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d'où résulte

POUTEES VIBRANTES. 38$

Supposant enfin le poids roulant q quintuple du poids immo^ bile p — q[ct qui est en général au-dessus de la vérité, et ce qui tend à diminuer la limite v que nous cherchons), nous

devrons faire f- =z-i et nous trouverons q 5

Voici les résultats que donne celte formule, pour diverses valeurs de h.

Limite des valeurs Hauteur h non dangereuses

de la poutre. de la TÎtessc.

o,5o 55 mètres.

La vitesse d'un train express s'élève rarement jusqu'à 20 mètres par seconde (i8, lieues à l'heure); une vitesse double ne s'obtient que dans des circonstances tout à fait exceptionnelles. On peut donc dire que les vitesses des trains de chemins de fer n'atteignent jamais à la limite qui pourrait commencer à rendra la force vive du convoi dangereuse pour la stabilité des poutres en tôle. La quantité u aura toujours dans la

réalité une valeur moindre que j» et l'accroissement proportionnel de flèche ou de tension moléculaire dû à la vitesse de la charge roulante restera plus ou moins en dessous de ^ » nombre que nous avons trouvé en admettant l'hypothèse

Tous ces calculs supposent que la poutre reste ^n équilibre-sous une charge uniformément répartie, dont une por- I. a« tan. aS

386 GHAPITHB SIXiftMB.

tion forme un cdnvoi roulant, sans cesse renouvelé. Cela se produirait assez exactement si le convoi placé d'abord sans vitesse au-dessus de la poutre prenait ensuite une vitesse ipès-lentement croissante, jusqu'à la valeur finale v. On pourrait alors négliger les forces d'inertie tangentielles du convoi, et la poutre tendrait à prendre peu à peu la forme d'équilibre que nous avons calculée ; comme de plus elle y arriverait sans vitesse sensible, elle ne s'en écarterait plus après qu'elle l'aurait atteinte. Mais ce n'est point ainsi que les choses se passent généralement. La poutre étant en équilib/e sous sa charge permanente [p — q)ly le convoi, pesant q par unité de longueur, arrive avec toute sa vitesse f antérieurement acquise; il s'engage progressivement au-dessus de la poutre et finit par la couvrir entièrement, s'il est assez long; puis au bout d'un certain temps son extrémité d'arrière ayant passé à son tour, la poutre continue à osciller en vertu du mouvement qu'elle vient de recevoir et de son inertie jointe à celle de la charge permanente. Nous pouvons bien encore dire qu'elle tend à prendre, pendant le passage du convoi, la forme d'équilibre représentée par l'équation (45); mais elle aura de la vitesse au moment où elle l'atteindra, et par suite elle ira au delà. Il n'en résulte pas moins, cependant, que la flèche

cesserait d'être petite si ^— prenait la valeur -7— 7-» puisque

ce fait a déjà lieu en supposant que la poutre s'arrête à la position d'équilibre, tandis que, en réalité,, elle va plus loin : il

serait donc dangereux, en tout cas, de laisser ^î— croître jusqu'à la limite dont il s'agit. Quant à la limite quatre fois moindre, qui produisait tout à l'heure un accroissement relatif de -^

dans le moment fléchissant maximum, elle pourra produire, eu égard aux oscillations de la poutre, un accroissement plus grand ; mais en admettant, par analogie avec d'autres exemples, que l'accroissement doive être doublé (n®* 136, 137 et 141) et même, au besoin, triplé, il n'y aurait là rien d'inquiétant pour la stabilité, à moins que la plus forte tension, calculée dans l'hypothèse d'une charge morte, ne fût déjà

POUTBES VIBRANTES* S87

très-élevée et sensiblement supérieure aux chiffres habituellement admis. On a vu d'ailleurs» dans le cas des poutres en tôle soutenant une voie de chemin de fer, que cette seconde limite ne peut même pas être atteinte avec les plus grandes vitesses ordinairement réalisées : il en résulte que la vitesse des convois augmente en général assez faiblement la flexion des poutres, et que cette vitesse ne peut amener immédiatement aucune conséquence fâcheuse. Mais cela ne veut pas dire que de petites trépidations fréquemment renouvelées ne puissent à la longue altérer la résistance des poutres métalliques, en les faisant passer de l'état Gbreux à Tétat cristallin. C'est un autre point de vue que nous n'avons pas eu l'intention de considérer ici : nous y reviendrons plus loin.

Les augmentations des moments de flexion, qui ont lieu quand une partie de la charge prend une certaine vitesse, étant produits par les forces d'inertie centrifuges, un bon moyen pratique d'en atténuer, et souvent d'en faire disparaître les effets, consisterait à établir primitivement la poutre avec une fibre moyenne légèrement arquée en dessus de l'horizontale : cette fibre tendrait alors à $e redresser pendant le passage des convois, et si elle ne devenait pas concave en sens inverse de la courbe de pose, les forces centrifuges ne pourraient que diminuer la pression statique.

3^ CHAPITU SBPTitXB.

RÉSULTATS D^EXPÉRIENCES SUR l'ÉLASTICITÉ DES MATiHIAUX.

§ r. — Extension.

143. Précautions à prendre dans les expériences. — On conçoit facilement comment peuvent se faire des expériences sur l'extension des matériaux. Un prisme, suspendu par l'une de ses extrémités, soutient à l'autre un plateau de balance» dans lequel on met des poids. Pour chaque poids total mis dans la balance, on tient note de rallongement correspondant. On augmente successivement la charge jusqu'à produire la rupture; mais avant d'arriver à ce point, on peut laisser chaque charge plus ou moins longtemps dans la balance, pour constater l'influence du temps sur l'étendue du phénomène; on peut aussi observer les effets qui subsistent après l'enlèvement de la charge.

Les précautions à prendre dans l'exécution de ces expériences sont les suivantes : i*" Quand les allongements sont mesurés simplement en constatant le déplacement vertical que prend l'extrémité inférieure du prisme, il faut que les points d'appui soient aussi résistants que possible; sans cela lis céderaient à l'action de la charge, et la mesure des allon* gements serait entachée d'erreur. Cette cause d'incertitude pourrait être évitée si l'on mesurait le déplacement relatif de deux points du prisme primitivement séparés par une distance connue. 2° Les poids doivent être posés très-doucement dans le plateau, et même il faut soutenir celui-ci pendant que l'allongement se produit. On a vu en effet, dans divers exemples traités au chapitre YP, que, même en faisant agir la charge sans vitesse initiale, l'allongement statique pourrait être doublé, et cette proportion serait même dépassée si les poids qu'on met dans le plateau tombaient d'une certaine hauteur. S"* Lorsqu'on

BONMÉES EXPÉRIMENTALES. 38g

opère sur un prisme qui n'a pas de petites dimensions transversales, et qui, en conséquence, n'est pas très-flexible, il faut que la résultante des charges passe bien par la fibre moyenne du prisme. Si cette condition n'était pas remplie, on sait (§ IV du chapitre P') que la tension et l'allongement de la fibre moyenne resteraient néanmoins les mêmes; seulement la flexion qui se produirait alors, en même temps que l'extension simple, déterminerait en certains points des actions moléculaires plus fortes, et la rupture se produirait sous une charge moindre.

144. Expériences sur l'extension du fer. — Le fer est la matière qui a été le plus essayée; elle se classe en effet parmi les plus utiles, à cause de sa grande résistance, et l'attention devait naturellement se porter sur ses propriétés. Parmi les ingénieurs ou physiciens qui s'en sont occupés, on peut citer en particulier Duleau et M. Eaton Hodgkinson. Les expériences de ce dernier sont plus multipliées et plus complètes. Nous citons ci-après une série de ces expériences feites sur une tige en fer forgé de la meilleure qualité. La tige ayant environ i5 mètres de longueur totale, afin de rendre sensibles les allongements à mesurer, était formée de plusieurs parties réunies au moyen de manchons; sa section était, en millimètres carrés, environ i35"'"',4. Pour chaque charge, on mourait d'abord l'allongement total ; puis on enlevait la charge afin de constater l'allongement permanent qui pouvait subsister; la différence de ces deux quantités est ce qu'on nomme allongement élastique. Le coefficient d'élasticité longitudinale est égal, comme l'on sait (n** 13), au quotient obtenu en divisant la charge rapportée à l'unité de surface par l'allongement rapporté à l'unité de longueur; ordinairement on l'exprime en prenant le mètre carré pour unité de surface et le kilogramme pour unité de force. Dans le tableau ci-après, les charges sont exprimées erï multiples de i^'S87 par millimètre carré; les allongements, en millièmes de la longueur primitive. Ce tableau, sauf quelques simplifications et quelques détails complémentaires, est emprunté à la Résistance desMatériaux de M. le général A. Morin.

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