DÉFORMATION ET RÉSISTANCE DES ARCS CIRCULAIRES

des y^ ou bien L multiplié par le carré du rayon de gyration ; et comme l'arc AB diffère très-peu d'un quart de cercle, le

carré du rayon de gyration sera sensiblement égal à - a' (n** 6). Donc

jpe'a^L pi^a^L-i- ijlL = Oj

ety par suite,

li. = ^paH\

valeur qui, substituée dans X, donne

On voit par cette expression que le moment fléchissant X est d'abord négatif aux environs du point B, où il a pour valeur— jpà'e*; qu'il décroît ensuite en valeur absolue et défi vient nul pour:r=-7=f ce qui correspondrait exactement au

milieu de l'arc AB si cet arc était identique avec un cercle; enfin, qu'après s'être annulé, X croît en valeur absolue et devient égala jpaH^fOUT a: = a. Le signe de X montre que

dans les environs de B la courbure augmente, parce que la rotation relative de deux normales consécutives, ayant lieu dans le sens de Oj vers Ox, tend à augmenter leur angle; le fait contraire se produit en A. Donc la pression du gaz tend à amoindrir l'ellipticité du profil. Nous arriverions à une conclusion directement opposée si là pression extérieure dominait. Soient maintenant c l'épaisseur de la chaudière, et E le coefficient d'élasticité longitudinale de la matière qui la compose. La pièce courbe dont la fibre moyenne est ABA' aura pour section transversale un rectangle dont les côtés seraient c et i; la dimension c étant celle qui se trouve placée perpendiculairement à l'axe de flexion, le rayon de gyration de la section

transversale par rapport à cet axe sera ci/ — ( n*» 6 ), dans l'hy -

33o CHAPITBS CINQUlftlK.

pothèse d'une matière bomogèney et le moment d'inflexibilité

correspondant aura pour valeur — Ec^ (n*» 17). Donc l'angle ^

du mouvement de flexion entre deux sections infiniment voisines devra satisfaire à la relation

as 12.

qui donne

, i2\ds

et attendu que la fibre la plus éloignée de l'axe de flexion s'en trouve à la distance- c, cette rotation- ^ donne lieu à un maxi-

mum de pression ou tension exprime par —^ ou par — p-

Mettant à la place de X son maximum j pa*t*j on en conclut la plus grande valeur de la tension d'une fibre, par le seul effet de la flexion, valeur qui est ^ , «

A cette force moléculaire il faut encore joindre celle qui correspond à l'extension uniforme entre deux sections consécutives, laquelle sera toujours à peu près la même que dans le cas du profil circulaire, et aura par conséquent pour expression ^« Ainsi l'épaisseur c devra être déterminée par l'équation

soit, en remplaçant, comme au n® 132, p par io33on, a par - rf,

T par 285oooOy et résolvant par rapport à c,

./ , / Î6557î\ c = Oyooogna l » -♦- \/ H ) •

Si l'on admet qu'il est nécessaire d'ajouter encore o",oo3 à cette épaisseur théorique, pour avoir égard à l'usure de la

DÉFORMATION ET B&SISTAlfCE DE$ ARCS CIRCULAIRES. 33 1 ^

chaudière et autres circonstances secondaires qui diminue*raient la résistance, on posera définitivement

(12) c = o,ooo9/ial i-+-t/ iH I -+-o,oo3.

Lorsque 6 = 0, celte formule devient identique avec la formule (11); mais il n'est pas nécessaire que e sdit bien grand pour que leurs résultats soient notablement différents. Ainsi, en faisant 7i = 5, £^==0,02, d=:i, la formule (11) donnerait c = o™,oi2, tandis que la formule (12) donnerait <?=:o",o2o, c'est-à-dire le résultat de l'autre formule augmenté dans le rapport de 3 à 5.

On voit donc qu'une faible excentricité dans la forme définitive du profil transversal a une influence considérable sur la résistance; et comme cette excentricité tend à s'accroître ou à diminuer suivant que la pression la plus forte agit à Textérieur ou à l'intérieur, on comprend aisément que le premier cas présente plus de chances d'accidents et par conséquent exige l'emploi de chaudières plus épaisses.

Calcul de la déformation du profil elliptique. — La formule (12) exprime l'épaisseur c en fonction de l'excentricité e du profil définitif; afin de pouvoir comparer les épaisseurs nécessaires pour résister à une pression effective /?, quand elle agit successivement en dedans et en dehors, il faudrait avoir e en fonction de l'excentricité primitive e, , qui existait avant que la chaudière fût souniise à la pression p. Il est donc utile d'étudier les déformations subies par le profil, ou tout au moins l'altération de son excentricité : cherchons à cet effet les longueurs A a et Ai dont les demi-axes ont varié.

On peut calculer A/i en appliquant au point A l'équation (2) du n* 43; on prendra le point B {fig, 5i) pour origine des intégrales définies, et on fera

Aa:,=:Aa, Ax, = o, /?,= o, y,^o\

alors l'équation devient

La force N, tension totale dans une section, est, comme nous l'avons déjà dit, sensiblement constante et égale à pa : comme en outre son intensité

332 CHAPITRE GINQUifeHE.

rapportée à l'unité de surface est le plus souvent inférieure à la limite de 3 kilogrammes par millimètre carré (même dans Thypothèse d'une flexion nulle), elle produira un allongement relatif uniforme de i ou a dix-millièmes dans tous les éléments de la fibre moyenne (*), Elle n'aura donc pas d'influence appréciable sur le changement d'excentricité. Ainsi nous prendrons simplement

r^ Xr ds , Jo er' dx

Il faut dans cette formule remplacer X par - pt^ (a^— a^) et er^ par

— Ec*: de plus, en considérant la courbe BÂ comme un cercle, on aura

ds 1 OC a^

fite ~ cosOCD ~" c5 ~~jr' par suite,

ou bien, à cause de la relation a^ — b^= «*§',

Aû =

On aura évidemment Â^, si dans cette équation on change a en b et inversement : donc

quantité que l'on peut regarder comme égale à — Au:, vu le peu de différence que l'on suppose entre a et b.

Ainsi donc, si l'on nomme a^ et b^ les demi-axes primitifs, d le diamètre (sensiblement égal à aa ou à 2^, ou bien à la somme a-hè, ou encore à //, -I- ^J , on posera

C^) Le fer s'allonge de environ de sa longueur primitive sous une ten-

sion longitudinale de i kilogramme par millimétré carré.

BfiFORHÀTION ET BiSISTANGB BBS ABCS GIBCULAIBB8. 333

on en déduit par soustraction

et par suite

D'un autre côté, on a

û2g2 = û=— ô» = (fl - Z») (fl + b),

soit, puisque a diffère peu de 6,

de même.

in'

ont pas été fortement al

et Qnalem^t (i3)

Les calculs qui précèdent ont été faits en prenant la valeur de X relative au cas où la pression effective p agit intérieurement : dans cette hypothèse la formule (i3) ne peut pas présenter de difficulté et donnera c' en fonction de e^. Mais si p agissait au dehors, les forces changeraient de sens ainsi que X; pour répéter les mômes calculs, il faudrait donc changer partout le signe de /?, de sorte qu'on arriverait à l'équation

Or il en résulterait une valeur imaginaire pour e, si le dénominateur du second membre n'était pas positif; une telle conséquence indiquerait que nous sommes parti d'une hypothèse inexacte, en supposant la déformation petite, et par suite la chaudière n'aurait pas une stabilité conve*

334 CHAFITBS CINQUIÈME.

nable. Lorsque la pression se trouve à Textérieur, il faut donc satisfaire à la condition

aEc-»

soit en résolvant par rapport à c, après avoir fait p ~ io33o/i, E = a. lo'", et par conséquent -^ = 0,000000268 «,

(i5) c > o,oo6idy/n.

Voilà une limite inférieure de l'épaisseur, en dessous de laquelle on ne devra pas descendre ; il faudra môme en approcher d'autant moins que sj aura une valeur plus notable, car autrement s pourrait devenir grand, ce qui compromettrait la chaudière. C'est un fait assez remarquable que l'existence d'une telle limite, déterminée indépendamment du maximum de pression auquel on peut soumettre la tôle : on y est parvenu en exprimant par le calcul que la chaudière a une roideur suffisante pour n'éprouver que de petites déformations quand on la presse extérieurement, et qu'elle n'est pas exposée à s'aplatir comme pourrait le faire une membrane très-mince et très-flexible.

Maintenant, pour avoir l'épaisseur en fonction de l'excentricité primitive, il faudra, dans l'équation qui nous a conduit à la formule (12], remplacer e* par l'une des expressions (i3) ou (14), ce qui donnera, eu égard

à la relation a = - d, ^

pd ^ ^pdUl ^ ^

Le double signe dz sera 4- ou —, suivant que la pression dominante agira en dedans ou en dehors; de plus on devra, suivant l'usage, considérer la quantité c déduite de cette équation, non comme l'épaisseur réelle, mais comme l'épaisseur diminuée de o^jOoB.

L'équation ci-dessus, étant du quatrième degré en c, ne sera jamais d'un emploi bien commode ; afin d'en simplifier la forme autant que possible, nous supposerons d'abord c exprimé en millimètres, et jious écrirons, en tenant compte aussi de la valeur déjà donnée à -^ ?

8c'li±-

Dans le système de l'ordonnance de 1843, on avait pris T = aSSoooo

DÉFORMATION ET RÉSISTANCX DBS ARCS CIRCULAIRES. 335

environ ; plus exactement on avait posé

d'où résulte

^ = ^=.,8«rf,

^ ÏOOO/?

la substitution de cette valeur dans notre équation fera disparaître le facteur looop et donnera

-^ hi35o. •

cM i±

Désignons par x le rapport — -— rj c'est-à-dire le rapport entre Tépais-

seur diminuée de 3 millimètres et la valeur i^%nd qu'aurait cette quantité, si Ton s'en tenait à l'ordonnance de i843; nous ferons alors c = \,^ndx dans la relation précédente, qui deviendra

1 i35of;

1,8 nxUi:^:::^^ \

\ 1,8 «vy

d'où l'on tire sans peine

(i6) ,j = o,oos.4(^-i)(^±Jp)-

Au moyen de l'équation (i6), on peut immédiatement et sans difficulté construire un tableau à double entrée, faisant connaître sj en fonction des arguments n et x. Réciproquement, ce tableau étant construit, on peut en déduire un autre qui donnera x au moyen des arguments /z et ij, à peu près comme une table de logarithmes permet de trouver le nombre correspondant à un logarithme donné. C'est ainsi que nous avons calculé le tableau suivant : les valeurs de x qu'il indique, ayant été en général obtenues par des interpolations, peuvent parfois présenter une inexactitude d'une ou deux unités sur le dernier chiffre, ce qui nous a paru sans inconvénient sérieux dans la pratique.