de o à f . Cette expression est identique avec celle de q dont nous nous sommes servi au n« 118; si donc nous revenions à la consi-

DÉFORMATION ET BÉStSTAHCE DES ARCS CIRCULAIRES. 3o3

dération de la parabole Teprésentalîve, il faudrait conclure que le maximum de CjBtte expression doit nécessairement correspondre à Tune des limites de a. Or a^=o donne la formule (5); (K= (p donne la formule (8), car, X étant nul, q eiq" deviennent égaux. Donc on devra prendre la plus grande des deux valeurs données par ces formules. Donc, enfin, le second cas principal ne se distingue en rien de la seconde subdivision du premier cas^

U n'y a donc à distinguer réellement que les deux cas de n plus grand et n plus petit que la limite Indiquée par la formule (6) : le premier exigerait l'emploi des formules (5) et (7), le second l'emploi des formules (5) et (8).

lâO. Remarque sur le cas d'une section transversale homo^ gène. — Ce cas est compris comme cas particulier dans l'élude que nous venons de faire. La seule modification à introduire

dans les formules consiste à remplacer — par l'inverse de l'aire

de la section, ou par -^j en désignant cette aire par i2. En

effet, e n'est autre chose que la somme des produits des éléments superficiels par leur coefficient d'élasticité longitudiriale E, ou bien Eu, puisque E ne varie pas d'une fibre à l'autre ; d'ailleurs, par la même raison, nous aurions £ = Ei ; donc

■ë""~Eii^û'

121. Pression maximum produite par la seule existence d'une dilatation indépendante des charges. — Revenons maintenant au calcul des effets produits spécialement par les variations de température ou par le calage, et généraiemefnt par une dilatation quelconque due à une cause étrangère aux charges. Si l'on appelle Q la poussée de l'arc dilaté sur ses deux appuis, la composante normale N de la force totale exercée sur la section qui fait l'angle a avec la verticale sera — Q cosa; y étant l'ordonnée du centre d'élasticité de celte section par rapport à la corde, le moment fléchissant sera — Qj. Ces deux quantités atteignent leur plus grande valeur absolue au som-

3o4 CHAPITRE CniQUIÈHE.

met de Tare, où le cosinus devient égal à i et où l'ordonnée j coïncide avec la flèche / de la fibre moyenne. En outre, on voit que dans chaque section la partie comprimée par le moment fléchissant se trouve du côté de Tintrados, et on sait que la pression la plus grande produite par ce moment est sup-« portée par les fibres les plus éloignées de Taxe de flexion. On aura donc, d'après les considérations du n<* 116, en désignant par q'^ la pression maximum cherchée, due tout à la fois à la compression uniforme et à la flexion, et conservant la signification déjà connue dans ce paragraphe aux lettres A, 6, Ei, r :

Or, d'après ce qu'on a vu au n" 102, Q peut être remplacé par xe 5 ; donc

Dans la plupart des cas particuliers r^ sera petit relativement à - A/* et à -^/*; on pourra donc poser approximativement,

2 lO

I 8 en considérant les nombres - et -^ comme à peu près égaux,

(lo) ?'=E.Ty5

mais cette formule ne saurait être appliquée aux pièces presque droites, dans lesquelles r peut devenir grand relativement à/. Il faudrait alors s'en tenir à la formule (9).

Exemple numérique. — Soit donné un arc du viaduc de Tarascon, dont la section a été définie au n*^ 106; supposons une dilatation linéaire ayant un coeflacient de 0,0004, ce qui répondrait à une variation de température de 36 degrés centigrades. On a ici

T = o,ooo4, /•^=o,3oo9, A= i"*7 70, /=4",95;

DÉFORMATION ET RÉSISTANCE BBS' ARCS CIRCULAIRES. 3o5

en outre, comme il s'agit d*ùne pièce en fonte, on peut, suivant Texpérience, prendre pour le maximum E^ du coefficieiit d'élasticité longitudinale la valeur

El = I!î.Io^

Avec ces données on trouve sans peine le maximum de pression par unité de surface dû spécialement à la dilatation t; il est

d'après la formule ( 9 ) g" = i"',62 . lo** ;

d'après la formule (10) «7" = i"\65. lo^

Comme on ïo voit , les deux fgrmules donnent à peu près le même résultat, savoir environ i"*,6 par millimètre carré.

§ III. — Gonstrnction , disposition et usage de la Table V destinée à faciliter l'emploi des formules du paragraphe précédent.

122. But de la table; arguments pour y* entrer, — Les formules (5), (7) et (8) du paragraphe précédent, auxquelles nous avons été conduit en nous occupant de la résistance d'un arc dans les circonstances définies au n? 115, sont par ellesmêmes assez peu compliquées, et nous paraissent susceptibles d'être employées en pratique. Néanmoins le désir d'en faciliter Tusage autant que possible nous a engagé à construire la Table V, placée à la fin de ce volume. Celte table aura d'ailleurs un autre avantage, c'est qu'elle mettra en évidence quelques conséquences remarquables des formules, que les seules ressources de l'analyse permettraient difficilement d'apercevoir.

Conservons les notations des n°' 115 à 117, et appelons en outre Q, l'aire de la section de l'arc. Quel que soit le cas particulier dans lequel on se trouve, on aura toujours, en employant soit les formules (5) et (7), soit les formules (7) et (8), à calculer des expressions telles que

e OU, si la section est homogène,