I. a* ton

3o6 GHâPITRB GDCQUifalE*

6 étant un coefBcient numérique variable d'une pièce à une autre.

Nous n'avons rien à dire ici des quantités pay e, Ei, i2 : leur définition même explique suffisamment comment on peut les connaître; mais nous avons à montrer de quelle. manière on arrivera, par le secours de la Table V, à trouver la valeur de §•

Par l'inspection des formules que nous venons de citer, on voit que ê est exprimé au moyen des relations

6=: 2/1 -+- ^-^ ( I— •4'*^ï^6-9)» ^^ï^ ^^ formule (5),

6 = -: 1 — r (n cot9 ) » dans la formule (7),

sin<p r' \ 2 ^/ "'

6 = 2n coscp + sin<py dans la formule (8).

n désigne le rapport de la poussée horizontale de l'arc au poids

total 2/7a : ce rapport est donné par la formule (6) du n^ 96

ou par les tables, et l'on voit qu'il dépend uniquement du

rapport — et de l'angle <p ou du rapport — î- de cet angle à

l'angle droit; d'un antre côté, on a identiquement

ah h ^ r'

donc les trois expressions du coefficient 6 dépendent de trois arguments qui sont:

I** Le rapport ~ \

2ffl

7? L'angle f > ou le rapport — ^ ;

3*» Le rapport -•

Lorsque ces trois arguments seront connus, on conçoit que l'on pourrait d'abord calculer n par des formules ou les tables du chapitre IV*; puis, ayant n, voir celui des cas examinés au § II ci-devant, dans lequel on se trouve, déterminer les deux valeurs de € qui conviennent à ce cas et choisir la plus

DÉFORMATION ET fttSlSTANGS DBS ARCS CIRCULAIRES. 3o'J

forte. En la multipliant par — E», ou par ^ si la section

est homogène, on aurait la pression maximum cherchée. Or c'est toute cette série d'opérations, sauf la dernière, que la Table V dispense de faire. On y a consigné la valeur de ê que l'on doit finalement employer, savoir, la plus grande des deux qui sont fournies par les formules (5) et (7) ou (5) et (8), suivant le cas.

Nous ne croyons pas devoir expliquer en détail la construction de la table ; elle revient en définitive à la réunion d'un certain nombre de solutions obtenues comme nous venons de le faire concevoir. Seulement la simultanéité dans la recherche de tous ces résultats rendait celle-ci plus prompte et plus sûre; elle permettait aussi l'emploi de quelques procédés simples de calcul, qu'il serait cependant sans intérêt de développer ici.

123. Disposition et emploi de la table. — La table est à triple entrée, ou plutôt elle se compose d'une série de tables à double entrée dont chacune occupe une page. L'argument

-; est inscrit dans le haut de la page; l'argument —^ dans une

colonne verticale^ à gauche; l'argument - dans une colonne

horizontale, en tête de chaque tableau. Une question particulière étant définie par ces trois arguments, le premier indiquera la page, le second la colonne horizontale, le troisième la colonne verticale, dans lesquelles on doit chercher la valeur de S.

Exemples. — Prenons — = 0,0004, —^ = 0,21, -=0,060;

la Table V donne 6 = 4>o. Si l'on avait -- = 0,0006, —^ = o,44>

a Tz

- = o,o'75, on trouverait 6 = 2,2.

Dans le cas où les arguments ne seraient pas exactement dans la table, mais seraient compris entre ceux qui s'y trouvent, on pourra procéder par interpolation, ou bien se contenter de la valeur correspondante

3o8 CHAPITRE GIMQGitME.

aux argaments les plus rapprochés. Exemple : on a -^ = 0,000^34 ,

—^ = 0,2082, - = 0,0567. Prenant -; = o,ooo3, --2- = 0,21 , - = o,o55, on trouvera dans la table 6 = 4,0; si Ton passe à la page suivante de la

table et qu'on porte -^ de o,ooo3 à 0,0004, oh aura 6 = 3,g. D'ailleurs on

voit dans l'une et Tautre page qu'un petit changement de — et de - autour

de 0,21 et de o,o55 n'altère 6 que faiblement; donc 6 est approximativement égal à 4,0. Si Ton tenait à procéder par interpolations régulières, la détermination de 6 serait plus longue, mais toujours facile. Voici le tableau des calculs :

DÉFOUATION ET RÉSISTANCE DBS ARCS CIRCULAIRES.

« »0 ço 0> « eo *«•

« «<î- eo 00 - O rn

Il <^

«coco — ooceoe^oïoosoï

ooocoooooooooo

C« C« CI c«

CN e» ei

eo en co coeo eo co ^«••»sî'*JTvf*«t'vf'^ec

ooo'ô'ooo^oooo'oooo

- ««o^sTirtO c>»0O OïO -« e*eo»<^ift

3lO CHàPITHB GINQUltaB.

Ce tableau se comprend de lui-même. On voit qu'il exige huit recherches dans la table et sept interpolations, el, quoique cela soit très-élémentaire, on perdrait ainsi le grand avantage de la rapidité. Hâtons-nous de dire que cette rigueur de calcul sera le plus souvent inutile : nous voyons ea effet dans l'exemple précédent que l'interpolation nous a donné la même valeur de 6 que nous avions obtenue déjà par l'emploi d'arguments approchés. Au reste, les interpolations qui concernent le rapport - pourraient

être faites à la lecture; alors le tableau ci-dessus serait réduit aux opérations 3, 6, 7, 10, i3, i4, i5, c'est-à-dire diminué de plus de moitié.

La table ne donne € qu'avec deux chiffres, c'est-à-dire avec une approximation variable qui parfois peut entraîner une erreur relative de -r ou —•

Quand il s'agit d'en venir aux applications numériques,, les constructeurs les plus recommandables diffèrent beaucoup d'opinion dans le choix d'un coefficient de résistance : pour la fonte, par exemple, les uns lui feront supporter 3 kilogrammes par millimètre carré , les autres 4 > les autres 5 ou même davantage, de telle sorte qu'on manque de données bien précises au sujet de ce nombre, qui , suivant les habitudes de chaque praticien^ varie plus que du simple au double. Dans de telles circonstances, il nous semble tout à fait inutile, nous dirions presque puéril, de rechercher une plus grande approximation, au prix de calculs notablement plus longs et plus compliqués.

On remarquera dans chaque page de la table un trait horizontal brisé à une certaine hauteur. En voici le sens : les nombres qui sont au-dessus ont été fournis par l'application de la formule (5) (n** 118), et, par conséquent, le maximum de la pression est alors au sommet et à l'extrados de l'arc ; les nombres en dessous du trait proviennent au contraire de l'emploi de la formule (7) (n° 118), ce qui place le maximum de pression aux reins et à l'intrados. Quant à la formule (8), nous n'avons pas eu occasion de l'appliquer. On peut donc dire que la plus grande pression se produira rarement aux naissances.

124. Limites de la table. — Les valeurs de -^ varient de dix-millième

en dix-millième, depuis 0,0001 jusqu'à 0,0006; puis viennent les valeurs 0,0008, 0,0010, 0,0012 et enQn o,ooi5. Dans les arcs existants, pour la grande majorité, le rapport en question est compris entre 0,0002 et 6,ooo5. Un seul des exemples cités au n** 97 donne une valeur plus petite : c'est le pontdu Garreuse), à Pftris; un seul donne une valeur supérieuro :

c'est le viaduc de Lorjnont (chemin de fer de Bordeaux), pour lequel p

s'approche de 0,0008. Nous pensons donc que les limites 0,0001 ei 0,001 5 ont une amplitude sufffîsante.

DÉFORMATION ET Bfi6ISTÀIf€E DES ARCS CIRCULAIRES. 3ll

Lorsque -3 est donné, le rapport - ne doit pas être pris tout à fait

arbitrairement. En premier lieu, on a (n*97) r <-, et, par conséquent,

->2-* ou ->2 yJz. a a a ^ ^

en posant -^ = z. D*un autre côté, en considérant les formes usitées pour la section transversale, on voit que le rapport ^ descend bien rarement au-dessous du nombre — 9 qui correspond à la section rectangulaire. On peut donc, à fortiori y admettre comme limite inférieure -p = —xi nombre répondant au cercle plein. Alors on aura â^ < i6r', soit— 5 < i6z, et enfin - < 4 v^. Donc - sera compris entre 2 v^ et 4 \f^' Attribuant successivement à z ou — ^^ les valeurs de la table, on forme le tableau ci-après :

r* Valeurs de -r« a*

Limite inférieure de - • a

Limite supérieure de a,

o,ooo3

o,ooo5

o,ooi5

Pour permettre les interpolations entre les résultats qui correspondent à

deux valeurs consécutives de — j nous avons remplacé dans la seconde

colonne du tableau précédent chaque nombre par celui qui est immédiatement au-dessus, et au contraire nous avons descendu d'un rang dans la

colonne des limites supérieures. Far exemple, lorsque -^ est égal à o,ooo3, au lieu de supposer - compris entre o,o35 et 0,070 , nous avons admis

Taleurs de ^•

Limite inférieure de a

0,OOOI

. o,ooo3

o,ooo5

o,ooi5

3 12 GHAPITBE GINQUiftME.

qu'il pourrait varier entre 0,028 et 0,080. En outre, nous avons cru devoir

rejeter comme inutile en pratique toute valeur de - inférieure à o,o3 et

supérieure à 0,10. Ces deux modifications conduisent au tableau suivant, dans lequel on n'a d'ailleurs introduit que des multiples de o,oo5 pour les limites cherchées, en les exprimant à moins de o,oo3 près :

Limite supérieure de * •

L'existence de ces limites explique les blancs qui sont restés dans les

pages de la table.

2 9 Pour ce qui concerne l'angle 7 , on a fait varier le rapport --^ entre

0,12 et 1,00, comme dans les tables de poussée. Mais les valeurs de ce rapport ne procèdent par degrés rapprochés (de 0,01 en 0,01) qu'entre

2 9 2 Cp

— ï- = o, 20 et — ^ = 0,32, c'est-à-dire dans l'intervalle qui comprend les

arcs les plus ordinairement employés; en dehors de ces limites^ il y avait peu d'inconvénient à avoir des différences plus fortes, et cette mesure a été prise pour ne pas trop augmenter le volume de la table.

i25. Exemple du calcul de la résistance d'un arc de pont sous la charge d'épreme, — Quand une fois on aura obtenu le coefficient 6, comme il a été dit au n'' i23, le calcul de la résistance s'achèvera aisément. En voici un exemple.

Supposons les données suivantes :

Arguments pour entrer dans la Table V : -; = o,ooo334, — ? = 0,2082, - = 0,0567;

Poids de la demi-travée, uniformément réparti suivant l'horizontale,* /w = io5 tonneaux; Aire de la section supposée homogène, o. = 0*^,1428.

DÉFORMATION ET RtSISTANGE DES ARCS CIRCULAIRES. 3l3

La division de pa exprimée en tonneaux, par .1000 fois H exprimé en

mètres carrés, donnera le quotient ^ exprimé en kilogrammes par millimètre carré,

D*un autre côté, les arguments ci-dessus indiqués nous ont donné (n° 123) la valeur de 6 égale à 4)0 : donc la plus grande pression, rapportée au millimètre carré, sera

c'est-à-dire que la matière de Tare sera soumise à une pression maximum de près de 3 kilogrammes (^''",9) par millimètre carré.

Ces données et ce résultat conviendraient approximativement au viaduc de Tarascpn, si la fonte pouvait être regardée comme homogène : nous disons approximativement, parce que la section n*est pas tout à fait symétrique par rapport à l'horizontale du centre de gravité. D*ailleurs , Taugmentation du coefficient d'élasticité vers les bords pourrait conduire à modifier natablement le chiffre de a^^g. Quoique les données expérimentales nous manquent pour effectuer le calcul avec quelque précision, nous rappellerons que les constructeurs du viaduc de Tarascon, MM. Oesplaces et Collet-Meygret, ont évalué à 6000000000 le coefficient moyen d'élasticité longitudinale des arcs (n"" 111), de sorte que Ton a

De plus, le nombre E^ paraît devoir être fixé à 12. lol (voir plus loin les indications données sur ce sujet, au § I^ du chapitre Vil*) : donc

/?a-i= io5ooo ^-3-^ •„ = i,47.io*.

Ainsi, la quantité à multiplier par le coefficient 6 aurait une valeur double de celle que nous avons supposée tout à l'heure.

Quant à 6, il dépend du rapport -5? qui peut être altéré aussi par le défaut d'homogénéité de la section ; mais la Table Y montre qu'avec les arguments — = 0,21 et - = o,o55, € ne s'écarte pas sensiblement de 4,0, quand même -; varierait de 0,0001 à 0,0008. Il faut donc conclure de

toutes ces considérations que probablement la pression maximum demandée se trouve aux environs de 6 kilogrammes par millimètre carré. . Il est juste d'ajouter que ce maximum a lieu en des poipts situés à la

3l4 CHAPITRE CINQUIÈME.

snrfece extérieure de la section. Or ces points s'étant refroidis plus vite que les autres pendant le moulage de la fonte, par suite de leur contact avec le moule, la matière y est plus serrée et plus dure que dans Tintérieur. Cest pour cela que déjà nous avons supposé au maximum E, une valeur double de la moyenne : il est probable que la même circonstance rend aussi la matière susceptible de mieux résister à Técrasement. Quand on pénètre à une profondeur de o"^,oi ou o^^ixk au-dessous de la surface, peut-être la fonte devient-elle beaucoup plus molle et moins résistante : mais, par compensation, E^ serait remplacé par un nombre beaucoup plus faible, ce qui diminuerait la pression moléculaire par unité de surface.

§ IV. *— Des circonstances qui penrent influer sur la résistance d'nn arc à section constante, chargé uniformément suivant l'horizontale. — Vérification de la stabilité sous la charge d'épreuTe.

126. Généralités, — On suppose toujours ici les circonstances générales admises dans tout ce chapitre, savoir, celles qui ont été indiquées au n** li5. Ainsi Tare est à fibre moyenne circulaire, avec une section constante; sa corde est maintenue invariable par deux appuis fixes placés au même niveau, et aucun autre obstacle ne gêne ses déformations; la charge, y compris le poids propre des pièces, consiste en un poids uniformément réparti suivant Thorizontale; enfin, la section a une forme telle, que l'arc fléchit dans son plan vertical, sans gauchissement (n**4.8). Alors la pression maximum, si la section est en outre supposée-homogène, sera représentée, comme

on vient de le voir au paragraphe précédent, par ê jy Nous

nous proposons ici d'examiner de quelle manière varie ce maximum quand, laissant le poids total pa et Taire û constants, on fait varier les trois arguments qui ont servi à trouver 6 (n« 122); pour cela, il suffira d'étudier les variations de 6, et c'est ce que nous allons faire maintenant. Les trois quantités dont nous avons à rechercher l'influence sont :

!• Le demi-angle 9 au centre de Tare, qui caractérise la figure de la fibre moyenne;

2° Le rayon de gyration r et la hauteur A de la section, comparés à l'ouverture nade l'arc, ou, en termes plus géné-

DÉFORHâTION et résistance DBS ARCS GIRGULAIRES. 3l5

rauXy les éléments qui sont introduits par la forme de la section transversale.

127. Influence du demi-angle au centre de la fibre moyenne^ ou du rapport entre la flèche et V ouverture. — Pour se rendre compte de cette influence, il suffît de prendre la Table V et de parcourir les colonnes verticales : ces colonnes renferment effectivement une série de valeurs de 6, obtenues en faisant va-

rier le rapport — ^ sans changer — ni - • Or on voit qu'en par-