I. 2« ÉDIT

322 CBAPITEI GHCQUIÈMB.

conque de la fibre moyenne, ont un moment nul par rapport à ce point, et on en conclut que les angles de contingence ne varient pas par le déplacement de Tare ; de telle sorte que si Ton négligeait la compressibilité de la fibre moyenne, les dimensions ne changeraient pas et les extrémités

resteraient fixes. Si Ton supprime les forces pa et ^--j appliquées à chacun

des points extrêmes, mais qu'on rende ceux-ci invariables, il est clair,

d'après cela, qu'ils fourniront les réactions pa et ^7 puisque ce sont

elles qui sont capables de produire Timmobilité de ces points. La même conséquence s'étend à un arc circulaire très-surbaissé, parce que cet arc peut être confondu avec une parabole. Mais elle cesse d'être admissible pour la parabole comme pour le cercle dès que le rayon de gyralion de la section transversale est un peu grand, parce que la compressibilité de la fibre moyenne devient une cause relativement importante de déformation, et qu'on ne peut plus la négliger.

4'' Quand la poussée d'un arc parabolique, ou circulaire et à petite

flèche, est égale à ^; le moment des forces étant toujours nul, comme

on vient de le dire, la courbe des pressions se confond avec la fibre moyenne; donc la pression se répartit uniformément sur toutes les sections, ce qui est favorable à la résistance. Puisqu'une augmentation du rayon de gyration fait décroître la poussée, elle tend aussi à écarter de plus eu plus la courbe des pressions de la fibre moyenne, ce qui produit dans chaque section une répartition inégale de la force et tend à augmenter la pression maximum.

Mais il existe dans les formules (5) et (7) du n'élis un facteur -^ dans

lequel le carré /•* du rayon de gyration entre en dénominateur; l'accroissement de r tend donc aussi , d'un autre côté, à diminuer la pression maximum. Ce sera* l'une ou l'autre de ces deux tendances qui l'emportera, suivant les cas, et quelquefois elles se conlre-balanceront. Lorsque r varie seul et va en croissant, la hauteur h de la section et toutes les autres quantités restant constantes, nous avons vu (n*" 128) que la pression maximum est décroissante. Mais si h croît proportionnellement à r, de telle

sorte que le rapport -^ soit en raison inverse de la première puissance

de r, au lieu de la seconde, l'exemple du n° i29 montre que c'est alors la première tendance qui domine et qu'il est avantageux d'avoir un faible rayon de gyration, ou, si Ton veut, un faible moment d'inertie. Toutefois l'avantage cesserait, comme on l'a vu, en prenant des sections trop a{4aties, parce que la coïncidence de la courbe des pressions avec la fibre

BÉFORMâTIOI^ et BtSlSTÀNGB DES ÀftGS GIEGULAIEES. 3^3

moyenne n'est qu'approximative, et le petit écart qui existe entre les deux courbes a une très-grande influence quand la hauteur de la section est très-petite.

131. Vérification de la stabilité sous la charge d'épreuve. — Quand on aura déterminé la pression maximum qui a lieu sous Taction de cette charge, il suffira de s'assurer que ce maximum est au-dessous de la limite que Texpérience fait connaître. Si l'on se donne toutes les dimensions de la section excepté une, ou si Ton se donne une figure semblable à la section, la condition dont nous venons de parler suffira pour en compléter la détermination.

Cette vérification de la stabilité ne se rapportant qu'à un des systèmes de charges qui peuvent peser sur la pièce, ne doit sans doute être regardée que comme une première indication. Pour avoir une certitude plus complète, il faudrait considérer tous lés systèmes de charges, et prendre, dans chaque section, celui qui serait le plus défavorable à la résistance; il faudrait, en un mol, répéter pour les pièces courbes ce que nous avons fait au § III du chapitre III% pour les pièces droites. Mais ce serait une discussion trop compliquée pour être feite autrement que sur des cas particuliers. Nous avons donné dans ce Cours les indications générales qui peuvent être utiles à l'ingénieur auquel un projet de pièce courbe donnerait occasion de l'entreprendre.

§ V. — Résistance des vases cylindriques soumis à la pression uniforme d'un gaz; épaisseur qa'il convient de donner aux jftarois d'une chaudière à vapeur.

132. Résistance d'une chaudière à profil exactement circur laire. — Supposons un vase de longueur indéterminée, dont la matière est comprise entre deux cylindres circulaires con^ ceniriques. La fig. 5o en représente le profil transversal. A l'intérieur agit une pression constante de p kilogrammes par unité de surface; à l'extérieur une pression />'. On néglige toutes les autres influences ééformatrices, telles que le poids propre du vase, la réaction des appuis, l'action des bases du cylindre, etc.

V ai .

324 CBAPITBB GINQUlItME.

Les choses étant ainsi , on voit tout d'abord que la fibre

p.g ^ moyenne du profil ACBD A'C B'D',

ç. considéré comme pièce courbe,

Car tout en étant symétrique par rapport au diamètre A'B', ce diamètre restera encore axe de symétrie dans rétat final, et par suite sera encore normal à la fibre moyenne; comme on peut en dire autant de toute autre ligne passant par le centre primitif 0, on voit que toutes les normales de la fibre moyenne définitive concourent en un même point, propriété qui n'appartient qu'aux normales d'un cercle. Les sections normales telles que AA' ou BB' n'éprouvent donc pas de mouvement de flexion, et sont par conséquent soumises à une tension ou pression uniforme.

Pour en connaître la valeur, il faut chercher l'intensité de la résultante des pressions exercées sur la surface concave ACB et sur la surface convexe A'C'B', résultante qui doit être équilibrée par les actions moléculaires des sections AA' et BB'. Or la résultante se trouve aisément, quand on se rappelle ce théorème d'Hydrostatique, savoir : que si une pression constante par unité de surface est appliquée normalement sur un contour fermé, la résultante des pressions sur les divers éléments superficiels est alors nulle. Si l'on appelle d le diamètre AB, d' le diamètre A'B', / la longueur du cylindre perpendiculairement au plan de la figure, en considérait. ACB. et A'C'B' comme des contours fermés (y compris les plans AB, A'B'), on voit que la pression totale supportée par le demicylindre ACB est égale à celle que supporterait le plan AB, soit à pld, et que la pression supportée par A'C'B' est de même p'ld\ La résultante est donc

±/(prf-/?'rf') = R.

Elle tendra à opérer la séparation des deux moitiés du vase en AA' et BB' si la pression intérieure l'emporte; elle serrera ces deux moitiés l'une contre l'autre, dans le cas contraire.