Influences spéciales de la hauteur de la section tmns
versale et de son rayon de gyration. — Lorsque — et — ^ lestent constants, les valeurs successives qui résultent pour 6 des changements de - se trouvent sur une même ligne horizontale de Tune des pages : par conséquent on voit qu'elles
sont croissantes avec --• Au contraire, si, laissant ■— ï- et - mvaa Tz a
pi riables, on fait passer — par des valeurs de plus en plus grandes,
on sera conduit à reconnaître que 6 diminue. Nous conclurons donc qu'il est avantageux de diminuer autant que possible la hauteur, quand on peut le faire sans entraîner une diminution correspondant^ dans le rayon de gyration ; et, par contre, que la hauteur restant fixe, il est bon que le rayon de gyration soit aussi grand que possible. Ces mêmes remarques sont vraies pour les pièces droites (n**82).
129. Influence des variations de forme de la section transversale, en général. — Lorsque les changements de forme de la section transversale ont pour conséquence de modifier à la fois, dans le même sens, sa hauteur et son rayon de gyration, on ne peut plus dire à priori quel en sera le résultat. Si, par exemple^ la hauteur augmente, ce sera pour la pression maximum une cause d'augmentation; mais, d'un autre côté, cette pression diminuera simultanément par suite de l'accroissement du rayon de gyration. L'effet total sera dans un sens ou dans l'autre, suivant les cas.
3l8 CHÀPITBS CINQUlkME.
Voici un exemple curieux sur ce sujet. Un série d'arcs de même ouverture satisfait, sous le rapport de la charge, de la section, etc., aux conditions rappelées au n® 126 ; tous ont une section rectangulaire homogène et d'égale surface ; tous supportent la même charge, y compris leur poids propre : on demande d'étudier comment variera la pression maximum, quand on augmentera ou diminuera la hauteur de la section, la base variant en raison inverse, de manière à laisser le produit constant.
Dans la question actuelle, le rayon de gyration r est toujours lié à la
hauteur h par la relation très-simple r* = — A^; d'où l'on conclura -;
quand - sera donné. Nous avons d'abord considéré trois sections rectangulaires, que nous désignerons par les n*" i, a, 3, et dont les hauteurs sont décroissantes, comme il est indiqué ci-après :
Section I - = o,io, -= = — -o.oi = o,ooo833: '
Section 2 - = 0,06, — =:r — . o,oo36 = o,ooo3 :
Section Z - = o,o35, -r = t— . 0,001226 = 0,000102.
Si Ton choisit, en outre, une valeur quelconque de l'angle au centre, la Table V fera aisément connaître les valeurs correspondantes du coefficient 6. Voici ce qu'on trouve : .
RAPPORT 2f
COEFFICIIN
IT 6 PODK 1
U UCTIOll
RAPPOBT
coirriciEi
!T 6 FODB LÀ SECTION
noI.
ro 1.
BÉFORMATIOK ET R^ISTANGB DBS ARCS CIRCULAIRES. 819
Ce tableau montre que pou? résister à une chaire uniformément répartie suivant rhorizontale (sous les autres conditions du n** 126)^ la section n** 3 sera la meilleure quand 7 sera auKlessous de 0,26 d'angle droit;
depuis — = 0,26 jusqu'à — = o,36 ou o,38, ce sera la section n** a qui donnera lieu à la moindre pression, et au-dessus de — == o,38, la
TT
section n** i prendra le premier rang. La différence de résistance est trèsmarquée pour les arcs voisins du plein cintre, quand — se rapproche de ^1,00; elle est moins sensible pour les arcs très-surbaissés, et disparaît, pour ainsi dire, entre les limites — = o,a6 et — = o,32 correspondantes au surbaissement de — et de - environ. 10 8
Le tableau ci-dessus indiquant que pour les arcs fortement surbaissés on augmente la résistance en diminuant la hauteur de 1 arc (dont la section conserve bien entendu son aire constante), il y a de l'intérêt à cher* cher la hauteur qui donnerait le résultat le plus avantageux. Nous avons
fait cette recherche par tâtonnement pour la valeur — = o,ia, non plus
au moyen des tables, dont les limites deviennent trop restreintes, mais
en nous servant directement des formules du n** 118. Voici les résultats
de cinq essais :
1° - =0,02; ~ = — (0,02)'= o,oooo333; rapport de la poussée
au poids de la travée, n = 2,624. La valeur de 6 est donnée par la formule (5) du n" 118; on trouve 6 = 6,4.
2" - = 0,0x5; — = — (0,01 5)' = 0,00001875; n = 2,632. Le plus
fort maximum se trouve par la même formule, qui donne 6 = 6,2.
3** - = 0,01; -^ = — (0,01)^ = o,ooooo833; « = 2,637. La valeur
de 6 est toujours donnée par la formule (5); elle est 6 = 6,2.
4" - = o,oo5: -? = — (o,oo5)* = 0,00000208 ; n = 2,640. On trouve
encore par la même formule 6 = 6,4.
5<» - = 0,001; -r= — (0,001V = 0,0000000833 ; 72= 2,641. Dans ce
cas, la formule (7) conduit à un résultat plus fort que la formule (5), savoir 6 = io,4»
En conséquence, dans la question qui nous occupe, le rapport le plus favorable de la hauteur à la demi-ouverture serait voisin de 0,01 ou o,oi5|
320 CHAPITftE GINQUlfeME.
nombres auxquels correspondent des valeurs de 6 sensiblement égales. On voit que ces valeurs sont à peu près les 0,7 de celle qu'on obtiendrait en
faisant - ^ 0,10 ; et les sections restant constantes ainsi que la charge,
les pressions maxima seraient dans le même rapport. On voit, en outre,
que si Ton diminue trop le rapport - j on finit par rendre 6 plus grand
qu'il ne Tétait pour - = 0,10. A la limite, en faisant h = o, on aurait
6 = 00 ; car on a r' = — /i% par suite -^ = -t-j quantité qui devient
infinie quand h s'annule, et qui rend également infinis les seconds membres des formules (5) et (7) (n** ii8).
130. Reflexions sur les exemples qui précèdent, — Il convient d'insister sur ce qu'il y a de remarquable et d'inattendu dans les résultats que nous venons d'obtenir. Les formules de résistance des pièces droites et de nombreuses expériences ont montré que, à section et à charges égales, les pièces rectangulaires résistent d'autant mieux qu'elles ont une plus grande hauteur transversale. Il en est tout différemment dans une pièce courbe, et quelquefois l'augmentation de la hauteur de la section est nuisible à la résistance. Souvent elle est indifférente et ne produit pas de changement sensible.
On n'oubliera pas les données admises dans la solution de ces problèmes. Nous nous sommes occupé exclusivement de la résistance aune charge uniformément répartie suivant l'horizontale, sous certaines conditions (n**126). S'il y avait en quelques points des poids isolés assez considérables, les résultats pourraient se trouver modifiés. Ainsi nous nous sommes assuré (par un calcul que. nous supprimons, pour ne pas étendre outre mesure cette discussion) que si l'on considérait seulement la résistance à un poids
suspendu au sommet, -^ étant égal à 0,1a, et toute autre charge étant
négligée, le rapport - = 0,10 serait celui qui produirait la moindre pression parmi tous ceux essayés au n"" 129. L'examen d'autres circonstances que nous avons omises, notamment l'étude des effets produits par les chocs et les vibrations, conduirait peut-être aussi à des nombres un peu différents.
D'ailleurs il est des doutes qui peuvent naître de la théorie elle-même. Sans parler des hypothèses fondamentales, dont il est permis de douter puisque ce sont des hypothèses, nous avons admis (n'^Sd) une répartition uniforme de la réaction des appuis sur les sections extrêmes : or, pour une section de faible hauteur, comme nous en avons trouvé au n"" iS9,
