BÉFOEMATION ET RÉSISTANCE BES ARCS CIRCULAIRES

Soit maintenant c Tépaisseur AA'i=-(rf' — âf'); soit encore-T la pliis grande force longitudinale par unité de surface à laquelle on veuille soumettre la matière du vase. La force R est équilibrée par une pression ou tension uniforme exercée sur la surface 2 AA'./ou l(d—d') ou a/c; donc, pour obtenir répaisseur strictement nécessaire, on devra poser

soit, à cause de rf'=:rf-t-2c,

±{p'—p')dzf.'ip'c — . 2Tc;

d'où l'on tire l'inconnue

Le double signe ± doit être remplacé par -f- si /? est plus grand que p'y et par — si ;?' est plus grand que p.

La quantité T, lorsqu'il s'agit de chaudières à vapeur en tôle, est grande relativement à/)'. En effet, si nous supposons

T=: 2850000, ce qui n'atteindrait' généralement pas — de la

force de rupture, et si d'un autre côté nous faisons/?'=: io33oo, limite répondant à une pression de 10 atmosphères, en dessous de laquelle on se tient d'habitude, il en résulterait encore T>'27p'. On écrira donc simplement, en désignant par p" la valeur absolue de la différence p — p'i quantité qu'on appelle aussi la pression effective )♦

Lorsque la pression effective p" est e^f primée en atmosphères, n étant le nombre d'atmosphères correspondant, on a p''z=iioZZon; substituant cette valeur dans c, et faisant en outre T = 2850000, on trouvera

C!=0,0&l8ll£/.

3^ CHAPITIB ciHQnitas.

L'ordonnance royale du 2a mai i843 (*) prescrivait de déterminer la moindre épaisseur des chaudières à vapeur, dans le cas où la pression intérieure est dominante, par la formule

(11) €?=:o,oo 18 nd~{- o>oo3 .

L'excédant de 3 millimètres donné par cette formule a pour but de pourvoir à Tusure de la chaudière et aux circonstances secondaires dont la théorie ne tient pas compte.

Quant aux chaudières ou tuyaux à vapeur pressés du dehors en dedans, l'ordonnance précitée portait qu'on devait leur donner une épaisseur plus grande et en outre les munir d'armatures. Une instruction ministérielle du 17 décembre 1848 exigeait que, dans ce cas, l'épaisseur de la tôle fût une fois et demie celle que donne la formule (11). Elle recommandait d'ailleurs, comme armature, des anneaux en fer forgé concentriques avec le tuyau à renforcer. Pourjustifler ces prescriptions, on peut dire d'abord que si />' l'emporte, la matière est comprimée au lieu d'être tendue, et que la tôle résiste moins bien aux pressions qu'aux tensions; en outre, un cylindre circulaire supportant extérieurement une pression uniforme est pour ainsi dire en état d'équilibre instable: car si, par une cause accidentelle, le profil s'est un peu aplati, de manière à se rapprocher d'une ellipse, l'aplatissement s'augmentera par l'effet de la pression, tandis qu'il diminuerait par l'effet d'une pression intérieure dominante. Or un très-faible écart de la forme circulaire a pour résultat de mettre en jeu la flexion, de donner lieu à une égale répartition des forces moléculaires, et enfin d'exiger une épaisseur plus grande pour résister convenablement. C'est ce qu'on va voir par la solution du problème ci-après.

133. Résistance d'une chaudièreàprofil faiblement elliptique. — Soit ABA'B' {Jig>5i) le profil transversal moyen de la chaudière, dans la forme définitive que lui a donnée l'action du gaz. Pour fixer les idées, nous supposerons la pression inté-

(*) Aujourd'hui abrogée. L'épaisseur des chaudières autres que celles des bateaux à vapeur n'est plus soumise à aucune réglementation administrative.

DÉFORMATION ET ]t£8ISTANGE DES AR€S CIRCULAIRES. 3^7

Heure dominante, et nou3 désignerons par p l'intensité de la pression effective rapportée au mètre carré. La courbe ABA'B' est une ellipse peu différente d'un cercle, dont les axes principaux sont aP, BB'; nous poserons AÂ'^ ia qx BB'=2av^i — 6% £ étant la quantité (ici très-petite)^ qu'on ^ç^^Wçi excentricité de V ellipse. Imaginons que la chaudière

soit coupée en deux par le plan AA' et prenons une portion ayant pour longueur l'unité, suivant la perpendiculaire au plan de la figure. Nous aurons ainsi une pièce courbe, dont ABA', par exemple, serait la fibre moyenne, et dont il faudra vé- ^^ rifier la résistance.

Il est avant tout nécessaire de connaître les actions qui s'exercent dans le plan de séparation des deux moitiés ABA', AB'A', ou, en d'autres termes, quelles forces il faut supposer exercées dans ce plan pour pouvoir enlever ABA' et ne conserver que la moitié supérieure du profil. On voit d'abord que dans le joint A, les réactions égales et contraires des deux moitiés Tune sur l'autre sont deux forces verticales, car il faut qu'elles soient à la fois dirigées suivant la même ligne et symétriques par rapport à AA'. Leur intensité est d'ailleurs pa^ parce que la résultante des pressions exercées sur la surface courbe ABA' est égale à la pression exercée sur le plan AOA' ou à 7.pa et que les réactions en A et A' sont les mêmes. Toutefois, nous ne connaissons pas d'avance le point d'application de ces réactions; pour les considérer comme appliquées sur la fibre moyenne elle-même, il faut en même temps joindre à chacune de ces forces un couple p, produit par le déplacement de leur point d'application. Donc enfin la pièce courbe ABA' doit être regardée comme soumise :

1*» Aux pressions exercées par le gaz sur les différents éléments du cylindre ABA' ;

2« A deux forces dont l'intensité est /?«, dirigées de haut en bas (si la pression intérieure domine) et appliquées suivant la tangente à la fibre moyenne, en A et en A' ;

328 CBàPITIB CIlfQUltal.

S"" A deux couples /x, — /x, appliqués dans les sections extrêmesy en Aet A'«

Pour déterminer [i, on exprimera que la rotation relative des sections B et A est nulle. Or si Ton prend un point C sur le quart d'ellipse AB^ la pression du gaz sur CA étant la même que sur la ligne brisée CDX qui a les mêmes extrémités, le moment fléchissant au point C sera

équation dans laquelle/ = CD, x = OD sont les coordonnées de d par rapport aux axes principaux de l'ellipse. En réduisant on trouve

D'ailleurs Féquation de l'ellipse sera

7' -H (i — 6') ar* = a' (i — s') , et Ton en tire

donc aussi

X = i/> e» (j;^ — a') -4- fit.

La rotation relative de la section faite en C, et de la section infiniment voisine séparée de la première par un arc ds de la fibre moyenne, sera, sauf un facteur constant, Xds; ei puisque la rotation relative des sections faites en B et A doit être nulle, il faudra qu'on ait

Cxds^o,

l'intégrale étant prise dans l'étendue totale de l'arc AB. On posera donc, en appelant L la longueur de cet arc,

1 x^ds est le moment d'inertie de l'arc AB relativement à l'axe