X-t-y/ÂM-B

pouTBis YiaaàNTss. 353

Ainsi, dans l'hypothèse qui a conduit à Téquation (21), on aurait pour maximum

et le plus grand allongement de la tige serait double de Tallonr gement statique, comme on Ta déjà vu dans un autre exemple (n*" 136). Dans les hypothèses plus générales qui ont donné réquation ( 22), on trouve

(23) A-l-VA'-4-B»=X-+-i/{Ua~X)»H-^.

138. Cas particulier du problème précédent. — Supposons un poids Q suspendu et restant en équilibre à l'extrémité Fîg. 53. d'une tige prismatique AB de faible masse

— ^— ifig' 53 ). Le système est mis en mouve-

ment par un poids Q', qui vient choquer le poids Q, en descendant verticalement le long de la tige. La réaction est supposée non élastique, et la vitesse de Q^y à l'instant où commence le choc, est due à la

' lAp* hauteur h. On demande le mouvement des

^ deux corps Q et (y réunis après le choc.

Il est clair qu'on se trouve ici, quand le choc est terminé, dans les conditions du nj 137. Le mouvement cherché sera donc représenté par l'équation ( 20), ou, si l'on veut, par l'équation (22), en attribuant aux constantes des valeurs convenables. En conservant les notations du n<^ 137, X 3era l'allongement

statique correspondant au poids P = Q -h Q', soit ^ ;

U» sera l'allongement statique produit par le poids Q, soit ^\

hâta

enfin c» sera la vitesse commune des corps Q et Q' à la fin du

Qf

choc, ou bien sjigh^ — -^^ Donc, si Ton cherche Tallongement maximum par la formule (23), on trouvera

ËTi ■^Vl^ £« (QH-Q7'

L a* ttftiT. 23

954 i»4nwB suutSB.

<Ni bien

Eu

Celte formule fait concevoir rutilité qu'il y a quelquefois d'augmenter la charge permanente supportée par une pièce qui peut recevoir des chocs. Soit, par exemple, une tige de fer ayant 5 mètres de longueur, lo millimètres carrés de section, et supportant un poids permanent de 5 kilogrammes. Supposons de plus qu'un autre poids Q^ de 5 kilogrammes vienne choquer le premier en tombant d'une hauteur de o"',25. Avec ces données, l'expression précédente devient, en faisant E = a.io",

^(Q + 46Q') ou aaSg^;

par suite la tension correspondante est — ou 23^",5 par millimètre carré. Or si Ton prenait Q =:= 45» c'est-à-dire une charge permanente neuf fois plus forte, les autres données resum les mêmes» on trouverait pour rallongement maximum

^(Q^».Q') ou :|^^

l« ieasioQ maximum produite par le choc serait donc rédoiie

iSo à — » soit à i5 kilogrammes par millimètre carré» au lieu de

a3^*',5 que nous avions précédemment quand la charge per^ manente était moindre.

139. Momement vibratoire d'un corps pesant suspendu à V extrémité d^un prisme veriicai et lumtogàne qmnd U masse de ne pHsme râest pax négligeable. •— Nous avons déjà mis le problème en équation au n** 135, et même nou» avons donné sous deux formes différentes l'intégrale de l'équation aux différences partielles qui représente le pliéiioiaèoe dent il s'agit. Dans les numéros suivants, nous avons complété la solution par la détermination daa fioBOtiona ou existantes arbitraires tm admettant on^ taines hypothèses restrictives, comme la nullité du poids P ou de la masse du prisme. Blaintenant nous alk>«8 traiter la question en restant dans les termes généraux du n* 135.

POUTBI» TIBRAlfTCS. 355

Reprenons l'intégrale de Téquation (3) sous la seconde forme que nous lui avons donnée,

(7) w=: --(a/x — ^) +-{- 1 sm mx {Qsmmai -h D 00s mat);

il s'agît de détenmner les constantes m, C, D, en nombre infini, de manière que cette équation convienne à l'état initial du système et qu'elle exprime aussi le mouvement du point extrême A (Jïg. Sa). Supposons que pour ^ = o on ait

en identifiant ces valeurs avec celles tirées de la dernière équation, on

aura

(24) F(jr^ = ^(2/j:-^)-hg;^4-2Dsînwj:,

(^) f[x) = «Z/itCsinitiar.

D'ua autre côté» on s^it que la tension en un point quelconque du

élu prisme est exprimée par E» y? ou, en vertu de l'équation (7), par

TIw (/ — x) 4- P 4- Etalmcosmx {Csinnua -i-Dcosniat) ;

donc au point A la valeur de cette tensioa sera

P 4-Ew2/7îcos7/ï/(Csin/w«r4-Dcosw«/).

ei^u L'accélération du poini A sera de même ce que devient -gr pour x = i;

or on a, d'après l'équation (7),

fPu

= ^a^lm^smjnx{CmPim-hT>cosmat);

donc l'accélération commune du point A et du corps P a pour valeur

— a*l wi* sin ml [Csin mai -H D cosmai).

Comme cette accélération est due au poids P diminué de la tension au point extrême du prisme, on posera

P/jS

l^/H^sinmiiCsinmat + Dcosma/)

= P — P -- Ei»TLmCQètnl(C9^nmat -^Doo&mat),

356 CHAPITRE SIXIÈHB.

Ee

ou, en réduisant et remplaçant a* par rg^j

— 2/II (msinml — ^cosiw/j (Csin/wo^-l- Dcoswar) = o.

Cette équation doit être yérifiée identiquement, quel que soit i; il faut donc poser

m sinml p- cosm/ = o,

ou, en désignant par b^ le rapport, nécessairement positif, du poids II&>/

de la tige au poids P^

(26) /w/tangiii/= ô*.

L'équation (a6) donnera pour ml, et par suite pour m, une infinité de valeurs réelles , deux à deux égales et de signes contraires. En effet, lorsque ml variera depuis — 00 jusqu'à + 00 , le premier membre s'annulera chaque fois que ml deviendra un multiple de la demi-circonfé* rence. Ainsi on aura /72/tang//?/ = o pour ml= in et pour ml= (i-^i)ir, i étant un nombre entier quelconque. De plus, entre ces deux limites de ml, qui comprennent l'étendue d'une demi-circonférence, tang/n/, ainsi que iw/tang/iî/, passent par tous les états de grandeur entre — 00 et + 00 . Donc, entre ces mêmes limites, m/ tang/ii/ devenant une fois égal à b', il se trouve une racine de l'équation (26]. On peut de plus reconnaître que cette, équation n'a pas de racines imaginaires. En effets les racines de cette espèce se mettent toujours sous la forme «-!-?/— i, a et p étant des quantités réelles ; il faudrait donc qu'on eût

(a + p/^) sin(a -H p/irr) = ^»cos(a 4- p\/^^), soit, en développant le sinus et cosinus,

(a-hPV— ■ i) (sinacosPv^— i -h cosasin^v^— i) = b* (cosacosp/— I — sinasinp/— i).

Or on sait que

cosp^/37 = l(e^+^-^), sinpv/:^ = i/=n(e^-e-^);

donc l'équation précédente devient

(a -f- p v/^TT) [sina (e^+ e'^) 4- cos« {e^-^ e'^) \/^^] =V [cos«(6^4*^-^) ^ sinot(e^-- e'^) y^i],

POUTRBS VIBRANTES. 357

OU bien

a sina {e^-^ e'^) — p cosa (e^— c"^) — ô'cosa {e^+ e'^) -h v/^^ [a cosa [e^-^ e'^) + p sina (^^-f- <î"^)

H- ^'sina (éî^— ^"'^jj = o^

dette dernière équation ne peut être satisfaite que si la partie réeile et la partie imaginaire sont nulles séparément : on en tire donc

a sina (e^H- e'^^) — p cosa [e^— e'^) — ^'cosa (^^4- e"^) = o, açosa {e^— er"'^) 4- P sina («?^4- e'^) -f- ^' sina (<?/^— ^"^) = o.

Multipliant la première de ces équations par cosa (e^— ^~^)i Isi seconde par sina (<?'^-f- ^"^)j et prenant la différence des produits, on trouve

P [sin^a (e^+ e-^) V cos^a (e^- e'/^)'] + b' [e^^^ e""^) = o, .

relation impossible à satisfaire, à moins qu'on ne suppose p = o; car les deux termes

p [sîn'a [e^-h e'^Y-i^ COS=a {c^-^ e'I^Y] et b^ {e^^^ e''^)

ont toujours même signe que p pour toute valeur réelle de cette variable, et par conséquent ils ne peuvent se détruire. Donc,f en6n, p est nul, et réquation (1^6) n'admet que des racines réelles.

Les racines de Téquation (26) étant déterminées, on mettra les valeurs correspondantes de m dans l'expression (7) de u. Il ne restera plus alors qu'à déterminer les coefficients constants G et D, en nombre infini , de manière à satisfaire aux équations (24) et (aS), c'est-à-dire de manière que les séries exprimées par 2D sinmx et par ImC sinmj? soient égales respectivement aux fonctions données

F{x)-^(.ir-*')-|f et i/(x),

entre les limites or = o et x = /. On peut suivre à cet effet la méthode suivante, indiquée par Poisson (*).

(*) Journal de l'École Pofytechnique , XVIII* cahier, t. XI. Mémoire sur la manière d'exprimer les fonctions par des séries de quantités périodiques, et sur Fnsage de cette transformation dans la résolution de différents problèmes/

358 CBAnTlB 8l»ft«&i

Supposons le problème résolu, et soit, par exemple, Tégalité

n Vx

F(j:) 5 (a/x — 0?*) — -r— = Dsin/wj?-i-D'sin/îï'j:-4- . ..,

dans laquelle D, D', ..., représentent les constantes à chercher, et m, m',,..^ les racines de Féquation (a6). Ces, racines sont deux à deux égales et de signe contiaire. Mais on ne diminaera en rien la généralifé de Tintégral^ (7) en se bornant à prendre les racines positives. En effets les valeurs m et — m donneraient lieu dans cette intégrale à Tensemble de termes

sin/77:r(Csin/77ar -h Dcosmar) — sîn/iix{-- C^&mmat H- D^ooBami)y

qui peut se mettre sous la forme

smmx [(C + C, ) siïimat + f D — D,) cos/w^zf],

ou sons la forme

sin mx (C, sin mai -h D, cosmat),

C, et D, désignant des constantes comme C, D, G, , D,. Si l'on iaidmetlait

les racines négatives, on aurait donc un développement réductible à la

même forme que si Ton prenait exclusivement les racines positives : on

est donc en droit de s'arrêter à ce dernier parti.

Cela posé, désignons par ^ (:c), pour abréger, îa dérivée du premier

membre de Féquation précédente prise par rapport à a:; y (x) sera une

fonction connue de x, ayant pour expression

• dF{x) n., . p , .

Les inconnues D, ly,. .., devroet donc aussi vérifier Tégalilé <f(x) = 7wDcos/wx-|-/w'D'cos//f'x + ...,

soit, en remplaçant x par une autre variable Ç ,

<5P (i;) = /wD cos/wÇ -4- /?i'D'cos/w'Ç + . . . .

Multiplions les deux membres par cos/nC^fÇ et intégrons entre les limites o et /; il viendra

X7{Ç)cosiwÇrfÇ = Dm / cos*/ifÇfl?Ç-f DW / coswÇ€Osm'Ç</Ç-f-.,..

PO0TU8 ttiâAimi. 3S9

Or on a la formule connue

/cos'/wÇ rfç = — (/wÇ -t- 8in/»Ç C08/»Ç) = -rî- (amÇ-1- sin2/wÇ), et, par conséquent,

Jf cos^m^d}^^ -- — (2^/4- sin 2/72/}.

D'un autre côté, Fintégration par parties donne les relations

/cos//2^ cositi'Ç^/î; = — jsin/w'Ç cos/nÇ H — : / sinm'Ç sinm^ r/Ç,

/sin/it^sîn//»'Ç^(= ;C03m'ÇsinmC4--^, 1 cos/w'î;co8iiiÇ^/Ç; w m J

d'où résulte, par TâiminatiOA de / mtkm% sinm'(«f r,

(w' — /«'*) / cosmÇ cos/it'Ç d^= m sinmÇ cos/w'Ç ~ /w'sin/w'Ç cos w^ ,

OU, en prenant l'intégrale définie,

(w* — /w'*) / COSm^COS/n'Ç J(

= m sinml cosm'l — m'mm'lcùsml

= -j cosml cosm7 (ml tangi»/ — m'I langmV).

Puisque m et m' satisfont à Téquation (26), on a

ml tang//i/ = m'I tangwY = b^;

donc, si m est différent de m\ le facteur /«' — ;«'* n'étant pas nul, il faudra nécessairement qu*on ait

/ co8i7i{;co8//2'(;£/( = o.

En veria de ced caicds, on pocura donc écrire

JC^ D

f f (Ç)cos/iïÇr?Ç= --(2/w/-rSÎn2OT/).

36o oupiTBB sixiin.

d'où Ton tire Tua des coefficients

D = -rr^' îT ?(Ç)C08mÇrfÇ.

a/wZ + smaiw/Jo

On aurait trouvé pareillement

D'= ;r-i-: r, T f (?) COS/h'Ç rfÇ,

a/w7-f-sinam7Jo ^^ '

et ainsi de suite pour les autres. Le même procédé servirait pour les coefficients G, et donnerait Fexpressioû générale

ma (a/wZ-t-sin

Ainsi donc finalement, si Ton indique par le signé ]^ une sommation étendue à toutes les racines positives de l'équation (a6), la valeur de u

« = ^(a/a:^^)+g^ ! . ^V^r sin/wxsinufar r^dflK) ^ ,S]

les applications numériques n'exigeraient plus que des quadratures.

L'analyse que nous venons de donner présentç, au point de vue de la rigueur mathématique, un assez grave défaut : c'est qu'on y admet à priori et sans aucune démonstration la possibilité d'exprimer une fonction, entre les limites o et / de la variable, par un développement de la forme

D sinmx 4- D' sinm'x + . . . ,

les coefficients m,m\ . . ., étant les racines positives de l'équation (a6) ; or cette poséibilité n'est pas du tout évidente, et il y a là, par conséquent, matière à une objection très-fondée. Pour y répondre de manière à lever tous les doutes, il faudrait entrer dans de longs développements, qui nous écarteraient beaucoup de l'objet de notre Cours* Nous nous bornerons à dire qu'on peut y parvenir en appliquant une méthode indiquée

4îi-

pouTAts ymAimSé 36 1

par M. Liouville (^), et que, malgré le défaut de la démOnsIratioD, le résultat exprimé par Téquation (27) n'en est pas moins d'une entière exactitude.

IM. Fihrations irans^enales d'une poutre homogène uniformément chargée et reposant sur deux appuis simples. — Soit AB (Jig. 54) la fibre moyenne de la poutre donnée qui. est ... -, homogène et à section constante;

nous la supposerons chargée uniformément suivant sa longueur et nous considérerons la charge "i comme participant au mouvement vibratoire transversal de la pièce. Prenons la ligne AB pro»

longée pour axe des Xy et pour axe des j la perpendiculaire Ky menée dans un plan que nous supposerons contenir toutes les

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées f t. !•', p. i4 et suiv. Soit tr(ar) la fonction à développer, dont les valeurs sont données entre x=o et x=:l; comme on peut la définir arbitrairement en dehors de ces limites, on s'imposera les conditions

tr(a:) = — iar(— a:),

b* .. , dts{l-^x) b* . ,- dvî{x-l)

On en conclura (par un calcul que nous supprimons) les valeurs des intégrales que M. Liouville nomme p et q, savoir

lesquelles seront

en posant

Y(A) = 2«€r(/)-t-c»('*-+-*') r e-**c(a:)Àr-c-'»(/fc— 6») f é^Vi{x)dx,

Cela fait, on se trouve dans les conditions voulues pour la réussite de la méthode, et il ne reste qu'à appliquer les formules (a) et (/3) de M* Liouville (p. a3 du tome cité).

362 CHAPRBB

positions de la Ébre moyeniie. Appelons :

X la distance d'une section quelconque KMN à l'extrémité A;

/ la distance AB des points d'appui;

y le dérangement vertical du point M H un Instant quelconque;

e le ressort longitudinal (rf»13) de la section transversale;

r son rayon de gyration relativement à l'aie autour duquel s'opère la flexion;

p le poids de la charge par mètre courant, y compris le poids propre de la pièce;

y le poids de la pièce seule, également par mètre courant;

Y la réaction de l'appui B; ' / le temps compté à partir d'une origine quelconque.

Si l'équilibre existait, on aurait (n*'&2)

ou, à cause de Y = - pl^ donc aussi

dx 2^ \3 2 \1}

dy f

car ^ doit s'annuler pour x = ~ /; donc enfin

L'équilibre n'existerait que si le dérangement/ avait partout la valeur donnée par cette formule, et si la vitesse antérieure^ ment acquise était nulle; dans tout autre cas, il y aura un mouvement dont il s'agit de trouver l'équation.

A cet effet on pourra se servir de la même équation ( i ) du n^ k% qui exprime l'équilibre entre les forces extérieures et les actions moléculaires dues aux dérangements 7, pourvu

POOTBSS VilRAMTSS. 363

que, conformément au principe de d'AIembert, on compte les forces d*înerlie parmi les forces extérieures. Or pour une portion de pièce de longueur tfâ;,, répondant à Tabseisseorty entre

M et B, la masse sera «- — et Taccéléralion -j^ 5 Vi étant la va-

leur de y pour ;r = 071; par conséquent la force d'inertie s'ex-

primera par — ^ dxi -^ 5 et sa direction sera de bas en haut

si --j-^ a le signe -h . Il faut observer en outre que l'élément

/ j^ de masse - — - > appartenant à la poutre proprement dite, a un

mouvement de rotation autour de son centre de gravité, mouvement qui donne lieu à des forces d'inertie dont l'ensemble forme un couple résultant. On sait par des théories connues que l'intensité de ce couple est le produit de Faccélératîon angulaire par le moment d'inertie de la masse ^ ^ relativement à l'axe de rotation. Le premier facteur s'évalue en remarquant que — -^ exprime l'angle variable de la section normale avec Taxe des j; l'accélération angulaire, comptée dans le sens de Anvers Aar, sera donc — -5 — —-' D'ailleurs, à

cause de l'homogénéité de rélément ^ ' > son rayon de gy-

ration est le même que celui de la section transversale; donc le couple d'inertie dû à la rotation de cet élément a pour va-

leur —^- . ^^-^ » et il doit être regardé comme agissant

contrairement au sens de raccélération angulaire» ou bien dans le sens d'une rotation de kx vers Aj. Le moment X, en tenant compte des forces d'inertie dans la partie MB, aura donc pour expression

-1 Y-ra^''"'-''^'-"^*

364 ClHAPITmS SlXlkMB.

Pour faire disparaître le signe i sous lequel entre une fonction inconnue /i , on différentiera deux fois par rapport à Xy et on trouvera successivement

t \ ,rfV p dW p'r^ dW

L*équation (ag), dont on vient de donner la démonstration directe, aurait pu également se déduire des formules (a) et (S) établies au n*" 6d, ^ dans un cas plus général. La fibre moyenne étant supposée droite, il faudrait d'abord faire

ce qui réduit ces fornuiles aux suivantes :

la formule (3) devient de même-

Pour évaluer les forces désignées par R et T, ainsi que le couple M, on

se rappellera qu'un élément répondant à la portion dx de la fibre moyenne

supporte seulement des forces verticales, qui sont : i"* son poids p'dx^

a" la pression due à la charge (p — /?') dx , laquelle, eu égard à la force

< d^r d'inertie de cette charge possédant Taccélération -^^ s'exprime par

Ainsi donc R et M sont nuls, et T, force verticale rapportée à l'unité de

masse, s'obtient en divisant par ^ «te l'expression précédente augmentée

de p'dx, ce qui donne

p^p' ,Pr P

P0UTEE8 VIBRANTE^. 365

Si Ton substitue ces valeurs, on trouve

di'^ n' dx"' p' de p'^^ua dx^ de" Ti dce mi '

La première donne la loi des vibrations longitudinales; c'est Téquation connue de la corde vibrante, et nous croyons inutile de nous y arrêter davantage. Entre la seconde et la troisième on peut d*abord éliminer P, et il vient

p' de p'^^"^ dxde n dx" '

dr puis faisant 0 = — —, et observant que des relations p'=Uû.ete = ECi

résulte - = —j on aura

p' de p'^ dx^de'^ p' da^ '

équation ne différant de Téquation (ag) que par Tordre des termes et le

facteur^.p

Mainienanl il s'agit d'intégrer celte équation aux différences partielles du quatrième ordre.

L'expression de 7 donnée par l'équation (28) en est une solution particulière, car il en résulterait

valeurs qui rendent bien identiques les deux membres de l'équation (29). Posons

^"^ 54^ ^ ^^'^ ^'^*'*" ^*^ ■*" ^î l'inconnue auxiliaire z devra satisfaire à la relation obtenue

366 dAFim snim.

en substituant cette valeur dans l'équation (29) : or ôh fl d-abord

"dx^^eP 'dx*^ "dp '^ dF^ dx^dr'^ dx^dr^ et par suite, si Ton effectue la substitution, il vient d*z p d^z p'r'^ d*z

ou, eo réduisant et posant «* = — &» 6^ = i- H ,

Cette dernière équation s'intègre au moyen du procédé général indiqué plus haut ( n"» 135) : on en cherchera une solution de la forme

z =V A siniwj;,

laquelle a une généralité suffisante pour le problème actuel, comme la suite le montrera. Cette valeur substituée dans Téquation ( 3o) donne

a* V m* Asinmj;H-6' V m'-^— - sin/iM? -+- V-^— - sin;nar= o.

ou bien

y^l m*a*A-f-(in'6'-4- O-^ir I sin/iMr = o;

comme la nullité de cette somme doit avoir identiquement lieu quel que soit Xy \\ faut que chaque multiplicateur de sinmj; soit nul en particulier» c'est-à-dire que les fonctions du temps désignées par A doivent satisfaire à la relation

On en tire

A = C sm r-== H- D cos-

V^i'fr'-f-i V>»»ft»-+-i'

POUTRES VIMiUCTM« 367.

C et D désignant deux constante^ arbitraires. Nous avons donc

■X(x^'-'2lx^'h l^)

-l-> sinmj?! Csin-T == -h D cos = ).

Il ne reste plus qu'à déterminer les constantes telles que m, C,

D, qui sont en nombre inOni.

A cet effet, exprimons d'abord que les extrémités de la pièce

reposent sur des appuis simples: cela exige que l'ordonnée j

rf'r et le moment fléchissant (ou la dérivée -r—» qui lui est pro^

portionnelle) soient nuls quand on faît:r = o et^=:/, indépendamment de toute valeur attribuée à /. Or on volt que l'expression précédente de j et sa dérivée seconde par rapport à a: s'annulent d'elles-mêmes pour xz=^o; afin que la même chose ait lieu pour a; := /, il faut poser les deux équations

>,smm/ ( Csm -===;= h-D cos--== ) =o, ^^m^sinmll flsm H-Dcos := ) =

et puisque t reste indéterminé, on en conclut

sînm/=o,

ce qui montre que ml doit être un multiple exact de la demicirconférence* Si donc on appelle i un nombre entier quelconque, on aura

(3i) ml = ir.^

relation qui fournit toutes les valeurs de m à mettre dans l'expression de /. Donc

sin— j-j Csin-— 7=: ■ -f-Dcos--7==: ■ \

368 CHAPITRB SlUlOlB.

Blaintenant supposons que pour / = o, on donne les valeurs

de / c^ de -^ en fonction de jt, savoir 7= F {x) et ^ =f{x)f

ce qui serait nécessaire pour définir l'état initiai du système : alors les constantes C et D doivent vérifier les égalités

^^^) F(^):r.^:r(:r«-2te«-h/«)-h2»sini^, (34) f{x) = —j-y sin— 7-'

Les choses étant à ce point» la solution se complète sans peine au moyen d'un théorème dû à Lagrange (*), que l'on peut énoncer ainsi : Quelle que soit une fonction 9 (:r), continue ou discontinue, mais toujours finie quand x varie de o à /, si l'on représente par i un nombre entier positif, par Ç une quantité

variable entre les limites o et U et par V une somme étendue à toutes les valeurs de i depuis i jusqu'à l'infini, on aura

pour toutes les valeurs de x intermédiaires entre o et /, et même pour ces limites lorsque 9 (o) et <p (/) sont nulles. Or F(x)et/(j7) doivent précisément remplir la condition de s'annuler aux deux limites o et U entre lesquelles se trouve toujours comprise la variable Xy et de plus ces fonctions, par leur nature, sont toujours finies dans le même intervalle; donc si l'on pose

(*) Mémoire sur la théorie du son^ faisant partie de la collection de TAcadémie de Turin, t. 1er des anciens Mémoires. Cette formule se trouve encore reproduite : lo dans la Mécanique anafytique de Lagrange, t. I^', section VI, S IV; 3« dans le Traité de Mécanique de Poisson, 2« édition, t. I«>^, n» 325; 30 dans le Mémoire du même, déjà cité (pote de la page 357). Nous renvoyons à ces auteurs pour la démonstration de la formule et les remarques auxquelles elle donne lieu.

POUTRBS YIBRAKTBS. ' 369

et si Ton observe que le multiplicateur de p remplît également les conditions dont nous venons de parler, on en conclura qu'il est possible de satisfaire aux égalités (33) et (34) en sup^ posant C = G, D = o, pour toutes les valeurs négatives de i, et prenant, dans le cas de i positif,

(35) D = ^'sinî^9(Ç)rfÇ,

^^^ ^^—F¥^^i sin-^/(Ç)rf«.

On aurait donc définitivement

i=oo

, -+-T ^ I sm— j-cos — ■: / sm-V9(S)«SI

-^-r-; y. \^ ^ sin-^sm, . ^ / sm-~p/(Ç rfÇ •

Quand le temps t reçoit un accroissement exprimé par ^Is/^^^TJ^^ y^^^ /'^'^'^ augmente de ^i^tt, c'est4-

dire d'un nombre entier de circonférences; ses sinus et cosinus redeviennent donc les mêmes. Il en résulte que chacun des termes qui composent y est une fonction périodique du temps; mais comme la durée de la période varie pour chacun d'eux en fonction de i, nous ne pouvons pas en conclure que le mouvement de la pièce est luî-méiiie périodique : nous devons seulement affirmer qu'il est produit par la superposition d'une infinité de mouvements périodiques. La périodicité n'existerait rigoureusement que si b^ était nul, ce qu'on. pourrait supposer dans le cas où p' deviendrait négligeable devant/?,

car d'après la définition de 6 on a b^= ^r'. La durée de la période serait alors — -^ ou bien, en remplaçant a' par sa va-

L 2* £dit. 24

3^0 aiAPim sixilEMB.

leur, — \/— 5 cïï® pourrait d'ailleurs, dans certains cas par-

iîcuiiears, comprendre plosieiiTS90as-^énodes« Lorsque i n'e^ pas nul, la dorée de la période augmenie pour chaque terme de 7 en particulier; le système piotant d'une position ai1>itrairement choisie emploie donc plus de temps pour y revenir à peu près.

l&l. Cas particulier de la question traitée au n^ 140. — Lorsque les fonctions <p et / sont des polynômes algébriques entiers, ne contenant que des puissances entières et positives de la variable, le calcul des intégrales définies

j'sinî^(p(Ç)rfÇ et j\\n'^f[K)dK

peut s'effectuer assez simplement. La méthode étant identique pour les deux, nous prendrons par exemple la première. En désignant par 9', ç'^, <fy etc., les dérivées successives de 9, el intégrant par parties, on aura

Jsini^ ç(Ç)rfÇ = - J- cos i^ 9 (Ç) + ^J*cos îj^ 9' (Ç) d%,

Jcos^<f'(X,)dK = ls\u'-^i{K)-lJs\u'^i'{X)dK.

On mettra successivement dans la premt^e équation <fy 9'% f^%. . ., au 11^1 de 9, et de même, dans la secoode, ^, 9% f^*%..., au lieu de y; entre la série d'équations ofatexiues Hinsi, on élimine sans peine les diverses intégrales, sauf celle que l'on cherche et cfile dans laquelle entre la dérivée de 9 de l'ordre le plus élevé; oa trouve ainsi

sai-j.9(g^Ç==^j^cos-j- ,<Ç)^-5sin-^tii'(Ç)

-ï^cosî^<p"{Ç)4-Asin!|^<p'(Ç)

La loi de cette :sétit ast «éfâdente; #aiUen>s la tsérie se ^r-^ minera d'elle-même, car sic (Ç) est un polynôme de degré n, la {n -h I y**"* dérivée et les dérivées suivantes seront iuaUâi.

L'intégrale fournie par Téguation (38J devant être prise entre les limites o et l, cette circonstance donne lieu à une

fiîttfiUfeaiJN^n iii^sft)le. £b effet, sia-— .^'«nsudé à «es 4ie«t

ITT 21

limites; cos— r- est égal à l'unité pour Ç = o, et à (— i)' pour

Ç = Z; enfin, on sait que (pi.o)^insi que <pt/) îoat nulles, et qu'il en est de même de <p'' ( o ) et de 9" { /), à cause de Ja nul-

lîiké «coBsUtaie de -7^ âux poiads AaiB; ck)Be<M peuiéoiûie

(^9)|=-7^[(-0'>"(0-9"(o)]+^[(-iTy{0-?"(o)]

( -7^.l(-')'>""(/)-T""(oJ] + ....

S'il ;s'3^sait de la fonction/, ea avaail bien encore

/(o) =/(/) = oj

mais comme les dérivées secondesy ( oJ et/".{l) neyjaûBuleraient pas jiécefisairemeiu. job éainit

^7T^t(-'')'/"'(^)-/"tt>)3~

Ces deux formules permettent d'obtenir les valeurs de toutes les intégrales définies qui entrent comme cojel&cieirts constants dans i'téqvation ( 87 ).

Prenons comme exempte te «as oii la poutre serait à l'origine du temps dans ses éttt prifmRif, c'est-à-dire sans défor-

S^S CHAPITRE SIXiftMS.

mation et sans vitesse initiale. Il faut faire alors

¥{x) = o, f{x) = o, et, par suite,

«■^(x) se réduit à la constante — ^,9 et toutes les dérivées suivantes sont nulles. Donc

le double signe dans la parenthèse devant être -4- ou —, suivant qu'on prend 1 pair ou impair. Ainsi l'intégrale sera nulle dans le premier cas, et dans le second elle aura pour valeur

— ^,~/, d'ailleurs/ étant nulle, f sinip/(Ç)rfÇ l'est aussi. Donc Téquation ( 87 ) devient

-T- X I -^ sm --7- cos — , 1 ,

la somme ^ ne s'étendant plus qu'aux valeurs impaires de i.

Lorsque x est changé en l — x^ on reconnaît aisément que le second membre de cette équation ne change pas; deux points à égale distance du milieu de la poutre auront donc un mouvement identique, ce qui était évident a priori, à cause de la symétrie. Nous avons déjà vu (n® 140) que le mouvement de la pièce est produit par la superposition d'une infinité de mouvements périodiques : on peut ajouter ici qu'il remplit lui-même assez approximativement la condition de périodicité,

car la somme V développée devient

sm-T-cos — , -f-— T^sin — p- cos — ,^

I sm — r-cos

POUTRBS TIBRA^mSS. Z*}i

On voit que lasécie converge rapidement et que le premier terme est prédbminant ; il a en effet pour limite Tunité, tandis

que le second a pour limite -70? le troisième -z — ?? celui du

rang /i le nombre T — 'zi~Z' ^^ ^^ bornant au premier terme, r deviendrait une fonction périodique du temps ayant pour

• , . , .. , 2/s/^6mW"» . 2/^ /7?r»PTFp

durée de la période — ; 5 soit — t / ^•

Tta* TTry ^g

dv l

La dérivée partielle ~- est constamment nulle pour ^ = ->

indépendamment de ^; on peut s'en assurer au moyen de l'expression (40 y ou bien regarder ce fait comme une conséquence de ce qui a été dit tout à l'heure sur ridentité du mouvement de deux points pris à égale distance du milieu. Le milieu de la poutre est donc le point où la flèche est à chaque instant la plus grande. Âppelons-la jt ; nous aurons yi en foi-

santarnr- dans le second membre de l'équation {^i)yCe qui

donne

(42)) ^^' 16 7r*\^ l^fi^r^^J^s 243 . /y^97r»6»+/«

Si nous Apposons t = o, nous savons d'avance que ji doit s'annuler, aussi bien que l'ordonnée y de tout point de la fibre moyenne; or, tous les cosinus deviennent alors égaux à Tunité : donc on peut écrire

\*) On a d'autres procédés en Analyse pour effectuer la sommation de cette suite. Par exemple, Poisson la déduit de la relation suivante entre les sinuf des multiples impairs d'un angle aigu :

8in0 — sin39-h8in50 — 8in79+..>=o.

Sans s'arrêter aux doutes que pourrait souleyer le défaut de cQUrergenoe du

toutes les fois que t devient un multiple pair de ^ »

car Te preoiiCT cosinus de I» parenthèse reprend sa valeur

maximum, ég^le à l'unité; et les autres, comme oa Ta dq»

dity n'ont pas d'influence sensible, i cause de la petitesse de

Um% coefScfènC». Qostui, au eêntnire, t se tnrare être un

multiple impair du même tenip», le premier cosinus devient

égal à — Br de sorle que le second membre de Téquation (4^ j

attetfit «ae valeur à pew près double de -^* La ftèehe* vanrie

donc h p«« pris pérMÈquemeniip entre tm miwfiwum et xm

maximum respectivement peu difTérents de o et Je g-—? ^^

eette dernière ^oMSilé nfest: avtie chose que le do«ble de £ai fièdie dréi|Qililm*.lEiie prcipviéte wolagM a élé^d^ coMMée WK éeuxexenfies (nP* IS&ettaafX

premier membre, il intègre cinq fois cette équation (i^oir le XVIII® t. XI, du Journal de l'École Polytechnique ^ p. 3i5 et 3i6) et trouve ainsi

le second memBv» sTaaiuiknrt pow ^= -9 on en conclut la constante e' qui

est c' = ^; puis, faisant tf = o, il Tiendra

. III iiir'

ta dffTérence entre ce résultat et celui que nous obtenons tient à une fiiate de calcul numérique dans la troisième intégra^on, par snîte de faquellé Poisson

donne à une constante c la valeur ^ au lieu de- — tt-* I* rétablissant ce

dernier nombre, on trouve bien e' = r;— •

n vaut mieux, comme l'indique Bf. Bertrand (Traité de Calcul différentiel

00 db Cmhmi kméyéd^ t. 1^^ p. 49»)^ rMMrtr k 1 j» «M»

ff cot7ra: = - H \ h « H f-. . .

et faire x s:^ d<^i>* ^ qjoatrième dérivée.

14âL Effetpmêuii iUMtmepornirep^rmméckargefOWÊmtÊe.'^ On suppose une poutre homogène à section consterne reposànl sur deux appuis au même niveau; cette poutre supporte une charge permanente uniformément répartie et un poids qui se meut suivant sa longueur avec une vitesse constante v.

la. recherche dw mouvemeni vftratoîre que hr porrtre prend dans ces circonstances denoe lieu à des calculs trop laborieux pour qu'il soit possible de les exposer iel. Divers cas particur- Uers de la question sont traités dans un savant Mémoire de M. PhiRips, fngémeur des Mines; nous y renverrons le lecteur qui désirerait des développements sur ce sujet (*]. M. PiûLlips a supposé un. poids i&olé Q concentré à chaque insiiant sur un point unique de la poutre; il a étudié d'ailleurs les poutres simplement appuyées à leurs deux extrémités et celles qui sont au conlraire terminées par deux ^eastrements. Voici les piîncipales. cûnclusi(»is,qiii résultent de son travail i

V* S'il s'agit d'une poutie reposant librement sur deux appuis» le moment fléchissant maximum se produira dan& la section à égale distance des appuis et aura pour valeur

les notations /?, /, #?, r, g conservant le même sens qu'au n** 140. Cette expression, dans laquelle on ferait i' = o donnerait la valeur du moment fléchissant maximum, sous l'action

(*) Annales des Mines, t. VIÏ, i855. Nous croyons toutefois devoir faire deux

observations. La première, e'ieft q^ae M. Phillips a négligé les forces d'inertie

produites par la rotation des sections normales de la pièce» à laquelle il attribue

simplement un mouvement vertical : il trouve ainsi, au lieu de l'équation (3o)

du no 140, qui serait réellement applicable au problème, la même équation

tPr privée du terme — g* ^ ,« Ses calculs ne semblent donc bien Heureux que

dams le cas où la section aurait un très-petit rayon de gyration , et dans celai où le poids propre de kr powlts serait néglige^Ifr dcrant b charge pern»iMBste complète, circonstances qui tendraient à rendre nulle la quantité &*. En WÊÊmmà lieB, si l'on léféU les oslcvlb îadSqués mi dskpitre fflT ëm Mémoire, povr le cas d'une poutre encastrée à ses deux extrémités, on troum une inexaftitode dhswi Is second membre de Téqnatibn ( 76) : Pexeés de la aeccuide parenthèse sur Tunité doit être rédteit de moitié. Cet erratum nous a conduit à modifier légèreoeat les eoadvsioav de TmUnx,

376 OBAPITftV SIXIÈME.

de la charge permaaenie et du poids Q pkcé en repos au miiieu de la poutre> savoir :

!/>/' + Jq/.

Afin de tenir compte de la vitesse i^, on voit que le terme ôpl^

représentant le moment limite produit par l'action isolée de la charge permanente, doit être augmenté dans le rapport de i à

i-h-^ — 9 et que le second terme, donnant le moment li-

mite sous le poids Q isolé et privé de sa vitesse, doit pareillement subir une augmentation dans le rapport de i à

ôer^ 2.g 7P Si la poutre est encastrée à ses deux extrémités, et qu'elle supporte à l'état d'équilibre le poids permanent pi et le poids Q, ce dernier étant concentré au milieu, on sait (n*»73) que le moment fléchissant a deux maxima, l'un au milieu, égal à

i/'^' + gO^' l'autre dans les sections extrêmes, ayant pour expression

L'existence de la vitesse v leur donnera respectivement les valeurs

12^ \ ««r» 2.g) 8 \ ^er^ ng)

Le premier est augmenté dans le rapport de i à 1 -4- r^* — S

le second s'accrott dans un rapport intermédiaire entre celui

de 1 a I 4- s — • ,• — ou de I a I -h 7^» — > suivant limpor-

tance comparative de la charge permanente et du poids Q.

3^ Les résultats précédents ne sont assez approcfaés de la vérité que s*îls indiquent de faibles aocroissements relatifs dans les valeurs des moments qui correspondent à t; == o,

c esi-a-dire si les quantités —=-, • — 9 -^=— , • — ? 7^ • — ^

^2L— — (suivant les cas) sont de petites fractions: cette con-

dition étant remplie, on voit que l'accroissement relatif varie proportionnellement à la force vivte du corps roulant, à Fécartement des appuis^ et en raison inverse du moment d'inflexibilité de la section transversale. On a supposé d'ailleurs qu'à l'instant où le poids Q vient s'engager sur la poutre, celle-ci était en équilibre sous la charge permanente.

4'' I>ans la pratique, lorsqu'on voudra calculer les dimen-^ siens d'une poutre, on le fera d'abord sans avoir égard à la vitesse de la charge Q; puis, dans le cas de deux appuis simples,

2O/ (/' on vérifiera si t^- — est une petite fraction, et dans le cas Zer^ ^g

Ql v'

de deux encastrements on fera cette vérification sur 7 —

^er^ 2g

Si la vérification réussit, la vitesse de la charge n'aura pas d'influence notable sur la résistance; sinon il faudrait diminuer récartement des appuis, ou augmenter le moment d'inflexibilité, dans la mesure qui serait nécessaire.

Voici enfin un cas particulier que M. Phillips a omis de considérer et dans lequ^ la théorie fournit, au moyen de calculs fort simples, des aperçus intéressants. Soit donnée une poutre horizontale reposant librement sur deux appuis extrêfaies, dont / représente l'écartement, et soutenant une charge pi uniformément répartie sur sa longueur, à raison de p kilogrammes par unité linéaire. L'équilibre existe à un instant donné : alors on communique subitement une vitesse i^ à une portion de la charge, dont q représente le poids par unité de longueur. Il est visible que de cette manière l'équilibre serait troublé, car les poids animés de la vitesse ¥j se mouvant suivant dés courbes égales et parallèles à celle de la fibre moyenne, exerceraient sur la poutre des pressions plus grandeis que dans l'état statique, en raison de leurs forces d'inertie centrifuges;

3jjw

mais on «BçoitUr possible Idéale éedoiiBarà ki pe«lreun •eeroissement ée ciH»b«re ctpaMe Ae^ compenser rao^mextaH tioft de prcanoB, de sente q«& If équHàbre subsisterait malgfé la iritesse p donnée aa poids qt, peurvu toutefois que ce poids téL sans cesse renoovielé à une extrémité de Ta poutre à mesure qu'il s'écoule par l'autre^ ce qui rendrait le phénomène permanent. Dans ces hypothèses, on peut d'abord chercher 1» %<ue d'équiiÀbve^ sous les aetionsslmiiluniéeséu jMiM&nort ip —q >/ et du poMs 9/ animé de la vitesse i».

ftefvésentofls pat AB (jfi^.55) la fibre nojCMke de la pièœ dans son état primlÉîf; prenons celle ligne pour axe de& x^ et pour axe des.jr la vettieale descendante C^qui passe en. aan Fîy.56. mitUeu 4L La eourbe c g , ACB étant la figwetfé- ^ — "^ * quiiibte densndée^ appelons i

X, 7*IeseQatdonBée& d\in point quelceAqtte Mf de cette

courbe, lequel était primitivement en H;

a la distance CB, ou la moitié de Pécartement f des appuis; e le ressort longitudinal de Fa section transversale; r son rayon de gy ration relativement à Taxe de flexion; p le rayon de courbure de la courbe CB, pour le point M^

répondant aux coordonnées jr,j-; P TefTort tranchant, X le moment de flexion, pour la sec-

^on faite au même point.

Si noos prenons un élément thr de la fibre moyenne primitive, à partir du poîni M, f élément correspondant de la pièce

SttK)orie«ai t? le poids ^dLr; aP i'exeès 4e «fesMOtt i-^~ («k

i h force caitrffoge. Or, on a

q% flm ^împlwMom, atteada la faibie eowriwuede k pièce qri

rend ( ;t- ) négligeable devaBt l'unité^

I ^x^dw p ax^

Ici, quand on veut amrif fs vafettr absolue ^p, (f est fe signe — qu'il faut prendre, car la courbe tourne sa concavité du côté

des 7 négatifs, d'où il résulte que ^est décroissant algébriquement et -^ est négatif. D^affleurs', fer petfïesse de -^ ati*-

torise à considérer la force centrifuge eonune très-sensihlcment verticale; la force totale supportée par l'élément dx a donc pour valeur

j ay^dx d^r

'^ g dx^

Eft eolèirefiaat (Peiq^riiiier tes effons tnendums airec im sens positif contraire à celui des j, cette quantité exprimera l'accroissement dffférentiel d^ quand on se déplace de dx sur la fibre* noyeme; ato^

d'où l'oa déd«kt por rkné^BaAicH»

P = »j7 — 2L. ^ -i const.

Afin de déterminer la constante, on remarquera que chacune des réactions égales qui s'exercent en A et en B doit égaler la somme des forces verticales appliquées sur une moitié de la pièce^ d'où II résulte que L'efCart tcanctiaAis'aniuile e» C, P^'

x-=z9\ fna autre cfilé, ^s'annufe atissî an même point,

par raison de symétrie : donc la constante est nulle, et Ton a

^ g dx

Intégrant une seconde fois, on aura (n<*70) le momeoi flédu»-

38o eHâriTM sisiftn.

sant X:

la constante se déterminera par la condition d'avoir X = o en B^ pour x=za, et il viendra finalement

d'où l'on t;oncIura aussi (n"" &2)

C'est réquation différentielle de la courbe AC'B.

L'équation (43 ) met déjà en évidence un fait assez remarquable : c'est que, dans l'équilibre dont il s'agit, les forces centrifuges développées par la vitesse de la charge a 9a équivalent à deux forces — > égales et contraires, agissant aux ex-

trémités A et B, suivant Taxe primitif AB, et de manière à' produire une compression. L'intensité de ces forces est égale à la force vive possédée par chaque mètre courant du convoi mobile. On sait, par la théorie des pièces chargées debout (n*»84), que la seule existence des forces dont il s'agit, même en faisant abstraction des actions de la pesanteur, serait capable de com-

promettre la pièce, si ces forces atteignaient la limite -rT* Donc la relation

détermine une valeur de la vitesse v capable d'entraîner la rupture de la poutre. Mais, ne trouverait-on pas une limite moins élevée, si l'on avait égard au poids apa en même temps

qu'aux forces horizontales 2-^? C'est une question qu'il est

naturel de se poser et à laquelle on pourra répondre quand on aura intégré l'équation ( 43 ) ; nous allons donc procéder à cette opération»

POGTRBS TIB11AHTB8. 38 1

Afin de simplifier récriture, nous poserons

u étant une constante donnée; de plus, nous prendrons les variables a:', y' liées kx eiky par les relations

er^y=ipà^y ^ x=^ax'.

Alors réqualion (43) pourra s'écrire

soit, en supprimant le facteur commun pa^ et simplifiant,

Si, dans cette dernière équation, on met à la place de y^ un binôme du second degré tel que

ou déterminera facilement les coefficients a et |3 de manière à rendre les deux membres identiques, et Ton aura ainsi une solution particulière de Téquation différentielle, savoir

On posera ensuite

valeur qui, substituée dans Téquation (44 )> donne, pour déterminer l'inconnue auxiliaire z^

On a par suite, en appelant A et B deux constantes arbitraires, ^ = A sinwa?' -f- B cosw^',

d'où l'on déduit

■4 = — ; i^^t^ ri-*- An* sn é-Bif cos — -

Les constantes doivent 6tre prises de ttMdère à donner ^ = o poura:=o, et7 = o pour a: = a: il en résulte

A = o, B = —^ — > et, par conséquent,

La flèche /s'obtient en faisant â? = o dans l'équation (45) : on a donc

pa* 2a» u* \cosu J

Il y a aussi de Fintérêt à connaître le maximum du moment flédmsMt X; AVi^rès féqusAioii ^{3) ce maximum réponA à jr =• «t a fOur -valeur absolue

OU, ce qui revient au même,

= lp^.»(! A.

2*^ M'\COStf /

La quantité - pa^ exprimerait le moment fléchissant maximum dans le cas où la vitesse if s'annulerait ; si donc on pose

le nombre n sera le coefficient par lequel on 4evra multiplier ce moment pour tenir compte de Vaccroîssement dû à v.

On voit que si on a « = -^ ce qui entraîne régalîté

alors /et Xi de^vteiHieM tnflnis-: h rapftHPe se proAulraît donc, ^ nous retrouvons a»M le résultat i]ue «oos avions prévti «ni iBoyen de la iheorie «des pouXres chargées debout. D'ailleurs,

/et X« restent iinis pour toute valeur de u inférieure à -• Si en particulier on suppose u=:^j» il vient

/=.o,278o.^5 X«= 1,3430. -/ia% tandis que, si la vitesse v était nulle, on aurait (n**71)

•^ 24^'' eH 2^

ces quantités iaugmenteraient donc, par l'effet de la vitesse,

dans les rapports de i à t ,3348 ^ à i,343o, c'est-à-dire de ^

envJffon. Leinaximum das pressions ou teiisioiis «noUmit flaas la même proportion que le moment Xo; mais il ne semble pas q«e cela psâsse «voir des iacoiTréaiems blea aérien en -pntique parce que la matière de la poutre ne doit supporter^ sous

VsxSokOfVL des charges sortes, qpie g au i^«» de la tensioft en-

pable de produire la rupture {voir le chapitre suivant J. On aurait donc le droit d'adopter avec assez de sécurité la valeur M = 7» c'est-à-dire

ce qui donnerait une limite des valeurs non dangereuses de