POUTRES VIBRANTES
et, attendu que u est alors fonction de la seule variable ^,
sans constante, puisque le point B est fixe, ce qui entraîne w = G pour x:=o.
Lorsque le système sera abandonné à l'action de la pesanteur, sans que les vitesses de tous les points soient nulles, ou bien sans que u ait alors la valeur donnée en chaque point par réquation (2), l'équilibre ne pourra pas subsister, et il se produira un mouvement dont nous allons établir directement réquation, en supposant qu'il ait lieu suivant la verticale. A cet effet, nous remarquerons d'abord que la masse élémentaire CDFH, exprimée par — wrfor, a une accélération — ^-t~ — -
pu -y— -î puisque x est une variable indépendante du temps.
Quant aux forces qui sollicitent cette masse, il y a : 1° son poids Ji(ùdx'j 2° la tension ascendante exercée dans CD par la partie CDB du prisme, laquelle tension s'exprime, comme on
vient de le voir, par E« -r- ; 3** la tension descendante exercée
du dans FH par la portion FHA, laquelle force sera Ew -p- augmentée de sa différentielle partielle relativement à Xy soit Ew ( -1 — h -7-7 dxy On aura donc
n , d^u „ , ^ du ^ (du d^u , \ — (ùdx -7— izr Jltùdx — Ew -5 — h Ew -T- + -r-7 dx ) -, g do dx \d.x dx^ /'
soit, après avoir réduit et divisé par — o^dx,
,^, d^u Efi- d^u
équation aux différences partielles du second ordre, qui représente le mouvement dont il s'agit.
Pour en obtenir- l'intégrale générale, on remarquera d'abord que la valeur de u, donnée par la relation ( 2 ), satisfait à l'équa-
34^ CHAPmX HUtMB.
tion (3), dont elle est conséqaemment ane solution particulière* Cela permet de faire disparaître le terme constant g du second membre de Téquation (3). Il suffira en effet de poser
d'où
l'oD tire
dUi
dx^
-*- rf*0
rf=
dt' ~ dt' '
Eff et par suite, en substituant dans l'équation (3) et posant ^ = a',
.On retombe ainsi sur l'équation connue de la corde vibrante. L'intégrale de l'équation (5) a été donnée sous forme finie par d'Alembert* En désignant par <p et ^ deux fonctions arbitraires, on a
valeur dont la vérification est facile. Donc on aurait aussi
n Px
(6) a — -=r(2/^ — j;*)-f- = h(f(X'^at)-h^{x — ai).
On peut encore donner aux quantités 2 et u une autre forme plus commode pour arriver à la solution complète, dans certaiiis cas particuliers, du problème qui nous occupe, z étant une fonction de x et de t, on conçoit d'abord qu'elle soit développée suivant les puissances de la variable x, c'est-à-dire exprimée par
z = Ax"" -h Bx^ -+■ Cx^ -h. . . ,
a, p, y, . . . étant des exposants indéterminés, et A, B, C, . . . des fonctions du. temps t. Comme e* est une quantité connue quand x est donné, on peut encore dire que z est fonction .de t et de e*, et poser de même
z=^A'è^'hAf'e^ H-. ..-hA\ e—^-f- A* r*"' H-. . . ;
P0UT1I8 TIBSAimS. 343
enfin, comme les exponentielles peuvent se transformer en sinus et cosinus par la formule c*^^ = cos^ -+■ \/— isina?, on pourra écrire
z = kt sin/îii X -+■ kiSinniiX -H . . . -h Bi cosmi x 4- Bjcosms x = 2J A sînmj? -h B cos ma: ),
la caractéristique 2 désignant une somme de termes de même forme.
Les développements en série d'une fonction inconnue, sous Tune des trois formes précédentes, ou sous une forme mixte comprenant à la fois des puissances, des exponentielles et des sinus, seront sans doute quelquefois en défaut; mais, dans beaucoup de problèmes, on parviendra de cette manière à remplir toutes les conditions. On remplacera donc, dans l'équation ( 3 ), u par la valeur
n Vx
u= -r=-(2te— -a:') -4- :p h2(Asinma? -hBcosmx),
et Ton trouvera
-i~ sin /na:4- -^ cos ma: j = -|p 2 m* ( — - A sin mj:--B cos mx)
= — a*2m'(Asinmj?-hBcosmar).
Pour que le premier et le second membre soient identiques quand xei t sont quelconques, il faut qu'on ait
d'où l'on tire, en désignant par C, D, H, I des constantes arbitraires,
A = C sin mat -h D cos mat,
B ^^Rsinmat -+- I cosmat.
Donc on a
2E^ ^ Eu)
-f- 2 [sin ma; ( C sin ma/ -h D cos maO
+ cosma?(Hsinma/ + I cosma/}].
344 GlilPITBE SIXllUiE.
Cette formule conviendrait même au cas ou rextrémiié supérieure du prisme ne serait pas fixe; car nous ne nous sommes point servi de cette condition. Si Ton en tient .compte, c'està-dire si l'on fait u=zo pour x = o, on aura
o =:l{ns\n mat -4- Icosmat).
On satisfait à cette condition, t restant indéterminé, en prenant H = o et I = o. Donc enfin, dans les termes où la question est posée, nous aurons pour l'intégrale de l'équation (3)
n Pa^
(7) M=-=r(2/^ — j;^)-4- :p — H2sinm^(Csin/na/-+-Dcos/na/).
Cette valeur de u n'est plus exprimée au moyen de fonctions arbitraires comme celle que donne l'équation (6); mais en
laissant de côté la quantité —= (nlx — - j:') -+- :=r-9 on voit que
le surplus de la valeur de u contient un nombre indéterminé de termes de la forme
smmx [ÇiSXnmat -i-Dcosm^i^),
dans lesquels on peut attribuer aux constantes m, C, D telle valeur qu'on voudra.
Soit qu'on adopte, la formule (6) ou qu'on préfère la formule {7), on voit qu'après avoir intégré l'équation (3) on est encore loin de la solution complète du problème, puisque dans un cas il reste à déterminer deux fonctions <p et .m];, et dans Tautre un nombre infini de constantes, telles que m, C, D, Nous allons compléter la solution pour quelques cas particuliers, avant d'aborder le cas le plus général.
136. Oscillation d'un prisme vertical et homogène sous la seule action de son poids. — Supposons nu! le poids P suspendu à l'extrémité A (fig, 5a); alors l'équation (6) du n** 135 se réduit à
(8) u =z — [zla;-—x^)'h 9(:r-f-a/) -+- ^ {x — at),
et il s'agit de déterminer les fonctions 9 et ^, c'est-à-dire d'en faire connaître la valeur pour une valeur quelconque attribuée
pooTREg yiBBAirn». 345
à la variable x-^at de la fonction cp, ou à la variable x — at de la fonction ^.
 cet effet, il sera d'abord nécessaire de connaître les déplacements u et les vitesses -^ de tous les points du prisme à
un certain instant, par exemple celui à partir duquel on compte le temps, car ce n'est qu'à cette condition que le mouvement est déterminé. Supposons donc que pour / = o on ait
De réquation (8) on tire
(9) ^ =: a(f'[x -4- at) — a^'[x — at)y
en désignant par <p' et ^' les dérivées de f et ^j chacune par rapport à sa variable explicite x-^at ou x — at. La valeur r = 0, substituée dans (8) et (9), devra reproduire les fonctions données F (a?) et/(:r); donc
^(:tlx-x^) + <f{x)^^[x)=zie(x), aQ^'[x)-'a^'[x)=f{x).
De la première de ces deux équations on déduit ?(^) -+- ^ (a'); la seconde, intégrée par rapport à a:, donnera <p( a:) — 4* (^)> ce qui fera connatlre ^(x) et ^(^). Ainsi Ton a
<p (^) -f- ^ (or) = F(^) — ^ (ate — ^'),
^(x)-^{x):=:'^£f[x)dx^K,
K étant une constante arbitraire; et par suite on écrira
(10) <p(^)=iF(^)- JL(2te-^^)-f.j^yVwrf'^+7v
(,,) ^[x)=lY{x)--^(^lx--x^)--^^jy{x)dx^\^
346 OUPITKB MXdUU.
Les fonctions V{x) eif{x) doivent être données poar l'étendue de la pièce ÂB, c'est-à-dire pour x compris entre o et / : on connaît donc les fonctions 9 et 4^ pour toute valeur de leur variable comprise entre les mêmes limites, sauf la constante K, dont la grandeur n'influe pas sur le résultat final, comme on le verra tout à l'heure.
Il faut maintenant introduire les équations particulières applicables aux extrémités A et B« Ce dernier point restant fixe» on doit avoir u = o pour x = o, quel que soit t. L'équation ( 8 ) donnera donc
(12) (f{at)-h^{—at) = o.
£n vertu de cette relation, la fonction f étant connue quand sa variable est comprise entre o et /, on connaîtra la fonction tp quand sa variable sera comprise entre o et — /; réciproquement, la connaissance de ^|/ entre les limites o et / de sa variable étendra la connaissance de <p entre les limites o et —/; de sorte que les deux fonctions sont maintenant connues, quand la variable de chacune d'elles est comprise entre — l et -1-/.
Le point A étant libre, -j- doit s'annuler pour x = ly car ax
la tension Eoj ^ équilibrant, dans chaque section, les poids
et l'inertie des masses qui se trouvent au-dessous, a nécessairement une valeur nulle en A. Or l'équation (8) donne
^ = ^ (/ - or) -h <p'(a7 -f- «0 -+- +'(^ - «0 :
par conséquent on a
<p'(/ 4- at) -+- 1{^'(/ — at) = o, équation qui» intégrée par rapport à t, devient
<))(/-f-ai)~ vp(/ — aO = K'.
Il est aisé de déterminer la constante K'; car de la dernière relation on déduit^ en faisant ^ = o,
P0UT11E8 YIBRAKTEft. 3^7
et en faisant a? = / dans la valeur de <p(ar) — ^{sp) irouylée plus haut, on a
K' = ^ f f{x)dx-hK; ajo
de là résulte
(i3) <p(/4-aO — + (/— «0 = - f f(x)dx-{-K.
OrTéquation (12), applicable à une valeur quelconque de la variable ai, donne, quand on y remplace ai par ai — l,
valeur qui, substituée dans Téquation (i3), fournira la relation
(f(l-^ai)-h(^{—l-hat)=- l f[x)dx^}^,
^ Jo
OU, en faisant — /-f- at:=l^y
(i4) 9(2/-+.Ç)-+-?(e) = ^ y* /(^)rf^-+-K.
Donc nous connaissons cp (2 /-f- Ç ) au moyen de <p ( Ç ) ; et puisque ç (Ç) est connu pour Ç compris entre — / et /, nous en déduirons les valeurs de la fonction 9 pour la variable comprise entre /et 3/; de celles-ci nous passerions à celles que donnent les valeurs de la variable entre 3/ et 5/, et ainsi de suite. On procéderait de même à l'égard de la fonction 4* ; ou si Ton veut, il est possible de l'éliminer de l'équation (8), car en vertu de l'équation (12) on peut écrire
{i5) w— -= (2/â?— ^')-+-(p(^-l-a/) — <p(— ar-4-«r);
et sous cette forme il est clair qu'on peut faire abstraction de la constante K et la supposer nulle, puisqu'elle doit dispa* raltre dans la différence 9 ( ^ -+- aO — ? (— • ^ -H «^ )•
348 CHAPITIB SIXlfeVB*
Un des caractères des fonctions <p et ^ qu'il est important de mentionner, c'est la périodicité. Pour la reconnaître, on remplacera dans l'équation (i4) ^ par a/ -f- Ç, et l'on aura
en éliminant <p (2/-+-Ç) au moyen de (i4)» on trouve
Ainsi la fonction 9 ne change pas quand sa variable augmente de 4^ c'est-à-dire quant / augmente de ~; c'est donc une fonction périodique, et il en est évidemment de même de ^. Donc après un temps ~ la pièce se retrouvera dans une position et avec des vitesses identiques; le prisme exécutera donc
une série indéfinie d'oscillations dont ^ sera la durée. Les
considérations précédentes fournissent d'ailleurs le moyen d'en avoir la loi, puisqu'on sait trouver la valeur de <p et de ^ pour une valeur quelconque de la variable.
Cherchons enfin quelle serait l'amplitude du mouvement vibratoire que prend l'extrémité A, en supposant, pour simplifier, que les fonctions F (x) eif{x) sont nulles toutes deux, c'est-à-dire que le prisme est abandonné sans vitesse et dans son état primitif à l'action de la pesanteur. Nous ferons de plus K = o, ce qui est permis, comme on l'a vu. Le déplacement du point A est à chaque instant donné par l'équation (i5), dans laquelle on fera x = l; pour ce point on a donc, en désignant par U l'expression de u qui lui convient,
les valeurs l-hat et —l-hat diffèrent de 2/, et par suite, en vertu de l'équation (i4), K et/(:F) étant nulles, (^(l-hat) et 9 (— ^-H «0 sont égales et de signes contraires; donc
(ï6) U = 5|^29(/-f-fl/)zzz5^-c.(p(-/-i-û0.
POUTBES VIBRANTES. 349
Les valeurs limites de U correspondront à —rr = o, ou à
<p'(/-4-a/)z=:0, 9'( — /-Hû/)r=0. -
Oi% d'après l'équation (lo), entre les limites o et / de la variable Ky on aurait ici
Celte dérivée 9' ( ? ) devient nulle pour Ç = /; donc pour rendre nulle 9' ( / -f- at ), il faut poser /-hrt^=:/ou ^ = 0; pour annu-
1er 9' (—/ -4- rtO> îl f»"t; poser —/-!-«/ = / ou /=: — • D'aii-^
leurs à ces deux valeurs de t répondent respectivement des valeurs de l-hat et — /-t-a/ égales à /, et par conséquent comprises dans les limites assignées à la variable ^^ pour justifier l'expression employée de 9 (Ç).
2/ . En faisant ^=: o et ^ = —) on a pour les valeurs correspondantes de U
d'ailleurs l'équation (17) fait connaître <f (/) qui a pour valeur
On déduit de là d'abord l'égalité Ua=:o, et en second lieu l'amplitude cherchée
Dans l'état d'équilibre, le dérangement total du point A s'obtiendrait au moyen de Téquation (2) du n** 135 en y faisant
x = l, fzzzo, ce qui donnerait •— pr? c'est-à-dire un déplace-
35o GHAPITSB SIXlJklIE.
ment deux fois moindre que Ui. On voit en conséquence par cet exemple que l'inertie de la matière contribue à augmenter les déformations produites par les forces extérieures, ainsi que les tensions moléculaires correspondantes. Ici ces quantités soût portées du simple au double à certains instants du mouvement qui reviennent au bout d'intervalles de temps
137. Oscillations d'un corps pesant suspendu à V extrémité d*un prisme vertical, homogène et de très-faible masse, — Quand on suppose la masse du prisme AB (Jlg. 62) très-petite relativement à celle du poids P, il se présente dans le problème général mis en équation au n^" 135 une simplification trèsnoiable. En effet, les tensions développées dans la section CD à un instant quelconque doivent faire équilibre au poids P, à
P rf'U la force d'inertie -^j au poids de la portion CDA du
prisme et aux forces d'inertie de cette portion. Or, comme ces dernières quantités sont supposées négligeables, il en résulte que la tension est indépendante de la section CD que l'on choisit dans le prisme ; donc
du -
L étant fonction de t seulement. Donc aussi, u étaiit nul pour x = o et égal àUpour j;=/, on a
Uz=zLx, L=:- — --, X l
et, par suite, la tension correspondante à l'allongement U est
(*) Ce temps, pour une barre de fer de i mètre de longueur, serait eiiYiron de 0*^,0008, ce qui correspondrait à un son parfaitement saisissable k l'oreille, si
II/" Tamplitude des vibrations -— n'était pas exoessiTement faible, et s'il était possible d'ailleurs de réaliser exactement toutes les conditions de la théorie.
POUTBBS YIBRANTisS. 35 1.
dans loule la lige exprimée par Ew y, comme s'il y avait équilibre, rallongement U restant le même.
Maintenant il est facile d'écrire Téquation du mouvement du corps P. Cette équation est
ou, si Ton appelle A l'allongement =r-- auquel correspond
l'équilibre du poids P,
ou bien encore
rfMU-A)
équation dont l'intégrale générale est
(2q) U-~> — Acos^i/f -f-Bsinfi/|^,
A et B désignant deux constantes arbitraires.
Ces deux constantes seront déterminées par les conditions initiales. Si l'on suppose, par exemple, qu'à l'instant pris pour
origine du temps, U et -tt- sont nuls, on aura
— X=A, B=o, et, par conséquent,
(21) U=>.M— COS^i/^ j.
Si plus généralement on doit avoir U = U» et -^ = i^o quand / est nul, on posera
aura
352 CflAFITU ftuufeai.
et, en sabstUaaDt les valeurs de A et B dans l'équation ( 20),
(22) U-X=:(U.~)Ocas/^^-*-v.%/^sin/%/ï.
D'après la forme de l'équation (20), on Yoit que si l'on donne au temps un accroissement ^iri/— 1 l'arc/ 1/-|^
augmenté d'une circonférence; ses sinus et cosinus auront repris la même valeur, et U redeviendra ce qu'il était. Le mouvement est donc périodique, et la durée de la période
est 27: i/ — * Quand on donne au temps un accroissement
moitié du précédent, l'arc /t/ y augmente seulement d'une
demi-circonférence, et, par suite, U — X repasse par la même valeur absolue, mais avec un signe contraire. Par conséquent on voit que le point  oscillera également de part et d'autre du point correspondant à la valeur particulière U = X. Pour avoir les limites extrêmes du mouvement du point A,
il faut chercher les valeurs de t qui rendent nulle la vitesse -7-9
ai
ce qui donne Téquation
— A sin / i/^ H- B cos/ i/-| = o;
d'où l'on tire
tang/
sTf-l
En substituant cette valeur dans l'équation (20), on trouve la valeur correspondante de U — A, qui est
dzv/A^-f-B%donc l'amplitude de l'oscillation est
2v/A^-hBS et le maximum de U s'exprime par
