I,II
Un exemple suffira pour bien faire comprendre l'usage de ce tableau. Soient donnés a? = i, « = a, £} ï= 0,01; ce dernier nombre, en vertu de
la relation tj = — («,— b^), suppose une différence proportionnelle de
o,oo5 seulement entre les deux axes primitifs. Avec ces données, on trouve dans le tableau
x= 1 ,26 pour le cas de la pression effective à Tintérieur, X = 2,71 pour le cas de la pression effective à Textérieur;
on a d'un autre côté
i,8iî«?= 3"'",6:
DÉFORMATION ET. KÉSISTANCE BBS ARCS CIRCULAIRES. 3^7
donc on devrait adopter pour épaisseur :
i,a6 X y^fi -+- 3""", soit 7™™,5 dans le premier cas; - .
2,71 X 3™",6 4- 3"", soit la^^yS dans le second cas.
L'ordonnance de 1843 et l'instruction ministérielle de 1848 auraient donné pour ces deux épaisseurs respectivement ô^^jô et 9""'i9.
.On voit par cet exemple combien l'existence dune petite excentricité primitive rend défavorable le cas où la pression dominante agit extérieurement.
On peut enfin se demander quelle serait la tension ou pression maximum; en se donnant d'avance l'épaisseur, ainsi que ej/^, w, mais faisant agir la pression effective successivement en dedans et en dehors. Conservons, par exemple, les valeurs ci-dessus attribuées à sj, </, /?, et supposons que la chaudière ait une épaisseur de 10 millimètres. L'application des formules {i3) et (14) donnera d'abord pour le carré de l'excentricité définitive :
g* = 0,0066, dans le cas de la pression intérieure ; s* = 0,0207, ^^^^ 1© cas de la pression extérieure :
substituant ensuite ces valeurs dans l'expression
Te ^c'
de la tension ou pression maximum, on trouve pour résultats correspondants les nombres i",54.io^ et 2"\Ç4.io*, c'est-à-dire que la tôle supporte une tension de i''",54 par millimètre carré ou une pression de 2''",64 sur la même surface, suivant que la vapeur presse intérieurement ou extérieurement. Si l'on n'avait pas tenu compte des effets de la flexion,
pd le maximum eût été^j soit i''^So3 par millimètre carré dans un cas
comme dans l'autre. Les effets de la flexion sont donc très-marqués pour peu que ej ait une valeur sensible, et ils le sont principalement quand la pression extérieure domine.
Conclusion. — En résumé, les calculs précédents démontrent :
i*> Qu'une excentricité, même assez faible, dans le profil d'une chaudière à vapeur, est très-défavorable à la résistance, I. 2« ÉWT. 22
338 CHAPITBB GIRQUllOlK. — DAVOlSATIOlly BTC.
et entraîne à donner à ce profil une épaisseur notablement plus forte que s*il était exactement circulaire;
a« Que le surcroît d'épaisseur à donner, même en suppo* sant que la tôle résiste à la compression exactement comme à Textension, serait plus fort dans le cas de la pression extérieure qu'avec la pression intérieure, si d'ailleurs l'excentricité primitive du profil était la même ;
3» Que l'épaisseur doit, dans le cas d'une pression extérieure, vérifier une certaine condition [l'inégalité (i5)], indépendante de la résistance de la tôle ; on peut regarder la condition dont nous parlons comme exprimant que la chaudière a une roideur suffisante, et qu'elle ne s'aplatira pas, comme pourrait le faire une membrane très-mince.
En outre, ces calculs donnent le moyen de fixer rationnellement les épaisseurs dans les différents cas.
POUTEBS VIBRANTES^ SSg
PKOilLÈMBS PARTICUUEAS ^8Ua LB6 POinBBS VIBQATmSS.
134-. Observations préliminaires. — Nous avons donné au § IV du chapitre II* (n° 68) les équations, générales aux (différences partielles, qui représentent le mouvement vibratoire d'une pièce homogène, à section constante et symétrique par rapport au plan de la fibre moyenne, quand toutes les forces extérieures sont contenues dans ce plan et que les déplace-^ manis de tous les points lui sont constamment parallèles pendant toute la durée du mouvement. Ces équations présenteront généralement des difficultés d'intégration assez grandes ; et même il arrivera souvent qu'après avoir effectué l'intégration, on rencontrera des difficultés encore pluS'grandes quand il s'agira de déterminer les fonctions arbitraires introduites par cette opération même.
Les exemples que Ton va trouver cî-dessous s'appliqueront à des cas très-simples; ils donneront une idée des méthodes au moyen desquelles se traitent les problèmes de ce genre; ils en feront ressortir les difficultés, et fourniront enfin quelques aperçus utiles dans la pratique.
Fig. 52. 135. Équation du mouvement vibratoire d'un
prisme vertical homogène, supportant un poids à son extrémité. — Soit AB [jig. 5^) le prisme donné, dont le point B est fixe, et qui soutient en A un poids P. Voyons d'abord à quelles conditions il pourrait se trouver en équilibre. , Désignons par :
r^ ^ la distance d'une section transversale quel-
LJ conque CD au point fixe B, dans l'état /?«*-
mitif du système, c'est-à-dire quand toutes ses parties,
34o GHÀPITRB SIXiftHB.
soustraites à Taction de ia pesanteur, n'éprouvent aucune tension ;
u le dérangement de celte section, parallèlement à BA, à une époque quelconque, par suite de l'action des forces; cette quantité u sera fonction de x seulement s'il y a équilibre, et s'il y a mouvement elle sera tout à la fois fonction de x et du temps / ;
£ le coefficient d'élasticité longitudinale et n le poids par unité de volume de la matière qui compose le prisme AB;
w l'aire de la section transversale de ce prisme ;
/ la Ipngueur AB ;
/ le temps, compté à partir d'un instant quelconque.
L'élément prismatique compris entre les sections infiniment voisines CD, FH, dont la longueur primitive était dx; occupera, quand l'allongement aura été produit, une longueur différente ; car on aura :
pour l'abscisse de CD au temps / x-\-u;
pour l'abscisse* de FH au même instant . x-^u-\ — —. dx ;
la distance des deux sections au temps / est donc — ^~t dx^
ou bien dx-h -7-dx; donc l'allongement relatif est -7-? et,
par suite, la tension longitudinale dans la section CD s'exprime
par Eu) -j— (n°13). Cette expression convient aussi bien au
cas du mouvement qu'à celui de l'équilibfe; mais, quand il y a mouvement, u étant fonction de x et de /,JI ne faut pas
oublier que -t- représente la dérivée partielle de u par rapport
à X. Cela posé, si l'équilibre existe, il faudra que ia tension
Eût) -r- soit égale à la somme du poids P et du poids de la
